GAC004 Mathématiques I : Fondamentaux

GAC004 reconstruit les mathématiques scolaires en anglais afin que vous puissiez étudier une matière universitaire qui l'utilise. Les mathématiques elles-mêmes sont familières. Les mots, les symboles et la façon dont une solution est rédigée constituent la partie nouvelle, et ils rapportent des points.

Le module s'étend sur six unités et est évalué dans votre centre d'enseignement lors de plusieurs événements séparés, et non lors d'un seul examen final. Un ensemble typique comprend un court test en classe 课堂测验 sur les premières unités, un ou deux projets 项目 réalisés dans un tableur, un examen 考试 couvrant les six unités, et des travaux écrits 平时作业 incluant un carnet de terminologie. Votre centre publie les pondérations exactes ; l'essentiel à retenir de cette liste est que les points s'accumulent tout au long du semestre.

• Le carnet de terminologie 术语记录本 est un véritable composant. Vous notez chaque nouveau mot mathématique avec un sens dans vos propres mots, et il est inspecté pendant le semestre.
• Les points de méthode existent. Une bonne réponse sans développement peut obtenir moins qu'une mauvaise réponse avec une méthode claire et correcte, donc écrivez les étapes.
• Lisez le mot indicateur 指令词 dans la question. Résoudre demande une valeur, simplifier demande une expression plus courte, analyser demande un commentaire sur la signification de la réponse.

Le vocabulaire des nombres est supposé par toutes les unités ultérieures.

Un entier 整数 est un nombre entier, positif ou négatif. Un nombre rationnel 有理数 peut être écrit comme une fraction de deux entiers ; un nombre irrationnel 无理数 ne peut pas, et $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont les exemples standards. Un nombre premier 质数 a exactement deux facteurs, lui-même et 1.

L'ordre des opérations 运算顺序 fixe la signification d'une expression écrite : parenthèses, puis exposants, puis multiplication et division, puis addition et soustraction, en travaillant de gauche à droite au sein d'un même niveau.

• Un facteur 因数 divise un nombre exactement ; un multiple 倍数 est ce que vous obtenez en le multipliant. 6 est un facteur de 24, et 24 est un multiple de 6.
• Le plus grand commun diviseur (PGCD) 最大公因数 et le plus petit commun multiple (PPCM) 最小公倍数 proviennent des facteurs premiers : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$, donc le PGCD est $2^2 \times 3 = 12$ et le PPCM est $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Un pourcentage 百分比 est une fraction avec un dénominateur de 100. Une augmentation de 15 % multiplie par $1.15$ ; une diminution de 15 % multiplie par $0.85$. Inverser une variation de pourcentage signifie diviser, jamais soustraire le même pourcentage en retour.
• Les chiffres significatifs 有效数字 indiquent la précision d'une valeur. $0.004\,072$ arrondi à trois chiffres significatifs donne $0.004\,07$.
• La notation scientifique 科学记数法 écrit un nombre sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$. C'est ainsi qu'une calculatrice affiche une réponse très grande ou très petite.

Exemple résolu. Un magasin augmente un prix de 240 yuans de 15 %, puis réduit le nouveau prix de 15 %. Le prix final est-il de 240 yuans ?

Non. Les deux pourcentages s'appliquent à des montants différents, donc le prix final est 234.60 yuan. C'est l'erreur de pourcentage la plus fréquente dans ce module.

L'algèbre est l'arithmétique avec des lettres représentant des nombres, et elle possède son propre vocabulaire.

Dans $5x^2 - 3x + 7$, l'ensemble constitue une expression 表达式 ; $5x^2$, $-3x$ et $7$ en sont ses termes 项 ; 5 est le coefficient 系数 de $x^2$ ; et 7 est une constante 常数.

Une équation 方程 indique que deux expressions sont égales et se résout pour trouver une valeur. Une identité 恒等式 est vraie pour toute valeur. Une inégalité 不等式 compare deux expressions avec $<$, $\le$, $>$ ou $\ge$.

Développer 展开 est retirer les parenthèses ; factoriser 因式分解 est les remettre.

• Résoudre une équation linéaire 一元一次方程 consiste à effectuer la même opération des deux côtés jusqu'à ce que la lettre soit seule.
• Une équation quadratique 一元二次方程 contient un terme $x^2$. Essayez d'abord la factorisation ; si cela échoue, utilisez la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Les équations simultanées 联立方方程 sont deux équations à deux inconnues, résolues par substitution ou par élimination. La solution est le point où les deux droites se croisent.
• ⚠ Une inégalité s'inverse 反向 lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif : de $-2x > 6$ on déduit que $x < -3$.

Exemple résolu. Résoudre $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Un produit est nul uniquement lorsqu'un facteur est nul, donc $x = 5$ ou $x = -3$. Substituer ces valeurs dans l'équation originale permet de vérifier, et cela coûte dix secondes.

Un graphique transforme une équation en image, et la géométrie analytique mesure cette image.

Une droite est $y = mx + c$, où $m$ est la pente 斜率 et $c$ l' ordonnée à l'origine y 轴截距. La pente est la hauteur divisée par la largeur.

