Graphs of Sine and Cosine · Graphiques de Sinus et Cosinus
| English | Français |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosinus |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | ligne médiane |
Unrolling the circle into a wave
- Imagine the point spinning around the unit circle, and track just its height over time.
- Plot that height against the angle, and a smooth wave appears.
- That wave is the graph of sine — the circle unrolled.
- Cosine is the same idea, tracking the horizontal coordinate instead.
Dérouler le cercle en onde
- Imaginez le point tournant autour du cercle unité, et suivez uniquement sa hauteur au fil du temps.
- Tracez cette hauteur en fonction de l'angle, et une onde régulière apparaît.
- Cette onde est le graphique du sinus — le cercle déroulé.
- Le cosinus est la même idée, en suivant la coordonnée horizontale au lieu de la verticale.
The sine graph
- The sine 正弦 graph $y = \sin x$ starts at $0$, rises to $1$, falls through $0$ to $-1$, then returns.
- One full cycle takes $2\pi$ before the pattern repeats.
- It swings a fixed distance above and below the horizontal axis.
- The result is the classic smooth, rolling wave.
Le graphique du sinus
- Le graphique du sinus 正弦 $y = \sin x$ commence à $0$, monte à $1$, descend par $0$ jusqu'à $-1$, puis revient.
- Un cycle complet prend $2\pi$ avant que le motif ne se répète.
- Il oscille d'une distance fixe au-dessus et en dessous de l'axe horizontal.
- Le résultat est l'onde classique, lisse et roulante.
Trace the sine wave · Tracer l'onde sinusoïdale
y = a·sin(b(x − c)) + d
This is the parent sine wave — amplitude 1, midline y = 0, and period 2π. Watch it repeat. · Ceci est l'onde sinusoïdale parente — amplitude 1, ligne médiane y = 0, et période 2π. Observez-la se répéter.
The parent sine graph $y = \sin x$ starts (at $x = 0$) at height… · Le graphique parent sinus $y = \sin x$ commence (à $x = 0$) à la hauteur…
Since $\sin 0 = 0$, the sine wave begins at the midline and rises to its peak of $1$. · Puisque $\sin 0 = 0$, l'onde sinusoïdale commence à la ligne médiane et monte jusqu'à son sommet de $1$.
The cosine graph
- The cosine 余弦 graph $y = \cos x$ has the exact same shape.
- But it starts at its peak $1$ (since $\cos 0 = 1$), a quarter-period ahead of sine.
- In fact, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — cosine is sine shifted left.
- So learning one wave essentially gives you both.
Le graphique du cosinus
- Le graphique du cosinus 余弦 $y = \cos x$ a exactement la même forme.
- Mais il commence à son pic $1$ (puisque $\cos 0 = 1$), soit un quart de période en avance sur le sinus.
- De fait, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — le cosinus est le sinus décalé vers la gauche.
- Ainsi, apprendre une seule onde vous donne essentiellement les deux.
The parent cosine graph $y = \cos x$ starts (at $x = 0$) at height… · Le graphique parent cosinus $y = \cos x$ commence (à $x = 0$) à la hauteur…
Since $\cos 0 = 1$, cosine starts at its maximum — a quarter-period ahead of sine. · Puisque $\cos 0 = 1$, le cosinus commence à son maximum — un quart de période en avance sur le sinus.
Select all · tout true statements about $y = \sin x$ and · et $y = \cos x$. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant $y = \sin x$ et $y = \cos x$.
They oscillate, never increasing forever. The other three are correct. · Ils oscillent, jamais augmenter indéfiniment. Les trois autres sont corrects.
Amplitude, midline, and period
- The parent waves have amplitude 振幅 $1$: they rise $1$ above and dip $1$ below.
- Their midline 中线 is $y = 0$, the level they oscillate around.
- Their period 周期 is $2\pi$, the horizontal length of one cycle.
- Every other sine-shaped graph is one of these, stretched or shifted.
Amplitude, ligne médiane et période
- Les ondes parent ont une amplitude 振幅 de $1$ : elles montent $1$ au-dessus et descendent $1$ en dessous.
- Leur ligne médiane 中线 est $y = 0$, le niveau autour duquel elles oscillent.
- Leur période 周期 est $2\pi$, la longueur horizontale d'un cycle.
- Toute autre graphique en forme de sinus est l'une de celles-ci, étirée ou décalée.
The parent sine and cosine graphs each have a period of ____ radians. · Les graphiques parents sinus et cosinus ont chacun une période de ____ radians.
One full cycle spans $2\pi$ before the wave repeats — the period · période of the parent functions. · Un cycle complet couvre $2\pi$ avant que l'onde ne se répète — la période des fonctions parents.
The parent sine and cosine graphs have amplitude $1$ and midline $y = 0$. · Les graphiques parents sinus et cosinus ont une amplitude $1$ et une ligne médiane $y = 0$.
They swing between $-1$ and · et $1$: amplitude $1$ above/below the midline $y = 0$. · Ils oscillent entre $-1$ et $1$ : amplitude $1$ au-dessus/au-dessous de la ligne médiane $y = 0$.
Reading the wave
- To sketch a cycle, mark five key points: start, peak, middle, trough, end.
- For sine those heights are $0, 1, 0, -1, 0$ across one period.
- For cosine they are $1, 0, -1, 0, 1$.
- Join them with a smooth curve and repeat left and right forever.
Lire l'onde
- Pour dessiner un cycle, marquez cinq points clés : début, pic, milieu, creux, fin.
- Pour le sinus, ces hauteurs sont $0, 1, 0, -1, 0$ sur une période.
- Pour le cosinus, elles sont $1, 0, -1, 0, 1$.
- Reliez-les avec une courbe lisse et répétez indéfiniment vers la gauche et la droite.
Sine and cosine graphs never stop or level off — they oscillate forever between $-1$ and $1$. Do not draw them flattening toward an asymptote; unlike exponentials and logs, they simply keep waving.
Les graphiques du sinus et du cosinus ne s'arrêtent jamais ni ne s'aplatissent — ils oscillent éternellement entre $-1$ et $1$. Ne les dessinez pas s'aplatissant vers une asymptote ; contrairement aux exponentielles et logarithmes, ils continuent simplement d'osciller.
Where does $y = \sin x$ first reach its maximum, and its minimum?
- Maximum $1$ occurs at $x = \tfrac{\pi}{2}$ (a quarter of the way through a cycle).
- Minimum $-1$ occurs at $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (three-quarters through).
- Both repeat every $2\pi$ thereafter.
Où $y = \sin x$ atteint-il pour la première fois son maximum et son minimum ?
- Maximum $1$ se produit à $x = \tfrac{\pi}{2}$ (un quart du chemin dans un cycle).
- Minimum $-1$ se produit à $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (trois quarts du chemin).
- Tous deux se répètent tous les $2\pi$ depuis lors.
The sine and cosine graphs are the unit circle unrolled: smooth waves with amplitude $1$, midline $y = 0$, and period $2\pi$. They are identical in shape, offset by a quarter period, so $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.
Les graphiques du sinus et du cosinus sont le cercle unité déroulé : des ondes douces avec une amplitude $1$, une ligne médiane $y = 0$, et une période $2\pi$. Ils sont identiques en forme, décalés d'un quart de période, donc $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.