Trigonometric Equations and Inequalities · Équations et inégalités trigonométriques
| English | Français |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
When does the wave hit a target?
- "At what times is the tide exactly $3$ m?" becomes a trig equation.
- Because the wave repeats, the answer is not one time but a whole rhythm of times.
- Solving means finding every angle where the function equals a target value.
- The unit circle and the period together deliver them all.
Quand l'onde atteint-elle une cible ?
- « À quels moments la marée est-elle exactement de $3$ m ? » devient une équation trigonométrique.
- Comme l'onde se répète, la réponse n'est pas une seule heure mais toute une rhythme de moments.
- Résoudre signifie trouver tous les angles où la fonction prend une valeur cible.
- Le cercle unité et la période ensemble fournissent toutes les solutions.
Finding the first solution
- To solve $\sin x = 0.5$, first find one angle with the inverse 反函数: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- That gives a single "starter" solution inside the restricted range.
- For cosine or tangent, use $\arccos$ or $\arctan$ the same way.
- This first angle is the seed from which all others grow.
Trouver la première solution
- Pour résoudre $\sin x = 0.5$, trouvez d'abord un angle avec la fonction inverse 反函数 : $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- Cela donne une solution « initiale » unique dans la plage restreinte.
- Pour le cosinus ou la tangente, utilisez $\arccos$ ou $\arctan$ de la même manière.
- Cet premier angle est la graine d'où naissent tous les autres.
To find a first solution of $\sin x = 0.5$, you use… · Pour trouver une première solution de $\sin x = 0.5$, vous utilisez…
The · Le inverse gives one angle: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Then use symmetry for the rest. · L'inverse donne un angle : $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Ensuite, utilisez la symétrie pour le reste.
Then find them all
- The sine 正弦 wave meets a horizontal target line once every cycle, forever.
- So a trig equation usually has infinitely many solutions.
- Use the symmetry of the graph to find the second solution within one period.
- Then add whole multiples of the period 周期 to generate the endless rest.
Ensuite, trouvez-les tous
- L'onde de sinus 正弦 croise une ligne horizontale cible une fois par cycle, pour toujours.
- Une équation trigonométrique a donc généralement une infinité de solutions.
- Utilisez la symétrie du graphe pour trouver la deuxième solution dans une période.
- Ajoutez ensuite des multiples entiers de la période 周期 pour générer le reste infini.
Every crossing is a solution · Chaque intersection est une solution
y = sin x
The sine wave meets a horizontal target line again and again, so a trig equation has endlessly many solutions. · L'onde sinusoïdale rencontre une ligne cible horizontale encore et encore, donc une équation trig a infiniment de solutions.
Over all real numbers, $\sin x = 0.5$ has… · Sur tous les nombres réels, $\sin x = 0.5$ a…
The wave meets the line $y = 0.5$ once every cycle, forever — infinitely many solutions. · L'onde rencontre la ligne $y = 0.5$ une fois par cycle, à jamais — infinité de solutions.
To list every solution, add whole multiples of the ____ to a first solution. · Pour lister toutes les solutions, ajoutez des multiples entiers de la ____ à une première solution.
Because sine repeats, adding any multiple of its period · période ($2\pi$) gives another solution. · Parce que le sinus se répète, ajouter n'importe quel multiple de sa période ($2\pi$) donne une autre solution.
Select all · tout true statements about trig equations. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les équations trig.
Sine is capped at $1$, so $\sin x = 5$ has no solution. The other three are correct. · Le sinus est borné à $1$, donc $\sin x = 5$ n'a pas de solution. Les trois autres sont corrects.
Inequalities
- A trig inequality like $\sin x > 0.5$ asks for the intervals where the wave is above a line.
- Solve the matching equation first to find the boundary angles.
- Then read off which arcs of the wave satisfy the inequality.
- The answer is a repeating set of intervals, one per period.
Inégalités
- Une inégalité trigonométrique comme $\sin x > 0.5$ demande les intervalles où l'onde est au-dessus d'une droite.
- Résolvez d'abord l'équation correspondante pour trouver les angles limites.
- Ensuite, lisez quels arcs de l'onde satisfont l'inégalité.
- La réponse est un ensemble répété d'intervalles, un par période.
The equation · L'équation $\sin x = 2$ has no solution. · L'équation $\sin x = 2$ n'a pas de solution.
Sine never exceeds $1$, so $\sin x = 2$ can never happen — no solution exists. · Le sinus dépasse jamais $1$, donc $\sin x = 2$ ne peut jamais se produire — aucune solution n'existe.
When there is no solution
- Sine and cosine never leave $[-1, 1]$, so $\sin x = 2$ has no solution at all.
- Always check that the target value is reachable before solving.
- A tangent target, by contrast, is always reachable, since tangent is unbounded.
- Knowing each function's range saves you from chasing impossible answers.
Quand il n'y a pas de solution
- Le sinus et le cosinus restent jamais hors de $[-1, 1]$, donc $\sin x = 2$ n'a aucune solution.
- Vérifiez toujours que la valeur cible est atteignable avant de résoudre.
- Une cible tangente, en revanche, est toujours atteignable, car la tangente est non bornée.
- Connaître l'image (range) de chaque fonction vous épargne la poursuite de réponses impossibles.
Do not report just the calculator's one answer. $\arcsin(0.5)$ gives $\tfrac{\pi}{6}$, but $\sin x = 0.5$ also holds at $\tfrac{5\pi}{6}$ and at every $+2\pi$ beyond both. A trig equation almost always has more solutions than the inverse alone reveals.
Ne rapportez pas seulement la réponse unique de la calculatrice. $\arcsin(0.5)$ donne $\tfrac{\pi}{6}$, mais $\sin x = 0.5$ est aussi vraie en $\tfrac{5\pi}{6}$ et à chaque $+2\pi$ au-delà des deux. Une équation trigonométrique a presque toujours plus de solutions que ce que l'inverse seul révèle.
Solve $\cos x = 0$ for all $x$.
- One solution: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Cosine is also $0$ at $\tfrac{3\pi}{2}$ — that is $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- So the full solution is $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ for every integer $k$.
Résolvez $\cos x = 0$ pour tout $x$.
- Une solution : $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Le cosinus vaut aussi $0$ en $\tfrac{3\pi}{2}$ — c'est-à-dire $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- Donc la solution complète est $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ pour tout entier $k$.
To solve a trig equation, use the inverse for a first angle, then the graph's symmetry and the period to list every solution — often infinitely many. Check the target is within the function's range first (sine and cosine cannot exceed $1$). Inequalities give repeating intervals.
Pour résoudre une équation trigonométrique, utilisez l'inverse pour un premier angle, puis la symétrie du graphe et la période pour lister toutes les solutions — souvent infinitivement. Vérifiez d'abord que la cible est dans l'image de la fonction (sinus et cosinus ne peuvent dépasser $1$). Les inégalités donnent des intervalles répétés.