Sinusoidal Functions · Fonctions Sinusoïdales
| English | Français |
|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | fonction sinusoïdale |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | ligne médiane |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | déphasage |
One wave, four dials
- The parent sine wave is fixed, but real waves come in every size and speed.
- Four numbers let you reshape it: taller or shorter, faster or slower, shifted up or sideways.
- Master those four and you can match any smooth periodic curve.
- This flexible family is called the sinusoidal functions.
Une onde, quatre cadrans
- L'onde sinus parente est fixe, mais les vraies ondes existent sous toutes les tailles et vitesses.
- Quatre nombres permettent de la remodeler : plus haute ou plus courte, plus rapide ou plus lente, décalée vers le haut ou latéralement.
- Maîtrisez ces quatre éléments et vous pourrez correspondre n'importe quelle courbe périodique régulière.
- Cette famille flexible est appelée les fonctions sinusoïdales.
The general form
- A sinusoidal function 正弦型函数 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- The amplitude 振幅 is $|a|$ — how far the wave rises above and below its centre.
- The midline 中线 is $y = d$ — the horizontal line the wave oscillates around.
- Cosine fits the same template; the two are interchangeable with a shift.
La forme générale
- Une fonction sinusoïdale 正弦型函数 est $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- L'amplitude 振幅 est $|a|$ — la distance à laquelle l'onde monte au-dessus et descend en dessous de son centre.
- La ligne médiane 中线 est $y = d$ — la ligne horizontale autour de laquelle l'onde oscille.
- Le cosinus s'adapte au même modèle ; les deux sont interchangeables avec un décalage.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the amplitude is… · Dans $y = a\sin(b(x - c)) + d$, l'amplitude est…
The coefficient $a$ stretches the wave vertically, so the amplitude is $|a|$. · Le coefficient $a$ étire l'onde verticalement, donc l'amplitude est $|a|$.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the midline is the line $y =$ ____. · Dans $y = a\sin(b(x - c)) + d$, la ligne médiane est la ligne $y =$ ____.
Adding $d$ shifts the whole wave up, so the midline sits at $y = d$. · Ajouter $d$ déplace toute l'onde vers le haut, donc la ligne médiane se situe à $y = d$.
Amplitude and midline
- Change $a$ to stretch the wave taller or squash it flatter (or flip it if $a < 0$).
- Change $d$ to slide the whole wave up or down to a new midline.
- The maximum is $d + |a|$ and the minimum is $d - |a|$.
- So $a$ and $d$ together fix the top and bottom of the wave.
Amplitude et ligne médiane
- Changez $a$ pour étirer l'onde verticalement ou l'aplatir (ou la retourner si $a < 0$).
- Changez $d$ pour glisser toute l'onde vers le haut ou le bas vers une nouvelle ligne médiane.
- Le maximum est $d + |a|$ et le minimum est $d - |a|$.
- Donc $a$ et $d$ ensemble fixent le haut et le bas de l'onde.
Reshape a sinusoid with four controls · Redessiner une sinusoïde avec quatre commandes
y = a·sin(b(x − c)) + d
a sets the amplitude, b sets the period, c shifts it sideways, and d sets the midline. Change each and watch. · a définit l'amplitude, b définit la période, c la décale latéralement, et d définit la ligne médiane. Changez chacun et observez.
The · Le period · période of $y = a\sin(b x) + d$ is… · La période de $y = a\sin(b x) + d$ est…
The factor $b$ compresses the wave horizontally, so the period · période shrinks to $\dfrac{2\pi}{b}$. · Le facteur $b$ comprime l'onde horizontalement, donc la période se réduit à $\dfrac{2\pi}{b}$.
What is the period of $y = \sin(2x)$? (Use $\pi \approx 3.14$.) · Quelle est la période de $y = \sin(2x)$ ? (Utilisez $\pi \approx 3.14$.)
Period · Période $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — doubling $b$ halves the period. · Période $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — doubler $b$ divise la période par deux.
Period from b
- The number $b$ controls how quickly the wave cycles.
- The period 周期 is $\dfrac{2\pi}{b}$ — a bigger $b$ packs cycles closer together.
- So $y = \sin(2x)$ repeats twice as fast, with period $\pi$.
- Frequency (cycles per unit) is the reciprocal of the period.
Période issue de b
- Le nombre $b$ contrôle la rapidité avec laquelle l'onde effectue des cycles.
- La période 周期 est $\dfrac{2\pi}{b}$ — un $b$ plus grand rapproche les cycles.
- Donc $y = \sin(2x)$ se répète deux fois plus vite, avec une période de $\pi$.
- La fréquence (cycles par unité) est l'inverse de la période.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, match each role. Select all · tout correct. · Dans $y = a\sin(b(x - c)) + d$, associez chaque rôle. Sélectionnez toutes les réponses correctes.
$b$ controls the period, not the amplitude. A phase shift of $c$ slides the wave sideways. The other three are correct. · $b$ contrôle la période, pas l'amplitude. Un déphasage de $c$ déplace l'onde horizontalement. Les trois autres sont corrects.
Phase shift from c
- The value $c$ slides the wave left or right — a phase shift 相位平移.
- Inside the function, $(x - c)$ moves the graph right by $c$ (the usual backwards rule).
- A phase shift lets a sine model line up with data that peaks at a chosen time.
- Together $a, b, c, d$ pin down any sinusoid exactly.
Déphasage issu de c
- La valeur $c$ décale l'onde vers la gauche ou la droite — un déphasage 相位平移.
- Dans la fonction, $(x - c)$ déplace le graphique vers la droite de $c$ (la règle habituelle inversée).
- Un déphasage permet à un modèle sinusoïdal de s'aligner avec des données atteignant leur pic à un moment choisi.
- Ensemble, $a, b, c, d$ définissent précisément n'importe quelle sinusoïde.
Remember $b$ sets the period, not the amplitude, and it works inversely: a larger $b$ gives a shorter period. And the shift $(x - c)$ moves the graph right, not left — the inside-the-function reversal trips many students.
Rappelez-vous que $b$ définit la période, pas l'amplitude, et fonctionne inversement : un $b$ plus grand donne une période plus courte. Et le décalage $(x - c)$ déplace le graphique vers la droite, pas vers la gauche — l'inversion à l'intérieur de la fonction trompe souvent les étudiants.
Describe $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$; midline $y = 5$; so it swings between $2$ and $8$.
- Period $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — one cycle every $\pi$ units.
- No phase shift ($c = 0$), so it starts a cycle at $x = 0$ on the midline, rising.
Décrivez $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$ ; ligne médiane $y = 5$ ; donc elle oscille entre $2$ et $8$.
- Période $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — un cycle tous les $\pi$ unités.
- Aucun déphasage ($c = 0$), donc elle commence un cycle à $x = 0$ sur la ligne médiane, montant.
A sinusoidal function $y = a\sin(b(x-c)) + d$ has amplitude $|a|$, midline $y = d$, period $\dfrac{2\pi}{b}$, and a phase shift of $c$. These four numbers reshape the parent wave to fit any smooth periodic pattern.
Une fonction sinusoïdale $y = a\sin(b(x-c)) + d$ a une amplitude $|a|$, une ligne médiane $y = d$, une période $\dfrac{2\pi}{b}$, et un déphasage de $c$. Ces quatre nombres modifient l'onde parente pour s'adapter à n'importe quel motif périodique régulier.