The derivative · La dérivée
| English | Français |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | pente de la tangente |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | dérivation par définition |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | règle de puissance |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | règle du produit |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | règle du quotient |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | règle de composition |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | point stationnaire |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée seconde |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | maximum |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | minimum |
A finite average hides local change
- For $y=x^2$, the secant from x equal to 1 to 2 has slope 3, but the tangent at x equal to 1 has slope 2.
- A derivative 导数 is an instantaneous limiting rate, when it exists. Geometrically it gives the gradient of the tangent 切线斜率 at a differentiable point.
Une moyenne finie cache des variations locales
- Pour $y=x^2$, la sécante reliant x égal à 1 à 2 a une pente de 3, mais la tangente en x égal à 1 a une pente de 2.
- Une dérivée est un taux limite instantané, lorsqu'il existe. Géométriquement, elle donne la pente de la tangente en un point différentiable.
Slide the second point towards the first · Faire glisser le second point vers le premier
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
The chord becomes the tangent, and its gradient becomes the derivative. · La corde devient la tangente, et sa pente devient la dérivée.
What does the derivative of a function at a point measure? · Que mesure la dérivée d'une fonction en un point ?
Where it exists, the derivative is an instantaneous limiting rate of change and tangent gradient. A definite integral measures signed accumulation, which need not equal geometric area. · Lorsqu'elle existe, la dérivée représente un taux de variation instantané limite et une pente tangente. Une intégrale définie mesure une accumulation signée, qui ne correspond pas nécessairement à une aire géométrique.
Take a limit without dividing by zero
- Differentiation from first principles 从定义求导 uses $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. The difference quotient uses nonzero h before its limit is taken.
- One-sided limits must agree for a two-sided derivative. A sharp corner can prevent differentiability even if the function is continuous.
Prendre une limite sans diviser par zéro
- La différentiation à partir des premiers principes utilise $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. Le quotient des différences utilise un h non nul avant que sa limite ne soit prise.
- Les limites latérales doivent coïncider pour qu’une dérivée bilatérale existe. Un angle vif peut empêcher la dérivabilité même si la fonction est continue.
A power from its definition. For $f(x)=x^2$, the quotient is $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ for nonzero h. Its limit is $2x$. For $|x|$ at zero, the quotient $|h|/h$ instead has right-hand limit 1 and left-hand limit negative 1, so no derivative exists there.
Une puissance selon sa définition. Pour $f(x)=x^2$, le quotient est $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ pour h non nul. Sa limite est $2x$. Pour $|x|$ en zéro, le quotient $|h|/h$ a plutôt une limite à droite de 1 et une limite à gauche négative de 1, donc aucune dérivée n'existe à cet endroit.
Select a rule for the function form
- The power rule 幂法则 gives $(x^n)'=nx^{n-1}$ on a valid domain. The product rule 乘积法则 gives $(uv)'=u'v+uv'$.
- The quotient rule 商法则 gives $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ where v is nonzero. The chain rule 链式法则 gives $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, including the inner derivative.
Sélectionner une règle selon la forme de la fonction
- La règle de la puissance donne $(x^n)'=nx^{n-1}$ sur un domaine valide. La règle du produit donne $(uv)'=u'v+uv'$.
- La règle du quotient donne $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ où v est non nul. La règle de la chaîne donne $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, y compris la dérivée interne.
Differentiate y = x⁵. Give the derivative. · Dériver y = x⁵. Donner la dérivée.
Bring the power down and reduce it by one: 5x⁴. · Apporter l'exposant en coefficient et le réduire d'un : 5x⁴.
Which rule differentiates y = (3x + 1)⁴? · Quelle règle dérive y = (3x + 1)⁴ ?
A function inside a function. The derivative is 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³. · Une fonction dans une fonction. La dérivée est 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
A stationary point needs classification
- A stationary point 驻点 has $f'(x)=0$. A nonzero second derivative 二阶导数 there gives a local maximum 极大值 when negative or minimum 极小值 when positive.
- A zero second derivative is inconclusive. Examine first-derivative signs or other evidence; $x^3$ has a stationary inflection at zero, not a maximum or minimum.
Un point stationnaire nécessite une classification
- Un point stationnaire a $f'(x)=0$. Une dérivée seconde non nulle à cet endroit indique un maximum local si elle est négative ou un minimum local si elle est positive.
- Une dérivée seconde nulle est inconclusive. Examinez les signes de la dérivée première ou d’autres éléments ; $x^3$ présente un point d’inflexion stationnaire en zéro, pas un maximum ou un minimum.
y = x³ − 3x has a stationary point at a positive value of x. What is it? · y = x³ − 3x a un point stationnaire à une valeur positive de x. Quelle est-elle ?
dy/dx = 3x² − 3 = 0 gives x = ±1, so the positive one is x = 1. · dy/dx = 3x² − 3 = 0 donne x = ±1, donc la valeur positive est x = 1.
At a stationary point the second derivative is negative. What kind of point is it? · En un point stationnaire, la dérivée seconde est négative. De quel type de point s'agit-il ?
Negative second derivative means the gradient is falling through zero, so the curve turns downward. · Une dérivée seconde négative signifie que la pente décroît en traversant zéro, donc la courbe s'infléchit vers le bas.
Put the steps of a stationary-point question in the order that earns the marks. · Mettre les étapes d'une question de point stationnaire dans l'ordre rapportant les points.
Find candidate x-values from the derivative, substitute into the original function for their coordinates, and justify classification. A zero second derivative is inconclusive. · Trouvez les valeurs candidates x à partir de la dérivée, substituez-les dans la fonction originale pour obtenir leurs coordonnées, et justifiez leur classification. Une seconde dérivée nulle est inconclusive.
Find both coordinates and describe intervals. In sheet 3.1, factor the derivative to find candidate x-values, substitute into the original function for y, then test classification and where the curve increases or decreases.
Trouvez les deux coordonnées et décrivez les intervalles. Dans la feuille 3.1, factorisez la dérivée pour trouver les valeurs candidates de x, substituez dans la fonction originale pour obtenir y, puis testez la classification ainsi que les zones où la courbe croît ou décroît.
$dy/dx$ differentiates with respect to x; a dot over y normally differentiates with respect to time. State the independent variable rather than treating these notations as interchangeable in every problem. Trigonometric derivative rules here use radians.
$dy/dx$ se différencie par rapport à x ; une barre sur y se différencie normalement par rapport au temps. Indiquez la variable indépendante plutôt que de considérer ces notations comme interchangeables dans chaque problème. Les règles de dérivation trigonométriques ici utilisent les radians.