Polar Coordinates · Coordonnées polaires
| English | Français |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordonnées polaires |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | grille polaire |
A different way to say "where"
- Usually we locate a point by "go right $x$, go up $y$" — rectangular coordinates.
- But a radar screen or a compass thinks differently: "how far, and in which direction?"
- That is the polar way: a distance and an angle.
- For anything that spins or radiates, polar coordinates are far more natural.
Une autre façon de dire « où »
- Nous localisons normalement un point en disant « allez droit $x$, montez $y$ » — coordonnées rectangulaires.
- Mais un écran radar ou une boussole pensent différemment : « quelle distance, et dans quelle direction ? »
- C'est la méthode polaire : une distance et un angle.
- Pour tout ce qui tourne ou rayonne, les coordonnées polaires sont beaucoup plus naturelles.
A point as (r, θ)
- Polar coordinates 极坐标 name a point by $(r, \theta)$.
- $r$ is the distance from the origin (the pole); $\theta$ is the angle from the positive x-axis.
- The angle is measured in radians 弧度 (or degrees), counter-clockwise.
- So $(2, \tfrac{\pi}{4})$ means "go out $2$ units at a $45°$ direction".
Un point comme (r, θ)
- Les coordonnées polaires 极坐标 nomment un point par $(r, \theta)$.
- $r$ est la distance à l'origine (le pôle) ; $\theta$ est l'angle depuis l'axe x positif.
- L'angle est mesuré en radians 弧度 (ou degrés), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Donc $(2, \tfrac{\pi}{4})$ signifie « allez à $2$ unités dans la direction $45°$ ».
In polar coordinates $(r, \theta)$, the two numbers give… · Dans les coordonnées polaires $(r, \theta)$, les deux nombres donnent…
Polar coordinates · Coordonnées polaires use · utiliser $r$ (distance from the origin) and $\theta$ (angle), unlike the $(x, y)$ of rectangular coordinates. · Coordonnées polaires utilisent $r$ (distance à l'origine) et $\theta$ (angle), contrairement aux $(x, y)$ des coordonnées rectangulaires.
The polar grid
- A polar grid 极坐标网格 is a set of concentric circles (constant $r$) and radial lines (constant $\theta$).
- Reading a point is easy: find its circle, then its radial line.
- The origin is $r = 0$, the single centre of all the circles.
- This grid replaces the familiar square graph paper of rectangular coordinates.
La grille polaire
- Une grille polaire 极坐标网格 est un ensemble de cercles concentriques ($r$ constant) et de lignes radiales ($\theta$ constant).
- Lire un point est facile : trouvez son cercle, puis sa ligne radiale.
- L'origine est $r = 0$, le centre unique de tous les cercles.
- Cette grille remplace le papier quadrillé carré familier des coordonnées rectangulaires.
Locate a point by radius and angle · Localisez un point par rayon et angle
Set the angle and the radius to place a point. Polar coordinates (r, theta) describe location by direction and distance. · Définissez l'angle et le rayon pour placer un point. Les coordonnées polaires (r, theta) décrivent la position par direction et distance.
To convert $(r, \theta)$ to rectangular $(x, y)$, use… · Pour convertir $(r, \theta)$ en coordonnées rectangulaires $(x, y)$, utilisez…
The unit-circle relationship scales up by $r$: $x = r\cos\theta$ and · et $y = r\sin\theta$. · La relation du cercle unité s'étend par $r$ : $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$.
A point has $r = 2$ and · et $\theta = 0$. What is its $x$-coordinate? · Un point a $r = 2$ et $\theta = 0$. Quelle est sa coordonnée $x$ ?
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; and $y = 2\sin 0 = 0$. · $x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$ ; et $y = 2\sin 0 = 0$.
Select all · tout true statements about polar coordinates. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les coordonnées polaires.
Polar forms are not · non unique — many $(r, \theta)$ name the same point. The other three are correct. · Les formes polaires ne sont pas uniques — plusieurs $(r, \theta)$ nomment le même point. Les trois autres sont correctes.
Converting between systems
- Polar to rectangular: $x = r\cos\theta$ and $y = r\sin\theta$.
- Rectangular to polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ and $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (mind the quadrant).
- These come straight from the unit-circle definitions, scaled by $r$.
- Switch to whichever system makes the problem simpler.
Convertir entre systèmes
- Polaire vers rectangulaire : $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$.
- De rectangulaire à polaire : $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (attention au quadrant).
- Ces valeurs découlent directement des définitions du cercle unité, mises à l'échelle par $r$.
- Passez au système qui rend le problème plus simple.
The same point can have more than one set of polar coordinates (e.g. adding $2\pi$ to the angle). · Le même point peut avoir plus d'un ensemble de coordonnées polaires (par ex. ajouter $2\pi$ à l'angle).
Adding a full turn to $\theta$ lands on the same point, so polar coordinates are not unique. · Ajouter un tour complet à $\theta$ atterrit sur le même point, donc les coordonnées polaires ne sont pas uniques.
Not a unique address
- Unlike $(x, y)$, a polar point has many names.
- Adding $2\pi$ to $\theta$ lands on the very same point.
- A negative $r$ points in the opposite direction, giving yet another name.
- So $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$, and $(-2, \pi)$ are all the same point.
Pas une adresse unique
- Contrairement à $(x, y)$, un point polaire a plusieurs noms.
- Ajouter $2\pi$ à $\theta$ atterrit sur exactement le même point.
- Un $r$ négatif pointe dans la direction opposée, offrant encore un autre nom.
- Ainsi, $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$ et $(-2, \pi)$ sont tous le même point.
Polar coordinates are not unique: one point has infinitely many $(r, \theta)$ names. When converting or solving, watch the quadrant and remember that $\arctan$ alone can land you in the wrong half of the plane.
Les coordonnées polaires ne sont pas uniques : un point a une infinité de $(r, \theta)$ noms. Lors de la conversion ou de la résolution, surveillez le quadrant et rappelez-vous que $\arctan$ seul peut vous amener dans la mauvaise moitié du plan.
Convert the polar point $(4, \tfrac{\pi}{2})$ to rectangular coordinates.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- So the point is $(0, 4)$ — straight up the y-axis.
Convertissez le point polaire $(4, \tfrac{\pi}{2})$ en coordonnées rectangulaires.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- Donc le point est $(0, 4)$ — droit vers le haut sur l'axe y.
Polar coordinates locate a point as $(r, \theta)$: a distance $r$ from the origin at angle $\theta$, plotted on a polar grid. Convert with $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Polar names are not unique — adding a full turn gives the same point.
Les coordonnées polaires localisent un point comme $(r, \theta)$ : une distance $r$ depuis l'origine à un angle $\theta$, tracé sur une grille polaire. Conversion avec $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Les noms polaires ne sont pas uniques — ajouter un tour complet donne le même point.