• Deux droites sont parallèles 平行 lorsque leurs pentes sont égales, et perpendiculaires 垂直 lorsque le produit de leurs pentes vaut $-1$.
• Le point milieu 中点 d'un segment est la moyenne des extrémités, et la distance 距离 entre deux points provient de Pythagore : $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Une fonction quadratique trace une parabole 抛物线. Son sommet 顶点 est le point de retournement, et les racines 根 sont là où elle coupe l'axe des $x$, qui sont les solutions de $y = 0$.
• Pour résoudre deux équations graphiquement 用图像求解, dessinez les deux et lisez les coordonnées du point d'intersection. La réponse n'est aussi précise que le dessin, c'est pourquoi une vérification algébrique est importante.

Exemple résolu. Trouvez l'équation de la droite passant par $(2, 1)$ et $(6, 9)$.

En substituant $(2, 1)$ dans $y = 2x + c$, on obtient $1 = 4 + c$, donc $c = -3$ et la droite est $y = 2x - 3$. Vérifions le second point : $2(6) - 3 = 9$ ✓.

La géométrie plane concerne les formes plates, la géométrie solide celles en trois dimensions, et la géométrie euclidienne est le raisonnement qui les relie.

Les angles sur une ligne droite s'additionnent à $180°$, les angles autour d'un point à $360°$, et les angles intérieurs d'un triangle quelconque à $180°$. Dans un polygone 多边形 de $n$ côtés, les angles intérieurs s'additionnent à $(n - 2) \times 180°$.

• Des figures congruentes 全等 sont identiques en taille et en forme ; des figures similaires 相似 ont la même forme avec toutes les longueurs dans un même rapport.
• Le théorème de Pythagore 勾股定理 s'applique dans un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$, où $c$ est l'hypoténuse 斜边.
• La surface 面积 est mesurée en unités carrées et le volume 体积 en unités cubiques. Un cylindre a un volume $\pi r^2 h$ ; une sphère a un volume $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ et une surface $4\pi r^2$.
• ⚠ Le redimensionnement n'est pas linéaire. Si chaque longueur d'un solide est doublée, sa surface est multipliée par $2^2 = 4$ et son volume par $2^3 = 8$.

Exemple résolu. Un réservoir cylindrique a un rayon de 1.2 m et une hauteur de 3.0 m. Quel est son volume contenir, en litres ?

Un mètre cube équivaut à 1000 litres, donc le réservoir contient environ 13,570 litres. Transporter l'unité tout au long du calcul rend la conversion finale évidente.

La trigonométrie relie les angles d'un triangle à ses côtés.

Dans un triangle rectangle, avec $\theta$ l'un des angles aigus, les trois rapports sont $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ et $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Pour tout triangle, la loi des sinus 正弦定理 et la loi des cosinus 余弦定理 s'appliquent :

• Un angle peut être mesuré en degrés 度 ou en radians 弧度, où $\pi$ radians valent $180°$. Vérifiez le mode de votre calculatrice avant chaque question.
• Le cercle trigonométrique 单位圆 étend les rapports au-delà de $90°$ et explique pourquoi $\sin$ et $\cos$ se répètent tous les $360°$ : ils sont périodiques 周期的.
• Un capacité 方位角 est mesuré dans le sens horaire à partir du nord et s'écrit toujours avec trois chiffres, comme $075°$.
• Les angles d'élévation et d'abaissement 仰角与俯角 se mesurent par rapport à l'horizontale, vers le haut et vers le bas respectivement.

Exemple résolu. À partir d'un point situé à 40 m de la base d'une tour, l'angle d'élévation du sommet est $32°$. Quelle est la hauteur de la tour ?

Le côté opposé et le côté adjacent sont impliqués, ce qui correspond au choix de la tangente rapport trigonométrique. Choisir le bon rapport est l'étape clé marquée, pas le calcul arithmétique.

Ces deux fonctions décrissent la croissance et la décroissance, et elles s'inversent mutuellement.

Une fonction exponentielle 指数函数 est de la forme $y = a^x$ : la variable se trouve dans l'exposant 指数. Elle croît d'un facteur constant à chaque étape, c'est pourquoi elle finit par dépasser toute droite.

Un logarithme 对数 répond à la question inverse. $\log_a y = x$ signifie exactement $a^x = y$, donc $\log_{10} 1000 = 3$.

• Les lois transforment la multiplication en addition, ce qui rend le logarithme utile pour résoudre une équation où l'inconnue se trouve dans l'exposant.
• Les logarithmes naturels 自然对数 utilisent la base $e \approx 2.718$ et sont écrits $\ln$.
• Les intérêts composés 复利 sont exponentiels : $A = P(1 + r)^n$ après $n$ périodes.
• La décroissance exponentielle 指数衰减 a une base comprise entre 0 et 1, et modélise le refroidissement, le médicament qui quitte le sang, et les matériaux radioactifs.

Exemple résolu. 5000 yuans sont investis à 4 % par an, capitalisés annuellement. Combien d'années entières faut-il avant que cela dépasse 7000 yuans ?

Il faut donc 9 années entières. Prendre les logarithmes des deux côtés est l'étape qui fait descendre $n$ de l'exposant, et c'est la technique que cette unité vise à enseigner.