Transformations of Sinusoidal Functions · Transformations des fonctions sinusoïdales
| English | Français |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | ligne médiane |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | déphasage |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | fonction sinusoïdale |
Bending the parent wave
- The parent $\sin x$ is fixed, but real waves are taller, faster, and shifted.
- Four transformations reshape it into any sinusoid you need.
- Two act vertically (on the output), two act horizontally (on the input).
- Learn what each dial does, and you can graph or write any wave.
Modèles de l'onde parente
- L'onde parente $\sin x$ est fixe, mais les vraies ondes sont plus hautes, plus rapides et décalées.
- Quatre transformations la transforment en n'importe quelle sinusoïde dont vous avez besoin.
- Deux agissent verticalement (sur la sortie), deux agissent horizontalement (sur l'entrée).
- Apprenez ce que fait chaque cadran, et vous pourrez tracer ou écrire n'importe quelle onde.
Vertical changes
- Multiplying by $a$ stretches the wave vertically: the amplitude 振幅 becomes $|a|$.
- A negative $a$ also flips the wave upside down.
- Adding $d$ raises or lowers the whole wave, setting the midline 中线 to $y = d$.
- Together these fix the peak ($d + |a|$) and trough ($d - |a|$).
Changements verticaux
- Multiplier par $a$ étire l'onde verticalement : l'amplitude 振幅 devient $|a|$.
- Un $a$ négatif renverse également l'onde à l'envers.
- Ajouter $d$ élève ou abaisse toute l'onde, définissant la ligne médiane 中线 à $y = d$.
- Ensemble, ces éléments fixent le pic ($d + |a|$) et le creux ($d - |a|$).
Increasing $|a|$ in $y = a\sin(bx) + d$ makes the wave… · L'augmentation de $|a|$ dans $y = a\sin(bx) + d$ rend l'onde…
$|a|$ is the amplitude, so a larger $|a|$ stretches the wave taller. · $|a|$ est l'amplitude, donc un $|a|$ plus grand étire l'onde verticalement.
Increasing $d$ in $y = a\sin(bx) + d$ … · L'augmentation de $d$ dans $y = a\sin(bx) + d$ …
$d$ is the midline level, so adding to it lifts the whole wave up. · $d$ est le niveau de la ligne médiane, donc l'ajouter soulève toute l'onde vers le haut.
Horizontal changes
- The factor $b$ squeezes the wave horizontally: the period 周期 becomes $\tfrac{2\pi}{b}$.
- A bigger $b$ means faster cycling — more waves in the same space.
- The constant $c$ produces a phase shift 相位平移, sliding the wave left or right.
- As always, $(x - c)$ moves the graph right by $c$.
Changements horizontaux
- Le facteur $b$ comprime la onde horizontalement : la période 周期 devient $\tfrac{2\pi}{b}$.
- Une valeur plus grande de $b$ signifie un cycle plus rapide — plus d'ondes dans le même espace.
- La constante $c$ produit un déphasage 相位平移, décalant l'onde vers la gauche ou la droite.
- Comme toujours, $(x - c)$ déplace le graphique vers la droite de $c$.
Stretch, shift, and lift a sine wave · Étirez, décalez et relevez une onde sinusoïdale
y = a·sin(b(x − c)) + d
Grow a to raise the amplitude, grow b to shorten the period, change c to slide sideways, and change d to raise the midline. · Augmenter a pour élever l'amplitude, augmenter b pour réduire la période, modifier c pour déplacer horizontalement, et modifier d pour relever la ligne médiane.
For · Pour $y = \sin(3x)$, what is the period? (Use $\pi \approx 3.14$; give the value of $2\pi/3$.) · Pour $y = \sin(3x)$, quelle est la période ? (Utilisez $\pi \approx 3.14$ ; donnez la valeur de $2\pi/3$.)
Period · Période $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — tripling $b$ shrinks the period to a third. · Période $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — tripler $b$ réduit la période au tiers.
The constant $c$ inside $\sin(b(x - c))$ produces a horizontal ____ shift. · La constante $c$ à l'intérieur de $\sin(b(x - c))$ produit un décalage horizontal ____.
A phase shift slides the wave left or right without changing its shape. · Un déphasage déplace l'onde vers la gauche ou la droite sans changer sa forme.
Combining all four
- A full sinusoidal function 正弦型函数 uses all four at once: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Apply them in a sensible order: stretch, then shift.
- Each parameter acts independently, so you can read them off one at a time.
- The same four transform a cosine identically.
Combiner les quatre paramètres
- Une fonction sinusoïdale 正弦型函数 complète utilise les quatre paramètres à la fois : $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Appliquez-les dans un ordre logique : étirement, puis décalage.
- Chaque paramètre agit indépendamment, vous pouvez donc les lire un par un.
- Les mêmes quatre transformations s'appliquent identiquement au cosinus.
Match each parameter of $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Select all · tout correct. · Reliez chaque paramètre de $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Sélectionnez tous les choix corrects.
$c$ controls the phase shift, not amplitude. The other three are correct. · $c$ contrôle le déphasage, pas l'amplitude. Les trois autres sont corrects.
Reading a transform from a graph
- Measure the midline: average the highest and lowest points → that is $d$.
- Measure the amplitude: half the distance from peak to trough → that is $|a|$.
- Measure the period: the horizontal length of one cycle → gives $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Find where a cycle "starts" to read the phase shift $c$.
Lire une transformation sur un graphique
- Mesurez la ligne médiane : faites la moyenne des points les plus hauts et les plus bas → c'est $d$.
- Mesurez l'amplitude : la moitié de la distance du sommet au creux → c'est $|a|$.
- Mesurez la période : la longueur horizontale d'un cycle complet → donne $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Trouvez où un cycle « commence » pour lire le déphasage $c$.
Amplitude and midline come from outside the sine (they scale and lift the output); period and phase shift come from inside (they act on the input). Mixing up inside and outside — especially the backwards horizontal shift — is the classic sinusoid error.
L'amplitude et la ligne médiane proviennent de l'extérieur du sinus (elles misent et soulèvent la sortie) ; la période et le déphasage viennent de l'intérieur (ils agissent sur l'entrée). Confondre l'intérieur et l'extérieur — surtout le décalage horizontal inversé — est l'erreur classique des sinusoïdes.
Describe the transformations in $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$; midline $y = 3$; so it swings between $-1$ and $7$.
- Period $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Phase shift: right by $1$ (from the $x - 1$ inside).
Décrivez les transformations dans $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$ ; ligne médiane $y = 3$ ; donc elle oscille entre $-1$ et $7$.
- Période $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Déphasage : vers la droite de $1$ (provenant du $x - 1$ à l'intérieur).
Transform the parent sine with four dials: $a$ sets the amplitude, $d$ the midline, $b$ the period ($\tfrac{2\pi}{b}$), and $c$ the phase shift. Outside-the-sine values act vertically; inside values act horizontally and run backwards.
Transformez la sinusoïde parente avec quatre molettes : $a$ définit l'amplitude, $d$ la ligne médiane, $b$ la période ($\tfrac{2\pi}{b}$), et $c$ le déphasage. Les valeurs extérieures agissent verticalement ; celles intérieures agissent horizontalement et s'inversent.