Integration · Intégration
| English | Français |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | intégration |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale définie |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | théorème fondamental du calcul |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante d'intégration |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | intégration par substitution |
Signed accumulation can cancel
- Integration 积分 can recover an antiderivative or calculate signed accumulation. A definite integral is not automatically a nonnegative geometric area.
- For a continuous integrand, the fundamental theorem of calculus 微积分基本定理 connects a definite integral to an antiderivative evaluated at its bounds.
L’accumulation signée peut s’annuler
- L'intégration peut retrouver une primitive ou calculer une accumulation signée. Une intégrale définie n'est pas automatiquement une aire géométrique positive.
- Pour une fonction intégrable continue, le théorème fondamental du calcul relie une intégrale définie à une primitive évaluée à ses bornes.
Keep the antiderivative family
- An indefinite integral needs a constant of integration 积分常数 because differentiating any constant gives zero. The power formula is $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ for $n\ne-1$ on a valid domain.
- The reciprocal exception is $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ on an interval not crossing zero. A positive or negative domain needs attention before choosing a logarithm expression.
Conserver la famille des primitives
- Une intégrale indéfinie nécessite une constante d'intégration car la dérivée de toute constante est nulle. La formule de la puissance est $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ pour $n\ne-1$ sur un domaine valide.
- L’exception réciproque est $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ sur un intervalle ne traversant pas zéro. Un domaine positif ou négatif nécessite une attention préalable avant de choisir une expression logarithmique.
Integrate x³ with respect to x. Include the constant. · Intégrer x³ par rapport à x. Inclure la constante.
Add one to the power and divide by the new power, then add c because any constant differentiates to zero. · Ajouter un à l'exposant et diviser par le nouvel exposant, puis ajouter c car toute constante dérive en zéro.
A definite integral needs a constant of integration. · Une intégrale définie nécessite une constante d'intégration.
The constant cancels in F(b) − F(a). Only an indefinite integral needs it — and there it is compulsory. · La constante s'annule dans F(b) − F(a). Seule une intégrale indéfinie en a besoin — et là, elle est obligatoire.
In one English sentence, explain why an indefinite integral needs "+ c". · En une seule phrase en anglais, expliquez pourquoi une intégrale indéfinie nécessite "+ c".
Example: "Any constant differentiates to zero, so the original constant cannot be recovered from the derivative." · Exemple : "Toute constante se dérive en zéro, donc la constante originale ne peut être récupérée à partir de la dérivée."
Evaluate upper minus lower
- A definite integral 定积分 gives $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ when the antiderivative method applies. Substitute both bounds into the same F.
- C cancels between those evaluations. For geometric area, split where the curve changes sign or where upper and lower curves exchange order.
Évaluer borne supérieure moins borne inférieure
- Une intégrale définie donne $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ lorsque la méthode des primitives s'applique. Substituez les deux bornes dans la même F.
- C s’annule entre ces évaluations. Pour une aire géométrique, découpez là où la courbe change de signe ou où les courbes supérieure et inférieure échangent leurs positions.
The area under the curve · L'aire sous la courbe
$\int_a^b f(x)\,dx$
A definite integral is the signed area between the curve and the axis. · Une intégrale définie est l'aire signée entre la courbe et l'axe.
Evaluate the integral of x² from 0 to 3. · Évaluer l'intégrale de x² de 0 à 3.
[x³/3] from 0 to 3 = 27/3 − 0 = 9. · [x³/3] de 0 à 3 = 27/3 − 0 = 9.
Zero integral, positive area. For $y=x$ from negative 1 to 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Geometric area is $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Each triangular region has area one half; their signed contributions cancel.
Intégrale nulle, aire positive. Pour $y=x$ de -1 à 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. L’aire géométrique est $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Chaque région triangulaire a une aire d’un demi ; leurs contributions signées s’annulent.
Substitute both the function and differential
- Integration by substitution 换元积分法 reverses the chain rule. With $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, so $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- For a definite integral, transform its bounds to u or return to x before evaluating original bounds. Do not combine u expressions with x bounds.
Substituer à la fois la fonction et le différentiel
- L'intégration par substitution inverse la règle de la chaîne. Avec $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, donc $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Pour une intégrale définie, transformez ses bornes en u ou revenez à x avant d’évaluer les bornes originales. Ne mélangez pas les expressions en u avec les bornes en x.
Which substitution simplifies the integral of 2x(x² + 1)⁵? · Quel changement simplifie l'intégrale de 2x(x² + 1)⁵ ?
Its derivative 2x is already present, so du = 2x dx and the integral becomes u⁵ du. · Sa dérivée 2x est déjà présente, donc du = 2x dx et l'intégrale devient u⁵ du.
Differentiate an antiderivative to check it. Also check the domain, integration constant and bounds; differentiation alone does not prove that a definite integral or geometric area was evaluated correctly. Sheet 3.2 uses velocity to distinguish displacement, total distance and final position.
Différenciez une primitive pour la vérifier. Vérifiez également le domaine, la constante d’intégration et les bornes ; la dérivation seule ne prouve pas qu’une intégrale définie ou une aire géométrique a été correctement évaluée. La feuille 3.2 utilise la vitesse pour distinguer le déplacement, la distance totale et la position finale.
How do you check an integration answer reliably? · Comment vérifier une réponse d'intégration de manière fiable ?
Differentiate a proposed antiderivative and compare it with the original integrand on its domain. Also check the constant, bounds and sign or geometric-area interpretation; differentiation alone does not validate those steps. · Différenciez une primitive proposée et comparez-la avec l'intégrande original sur son domaine. Vérifiez également la constante, les bornes et le signe ou l'interprétation en aire géométrique ; la différentiation seule ne valide pas ces étapes.
An antiderivative valid on an interval cannot automatically justify evaluating across a singularity. Check the integrand's domain before applying upper-minus-lower. An initial position must be added when an integral gives only a displacement.
Une primitive valide sur un intervalle ne justifie pas automatiquement l'évaluation à travers une singularité. Vérifiez le domaine de l'intégrande avant d'appliquer la formule du haut moins le bas. Une position initiale doit être ajoutée lorsque l'intégrale ne donne qu'un déplacement.