Modeling with Sinusoidal Functions · Modélisation avec des fonctions sinusoïdales
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|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | ligne médiane |
| sinusoidal model/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈmɒdl/ | modèle sinusoïdal |
| sinusoidal regression/ˌsaɪnəˈsɔɪdl rɪˈɡreʃn/ | régression sinusoïdale |
Predicting the tides
- Tide charts, daily temperatures, and hours of daylight all rise and fall on a cycle.
- To forecast the next high tide, we fit a sine wave to past measurements.
- The four sinusoid dials — amplitude, period, midline, shift — get read straight from the data.
- Once fitted, the model predicts every future cycle.
Prédire les marées
- Les graphiques de marée, les températures quotidiennes et les heures de jour varient selon un cycle.
- Pour prévoir la prochaine marée haute, nous ajustons une onde sinusoïdale aux mesures passées.
- Les quatre molettes sinusoïdales — amplitude, période, ligne médiane, déphasage — se lisent directement à partir des données.
- Une fois ajusté, le modèle prédit chaque cycle futur.
Reading the model from data
- A sinusoidal model 正弦型模型 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$ fitted to periodic data.
- The midline 中线 $d$ is the average of the highest and lowest values.
- The amplitude 振幅 $|a|$ is half the distance between the high and the low.
- These two come straight from the peaks and troughs of the data.
Lire le modèle à partir des données
- Un modèle sinusoïdal 正弦型模型 est $y = a\sin(b(x - c)) + d$ ajusté à des données périodiques.
- La ligne médiane 中线 $d$ est la moyenne des valeurs maximales et minimales.
- L'amplitude 振幅 $|a|$ est la moitié de la distance entre le maximum et le minimum.
- Ces deux éléments proviennent directement des sommets et des creux des données.
A sinusoidal model is the right choice for data that… · Un modèle sinusoïdal est le bon choix pour des données qui…
Repeating highs and lows — tides, temperatures, daylight hours — call for a sinusoidal model. · Des maxima et minima répétitifs — marées, températures, heures d'ensoleillement — nécessitent un modèle sinusoïdal.
Period and shift from data
- The period 周期 is how long one full cycle takes; then $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- The phase shift $c$ lines the wave up with when the data first peaks.
- Tides repeat about every $12.4$ hours; a year of temperatures repeats every $12$ months.
- Match the cycle length and the model locks onto the rhythm.
Période et déphasage à partir des données
- La période 周期 est la durée d'un cycle complet ; ensuite $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Le déphasage $c$ aligne l'onde avec le moment où les données atteignent leur premier pic.
- Les marées se répètent environ toutes les $12.4$ heures ; une année de température se répète tous les $12$ mois.
- Faites correspondre la longueur du cycle et le modèle s'accroche au rythme.
Tune a sinusoid to match periodic data · Ajustez une sinusoïde pour correspondre aux données périodiques
y = a·sin(b(x − c)) + d
Set the midline d and amplitude a from the data's high and low, then set b from the period until the wave fits. · Définissez la ligne médiane d et l'amplitude a à partir du maximum et du minimum des données, puis définissez b à partir de la période jusqu'à ce que l'onde s'adapte.
The midline of a fitted sinusoid is the ____ of the highest and lowest data values. · La ligne médiane d'une sinusoïde ajustée est la ____ des valeurs maximales et minimales des données.
Midline $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$; the amplitude is half the distance between them. · Ligne médiane $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; l'amplitude est la moitié de la distance entre elles.
Tides run from a low of $1$ m to a high of $5$ m. What is the amplitude? · Les marées varient d'un bas de $1$ m à un haut de $5$ m. Quelle est l'amplitude ?
Amplitude $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ m — half the total swing. · Amplitude $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ m — la moitié de l'amplitude totale.
Select all · tout true statements about sinusoidal models. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les modèles sinusoïdaux.
Sinusoids repeat; they do not fit unbounded growth. The other three are correct. · Les sinusoïdes se répètent ; elles ne conviennent pas à une croissance non bornée. Les trois autres sont corrects.
Sinusoidal regression
- With many data points, use technology to run a sinusoidal regression 正弦型回归.
- It returns the best-fit $a, b, c, d$ all at once.
- The curve threads the data's cycle without hitting every point exactly.
- The result is a ready-to-use periodic formula.
Régression sinusoïdale
- Avec beaucoup de points de données, utilisez la technologie pour effectuer une régression sinusoïdale 正弦型回归.
- Elle retourne le meilleur ajustement $a, b, c, d$ en une seule fois.
- La courbe traverse les cycles des données sans toucher exactement chaque point.
- Le résultat est une formule périodique prête à l'emploi.
Technology can compute a sinusoidal regression to fit periodic data. · La technologie peut calculer une régression sinusoïdale pour ajuster des données périodiques.
A sinusoidal regression returns the best-fit $a, b, c, d$ for a data set, just like other regressions. · Une régression sinusoïdale retourne le meilleur ajustement de $a, b, c, d$ pour un ensemble de données, comme les autres régressions.
Using the model
- Plug in a future input to predict, say, the tide height at 3 p.m. tomorrow.
- Because it repeats, one well-fitted cycle forecasts them all.
- Keep the domain sensible — the pattern holds only while conditions stay steady.
- Interpret each parameter: amplitude is the tidal range, midline is the mean level.
Utiliser le modèle
- Brancher une entrée future pour prédire, par exemple, la hauteur de la marée à 3 heures demain.
- Comme cela se répète, un seul cycle bien ajusté prévoit tous les autres.
- Gardez le domaine raisonnable — le motif ne tient que tant que les conditions restent stables.
- Interprétez chaque paramètre : l'amplitude est l'amplitude de marée, la ligne médiane est le niveau moyen.
A sinusoidal model only fits data that genuinely repeats. Do not force one onto data that trends upward overall — a rising, wobbling series needs a trend plus a wave, not a pure sinusoid.
Un modèle sinusoïdal ne s'ajuste qu'aux données qui se répètent réellement. Ne forcez pas son utilisation sur des données présentant une tendance générale à la hausse — une série croissante avec oscillations nécessite une tendance plus une onde, pas une sinusoïde pure.
A harbour's tide is low ($1$ m) at midnight and high ($5$ m) six hours later.
- Midline $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ m; amplitude $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ m.
- Low-to-high is half a cycle in $6$ h, so the period is $12$ h and $b = \tfrac{2\pi}{12}$.
- Model: $h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$, starting low at $t = 0$.
La marée d'un port est basse ($1$ m) à minuit et haute ($5$ m) six heures plus tard.
- Ligne médiane $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ m ; amplitude $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ m.
- Du bas au haut représente la moitié d'un cycle en $6$ h, donc la période est $12$ h et $b = \tfrac{2\pi}{12}$.
- Modèle : $h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$, commençant bas à $t = 0$.
A sinusoidal model $y = a\sin(b(x-c)) + d$ fits repeating data: the midline is the average of high and low, the amplitude is half their gap, and the period is one cycle's length. A sinusoidal regression finds the best fit for you.
Un modèle sinusoïdal $y = a\sin(b(x-c)) + d$ s'ajuste aux données répétitives : la ligne médiane est la moyenne du haut et du bas, l'amplitude est la moitié de leur écart, et la période est la longueur d'un cycle. Une régression sinusoïdale trouve le meilleur ajustement pour vous.