Equivalent Trigonometric Expressions · Expressions trigonométriques équivalentes
| English | Français |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | identité |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | équivalente |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | identité pythagoricienne |
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosinus |
Two faces of the same expression
- The same trig quantity can be written in many equal-looking-but-different ways.
- $\sin^2\theta$ can become $1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ can become $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- These swaps are powered by identities — equations true for every angle.
- Choosing the right form turns a hard problem into an easy one.
Deux visages d'une même expression
- La même grandeur trigonométrique peut s'écrire de nombreuses façons égales mais différentes.
- $\sin^2\theta$ peut devenir $1 - \cos^2\theta$ ; $\tan\theta$ peut devenir $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Ces échanges sont rendus possibles par les identités — des équations vraies pour tout angle.
- Choisir la bonne forme transforme un problème difficile en un problème facile.
What an identity is
- A trigonometric identity 恒等式 is an equation true for all valid angles.
- This is different from an equation you solve, which holds only at special angles.
- Two expressions linked by an identity are equivalent 等价 everywhere.
- So you can substitute one for the other whenever it helps.
Ce qu'est une identité
- Une identité trigonométrique 恒等式 est une équation vraie pour tous les angles valides.
- Cela diffère d'une équation que l'on résout, qui n'est vraie qu'à des angles spéciaux.
- Deux expressions liées par une identité sont équivalentes 等价 partout.
- Vous pouvez donc substituer l'une à l'autre dès que cela aide.
Watch the Pythagorean identity hold · Vérifiez que l'identité pythagoricienne tient
For any angle, the point on the unit circle satisfies cos squared plus sin squared equals 1 — the master trig identity. · Pour tout angle, le point sur le cercle unité satisfait cos carré plus sin carré égale 1 — l'identité maîtresse trig.
A trigonometric identity is an equation that is true… · Une identité trigonométrique est une équation qui est vraie…
An identity holds for all · tout valid inputs — unlike an equation you solve for particular values. · Une identité tient pour toutes les entrées valides — contrairement à une équation que vous résolvez pour des valeurs particulières.
The Pythagorean identity
- The master identity is the Pythagorean identity 勾股恒等式: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- It comes straight from the unit circle, where $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$.
- Rearranged, it gives $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ and $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Dividing by $\cos^2$ or $\sin^2$ produces the secant and cosecant versions.
L'identité pythagoricienne
- L'identité maîtresse est l'identité pythagoricienne 勾股恒等式 : $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- Elle vient directement du cercle unité, où $(\cos\theta, \sin\theta)$ a pour rayon $1$.
- Réarrangée, elle donne $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ et $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Diviser par $\cos^2$ ou $\sin^2$ produit les versions sécante et cosécante.
The · Le Pythagorean identity states that… · L'identité pythagoricienne stipule que…
Because a unit-circle point $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. · Parce qu'un point du cercle unité $(\cos\theta, \sin\theta)$ a un rayon $1$ : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Select all · tout true statements about trig identities. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les identités trig.
An identity is true for all · tout angles, not just one. The other three are correct. · Une identité est vraie pour tous les angles, pas seulement un. Les trois autres sont corrects.
A toolbox of identities
- Reciprocal identities: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, and so on.
- Quotient identity: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Even/odd: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Together they let you rewrite almost any trig expression in a new form.
Une boîte à outils d'identités
- Identités réciproques : $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, etc.
- Identité quotient : $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Paires pairs/impairs : $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Ensemble, elles permettent de réécrire presque toute expression trigonométrique sous une nouvelle forme.
If $\sin\theta = 0.6$, then from the Pythagorean identity $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____. · Si $\sin\theta = 0.6$, alors de l'identité pythagoricienne $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____.
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, so $\cos\theta = \pm 0.8$. · $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, donc $\cos\theta = \pm 0.8$.
Identities let you rewrite a trig expression as an equivalent one that may be easier to work with. · Les identités vous permettent de réécrire une expression trig en une équivalente qui peut être plus facile à manipuler.
That is their main use: swap in an equal form to simplify an expression or solve an equation. · C'est leur principal usage : substituer une forme égale pour simplifier une expression ou résoudre une équation.
Using identities
- To simplify, replace part of an expression with an equal form until it collapses.
- To solve an equation, rewrite everything in terms of one function (say, all sine).
- To verify an identity, transform one side until it matches the other.
- The sine 正弦 and cosine 余弦 forms are usually the safest to aim for.
Utiliser les identités
- Pour simplifier, remplacez une partie d'une expression par une forme égale jusqu'à ce qu'elle s'effondre.
- Pour résoudre une équation, réécrivez tout en termes d'une seule fonction (par exemple, tout sinus).
- Pour vérifier une identité, transformez un côté jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre.
- Les formes sinus 正弦 et cosinus 余cosine sont généralement les plus sûres à viser.
An identity holds for all angles, so both sides must match everywhere — you cannot "prove" one by plugging in a single value. Testing $\theta = 0$ can disprove a false identity, but confirming one angle never proves a true one.
Une identité est vraie pour tous les angles, donc les deux côtés doivent correspondre partout — vous ne pouvez pas « prouver » une identité en testant une seule valeur. Tester $\theta = 0$ peut détruire une fausse identité, mais confirmer un angle ne prouve jamais une identité vraie.
Given $\sin\theta = 0.6$ with $\theta$ acute, find $\cos\theta$.
- Pythagorean identity: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- So $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Since $\theta$ is acute, cosine is positive: $\cos\theta = 0.8$.
Étant donné $\sin\theta = 0.6$ avec $\theta$ aigu, trouvez $\cos\theta$.
- Identité pythagoricienne : $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- Donc $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Puisque $\theta$ est aigu, le cosinus est positif : $\cos\theta = 0.8$.
A trig identity is true for every angle, so it lets you swap an expression for an equivalent one. The master identity is the Pythagorean identity $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; combined with the reciprocal and quotient identities, it rewrites any trig expression in sine and cosine form.
Une identité trigonométrique est vraie pour tout angle, ce qui permet de remplacer une expression par une autre équivalente. L'identité maîtresse est l'identité pythagoricienne $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ ; combinée aux identités réciproques et quotients, elle réécrit toute expression trigonométrique sous forme de sinus et cosinus.