The Tangent Function · La fonction Tangente
| English | Français |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote verticale |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
A wave that breaks
- Sine and cosine roll along smoothly, forever bounded between $-1$ and $1$.
- The tangent function is wilder: it shoots up to infinity, then restarts.
- Its graph is a chain of separate branches, each broken by an invisible wall.
- Understanding why it breaks reveals how it is built from sine and cosine.
Une onde qui se brise
- Le sinus et le cosinus roulent en douceur, toujours bornés entre $-1$ et $1$.
- La tangente est plus sauvage : elle monte vers l'infini, puis recommence.
- Son graphique est une chaîne de branches séparées, chacune coupée par un mur invisible.
- Comprendre pourquoi elle se brise révèle comment elle est construite à partir du sinus et du cosinus.
Tangent is a ratio
- The tangent 正切 is defined as $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- On the unit circle it is the slope of the line from the origin to the point.
- Where sine is $0$, tangent is $0$ (the branches cross the axis).
- Where cosine is $0$, the ratio divides by zero — and that is where it breaks.
La tangente est un rapport
- La tangente 正切 est définie comme $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- Sur le cercle unité, c'est la pente de la ligne reliant l'origine au point.
- Où le sinus vaut $0$, la tangente vaut $0$ (les branches traversent l'axe).
- Où le cosinus vaut $0$, le rapport divise par zéro — et c'est là qu'elle se brise.
The tangent function equals… · La fonction tangente vaut…
By definition, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — sine over cosine. · Par définition, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — sinus divisé par cosinus.
What is $\tan 0$? · Quelle est la valeur de $\tan 0$ ?
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
Asymptotes where cosine vanishes
- A vertical asymptote 竖直渐近线 appears wherever $\cos x = 0$.
- That happens at $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — every half-turn.
- Approaching an asymptote, the output races off to $+\infty$ or $-\infty$.
- The graph never crosses these walls; it just climbs steeply beside them.
Asymptotes là où le cosinus s'annule
- Une asymptote verticale 竖直渐近线 apparaît partout où $\cos x = 0$.
- Cela arrive à $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — tous les demi-tours.
- En approchant d'une asymptote, la sortie fuit vers $+\infty$ ou $-\infty$.
- Le graphique ne franchit jamais ces murs ; il grimpe simplement à côté d'eux avec raideur.
Tangent as a slope that runs away · Tangente comme une pente qui tend vers l'infini
On the unit circle, tangent is the slope of the radius line. As the angle nears 90 degrees, that slope shoots toward infinity. · Sur le cercle unité, la tangente est la pente de la ligne du rayon. Quand l'angle approche 90 degrés, cette pente tend vers l'infini.
The tangent function has a vertical asymptote wherever… · La fonction tangente a une asymptote verticale partout où…
Where · Où $\cos x = 0$, the fraction $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divides by zero — a vertical asymptote. · Où $\cos x = 0$, la fraction $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divise par zéro — une asymptote verticale.
Select all · tout true statements about $y = \tan x$. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur $y = \tan x$.
Unlike sine and cosine, tangent is unbounded — it shoots to $\pm\infty$. The other three are correct. · Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente n'est pas bornée — elle tend vers $\pm\infty$. Les trois autres sont corrects.
A shorter period
- Sine and cosine repeat every $2\pi$, but the period 周期 of tangent is just $\pi$.
- So tangent completes a full cycle twice as often.
- Within each period it climbs steadily from $-\infty$ up to $+\infty$.
- One branch spans from one asymptote to the next.
Une période plus courte
- Sinus et cosinus se répètent tous les $2\pi$, mais la période 周期 de la tangente n'est que $\pi$.
- Donc la tangente accomplit un cycle complet deux fois plus souvent.
- Dans chaque période, elle monte régulièrement de $-\infty$ jusqu'à $+\infty$.
- Une branche s'étend d'une asymptote à la suivante.
Unlike sine and cosine, the tangent function has period ____ (not $2\pi$). · Contrairement au sinus et au cosinus, la fonction tangente a une période ____ (pas $2\pi$).
Tangent repeats every $\pi$ — twice as often as sine or cosine. · La tangente se répète tous les $\pi$ — deux fois plus souvent que le sinus ou le cosinus.
Unbounded output
- Unlike sine and cosine, tangent has no maximum or minimum.
- Its range is all real numbers — it reaches every height.
- Near an asymptote it grows without limit; at the middle of a branch it is $0$.
- This unbounded, repeating shape models steepness and angles of elevation.
Sortie non bornée
- Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente n'a ni maximum ni minimum.
- Son ensemble de définition est tous les nombres réels — elle atteint toute hauteur.
- Près d'une asymptote, elle croît sans limite ; au milieu d'une branche, elle vaut $0$.
- Cette forme non bornée et répétitive modélise la pentes et les angles d'élévation.
Tangent is undefined at its asymptotes — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ has no value, because $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ and you cannot divide by zero. Do not try to plug those angles in; the function simply does not exist there.
La tangente est indéfinie à ses asymptotes — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ n'a aucune valeur, car $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ et on ne peut pas diviser par zéro. N'essayez pas d'insérer ces angles ; la fonction tout simplement n'existe pas à cet endroit.
Find $\tan\tfrac{\pi}{4}$ and explain why $\tan\tfrac{\pi}{2}$ is undefined.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, which is undefined.
- So $x = \tfrac{\pi}{2}$ is a vertical asymptote, not a point on the graph.
Trouvez $\tan\tfrac{\pi}{4}$ et expliquez pourquoi $\tan\tfrac{\pi}{2}$ est indéfini.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, qui est indéfini.
- Donc $x = \tfrac{\pi}{2}$ est une asymptote verticale, pas un point sur le graphique.
The tangent function is $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. It has a vertical asymptote wherever $\cos x = 0$, a period of $\pi$ (not $2\pi$), and an unbounded range — each branch climbs from $-\infty$ to $+\infty$ and repeats.
La fonction tangente est $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. Elle possède une asymptote verticale partout où $\cos x = 0$, une période de $\pi$ (pas $2\pi$), et une plage non bornée — chaque branche grimpe de $-\infty$ à $+\infty$ et se répète.