Inverse Trigonometric Functions · Fonctions trigonométriques inverses
| English | Français |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | un-à-un |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
From a ratio back to an angle
- Sine turns an angle into a ratio; sometimes we need to run that backward.
- "Which angle has a sine of $0.5$?" is a question only an inverse can answer.
- Ramps, satellite dishes, and navigation all need the angle from a measured ratio.
- The inverse trig functions do exactly this reversal.
D'un rapport à un angle
- Le sinus convertit un angle en un rapport ; parfois, nous devons faire l'inverse.
- « Quel angle a un sinus de $0.5$ ? » est une question qu'une seule inverse peut répondre.
- Rampes, antennes paraboliques et navigation ont tous besoin de l'angle à partir d'un rapport mesuré.
- Les fonctions trigonométriques inverses font exactement cette inversion.
What the inverse does
- The inverse 反函数 of sine, written $\arcsin$ or $\sin^{-1}$, takes a value and returns an angle.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, because $\sin 30° = 0.5$.
- Likewise $\arccos$ and $\arctan$ reverse cosine and tangent.
- Each undoes its trig function, recovering the angle that produced a value.
Ce que fait l'inverse
- L'inverse 反函数 du sinus, noté $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$, prend une valeur et retourne un angle.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, parce que $\sin 30° = 0.5$.
- De même, $\arccos$ et $\arctan$ inversent le cosinus et la tangente.
- Chacun annule sa fonction trigonométrique, récupérant l'angle qui a produit une valeur.
The inverse function $\arcsin$ (or $\sin^{-1}$) takes a value and returns… · La fonction inverse $\arcsin$ (ou $\sin^{-1}$) prend une valeur et retourne…
The · Le inverse of sine reverses it: $\arcsin(0.5)$ is the angle whose sine is $0.5$, namely $30°$. · L'inverse du sinus l'inverse : $\arcsin(0.5)$ est l'angle dont le sinus est $0.5$, soit $30°$.
Why we must restrict
- Sine is not one-to-one 一一对应: countless angles share the same sine value.
- If we reversed all of them, the "inverse" would give many answers at once — not a function.
- So we restrict the domain to one rising piece, from $-\tfrac{\pi}{2}$ to $\tfrac{\pi}{2}$.
- On that restricted domain 定义域, each output comes from exactly one angle.
Pourquoi nous devons restreindre
- Le sinus n'est pas un-à-un 一一对应 : d'innombrables angles partagent la même valeur de sinus.
- Si nous inversions tout, l'« inverse » donnerait plusieurs réponses à la fois — pas une fonction.
- Nous restreignons donc le domaine à une seule partie ascendante, de $-\tfrac{\pi}{2}$ à $\tfrac{\pi}{2}$.
- Sur ce domaine 定义域 restreint, chaque sortie vient d'un angle unique.
From a ratio back to an angle · D'un rapport à un angle
An inverse trig function answers the reverse question — given the sine or cosine value, which angle produced it? · Une fonction trig inverse répond à la question inverse — donnée la valeur du sinus ou du cosinus, quel angle l'a produite ?
Why must sine be restricted before it can have an inverse function? · Pourquoi le sinus doit-il être restreint avant d'avoir une fonction inverse ?
Many angles share the same sine, so sine is not one-to-one. Restricting its domain fixes a single output per input. · Beaucoup d'angles partagent le même sinus, donc le sinus n'est pas injectif. Restreindre son domaine fixe une seule sortie par entrée.
What is $\arcsin(1)$ (in radians)? · Quelle est la valeur de $\arcsin(1)$ (en radians) ?
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, so $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — the angle in the restricted range. · $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, donc $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — l'angle dans la plage restreinte.
Select all · tout true statements about inverse trig functions. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les fonctions trig inverses.
An inverse returns just one · une angle (in the restricted range), not all of them. The other three are correct. · Un inverse retourne juste un · non angle (dans la plage restreinte), pas tous. Les trois autres sont corrects.
The inverse graphs
- Because they are inverses, the graphs reflect the restricted trig graphs across $y = x$.
- $\arcsin$ has domain $[-1, 1]$ (all valid sine 正弦 values) and range $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ has the same domain but range $[0, \pi]$.
- Their inputs are ratios; their outputs are angles.
Les graphiques des inverses
- Comme ils sont des inverses, les graphiques reflètent les graphiques trigonométriques restreints sur $y = x$.
- $\arcsin$ a pour domaine $[-1, 1]$ (toutes les valeurs sinus 正弦 valides) et pour plage $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ a le même domaine mais pour plage $[0, \pi]$.
- Leurs entrées sont des rapports ; leurs sorties sont des angles.
The graph of an inverse trig function is the restricted trig graph reflected across $y = x$. · Le graphe d'une fonction trig inverse est le graphe trig restreint reflété à travers $y = x$.
As with any inverse, swapping input and output mirrors the graph across the line $y = x$. · Comme avec toute fonction inverse, inverser l'entrée et la sortie miroite le graphe à travers la ligne $y = x$.
Reading a value
- To find $\arccos(0)$, ask "which angle in $[0,\pi]$ has cosine $0$?" — the answer is $\tfrac{\pi}{2}$.
- The inverse returns the one angle inside the restricted range, called the principal value.
- Other angles may also work, but the inverse function reports just one.
- Add full turns or use symmetry if you need the rest.
Lire une valeur
- Pour trouver $\arccos(0)$, demandez « quel angle dans $[0,\pi]$ a un cosinus de $0$ ? » — la réponse est $\tfrac{\pi}{2}$.
- L'inverse retourne l'un angle dans la plage restreinte, appelé valeur principale.
- D'autres angles peuvent aussi fonctionner, mais la fonction inverse n'en rapporte qu'un seul.
- Ajoutez des tours complets ou utilisez la symétrie si vous avez besoin du reste.
The inverse gives only the principal angle, not every solution. $\arcsin(0.5) = 30°$, but $150°$ also has sine $0.5$. When solving an equation you must find all the angles yourself — the inverse hands you just one.
L'inverse donne uniquement l'angle principal, pas toutes les solutions. $\arcsin(0.5) = 30°$, mais $150°$ a aussi un sinus de $0.5$. Lors de la résolution d'une équation, vous devez trouver tous les angles vous-même — l'inverse ne vous en donne qu'un.
A ramp rises $3$ m over a slope length of $6$ m. What angle does it make?
- The sine of the angle is $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- So the angle is $\arcsin(0.5) = 30°$.
- The inverse turned the measured ratio back into the angle we wanted.
Une rampe monte de $3$ m sur une longueur de pente de $6$ m. Quel angle forme-t-elle ?
- Le sinus de l'angle est $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- Donc l'angle est $\arcsin(0.5) = 30°$.
- L'inverse a converti le rapport mesuré en angle souhaité.
An inverse trig function returns an angle from a ratio: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Since trig functions are not one-to-one, we restrict their domain first. The inverse graphs reflect the restricted sine/cosine/tangent across $y = x$, and report just the principal angle.
Une fonction trigonométrique inverse renvoie un angle à partir d'un rapport : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Puisque les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives, nous restreignons leur domaine de définition au préalable. Les graphes des inverses reflètent le sinus/cosinus/tangente restreint par rapport à $y = x$, et ne reportent que l'angle principal.