Sine and Cosine Function Values · Valeurs des fonctions Sinus et Cosinus
| English | Français |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosinus |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | cercle unité |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
Values you can read off a circle
- Every angle has a sine and a cosine — but where do the numbers come from?
- They are just coordinates on the unit circle, read straight off.
- A handful of "special" angles give clean, memorable values.
- Learn those, and the symmetry of the circle hands you the rest.
Valeurs lisibles directement sur un cercle
- Chaque angle a un sinus et un cosinus — mais d'où viennent les nombres ?
- Ce ne sont que des coordonnées sur le cercle unité, lues directement.
- Un petit nombre d'angles « spéciaux » donnent des valeurs propres et mémorables.
- Apprenez celles-là, et la symétrie du cercle vous donnera le reste.
Special-angle values
- At $\theta = 0$: the point is $(1, 0)$, so $\cos 0 = 1$ and $\sin 0 = 0$.
- At $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): the point is $(0, 1)$, so $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- The angles $30°, 45°, 60°$ give the familiar values with $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Reading a sine 正弦 or cosine 余弦 is just reading a coordinate.
Valeurs des angles spéciaux
- À $\theta = 0$ : le point est $(1, 0)$, donc $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.
- À $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$) : le point est $(0, 1)$, donc $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- Les angles $30°, 45°, 60°$ donnent les valeurs familières avec $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Lire un sinus 正弦 ou un cosinus 余弦 revient simplement à lire une coordonnée.
Read sine and cosine at any angle · Lire sinus et cosinus à n'importe quel angle
Move the angle and watch the sine (height) and cosine (across) values change and repeat. · Bouger l'angle et voir les valeurs de sinus (hauteur) et cosinus (horizontal) changer et se répéter.
What is $\sin 0$? · Quelle est la valeur de $\sin 0$ ?
At angle $0$, the unit-circle point is $(1, 0)$, so the y-coordinate $\sin 0 = 0$. · À l'angle $0$, le point du cercle unité est $(1, 0)$, donc la coordonnée y $\sin 0 = 0$.
What is $\cos 0$? · Quelle est la valeur de $\cos 0$ ?
At angle $0$, the point is $(1, 0)$, so the x-coordinate $\cos 0 = 1$. · À l'angle $0$, le point est $(1, 0)$, donc la coordonnée x $\cos 0 = 1$.
Signs by quadrant
- In the top-right quadrant both coordinates are positive, so sine and cosine are positive.
- Cross into other quadrants and one or both turn negative.
- "All, Sine, Tangent, Cosine" (ASTC) records which are positive, quadrant by quadrant.
- The unit circle 单位圆 makes every sign obvious — just look at the coordinate.
Signes par quadrant
- Dans le quadrant supérieur droit, les deux coordonnées sont positives, donc sinus et cosinus sont positifs.
- En passant dans d'autres quadrants, l'un ou les deux deviennent négatifs.
- « Tout, Sinus, Tangente, Cosinus » (ASTC) indique lesquels sont positifs, quadrant par quadrant.
- Le cercle unité 单位圆 rend chaque signe évident — il suffit de regarder la coordonnée.
The output of $\sin\theta$ always lies between… · La sortie de $\sin\theta$ se situe toujours entre…
On the unit circle the y-coordinate never leaves $[-1, 1]$, so $-1 \le \sin\theta \le 1$. · Sur le cercle unité, la coordonnée y ne sort jamais de $[-1, 1]$, donc $-1 \le \sin\theta \le 1$.
Select all · tout true statements about sine and cosine values. · Sélectionner toutes les affirmations vraies sur les valeurs de sinus et cosinus.
Sine never reaches $2$ — it is capped at $1$. The other three are correct. · Sinus n'atteint jamais $2$ — il est plafonné à $1$. Les trois autres sont corrects.
Repeating every full turn
- After one full revolution the point lands exactly where it began.
- So the values repeat every $2\pi$ radians 弧度 (or $360°$).
- That regular repeat is the period 周期 of sine and cosine.
- Adding any multiple of $2\pi$ to an angle leaves its sine and cosine unchanged.
Répétition à chaque tour complet
- Après un tour complet, le point atterrit exactement là où il était parti.
- Donc les valeurs se répètent tous les $2\pi$ radians 弧度 (ou $360°$).
- Cette répétition régulière est la période 周期 du sinus et du cosinus.
- Ajouter un multiple quelconque de $2\pi$ à un angle ne change ni son sinus ni son cosinus.
Sine and cosine values repeat every ____ radians (one full turn). · Les valeurs de sinus et cosinus se répètent toutes les ____ radians (un tour complet).
After a full revolution of $2\pi$ (or $360°$), the point returns to where it started, so the values repeat. · Après un tour complet de $2\pi$ (ou $360°$), le point revient à son point de départ, donc les valeurs se répètent.
Bounded outputs
- Because the circle has radius $1$, no coordinate ever exceeds $1$ or drops below $-1$.
- So both sine and cosine always satisfy $-1 \le \text{value} \le 1$.
- The maximum, $1$, and minimum, $-1$, occur at the top/bottom or left/right of the circle.
- This bound is why sinusoidal waves have a fixed height.
Sorties bornées
- Comme le cercle a un rayon de $1$, aucune coordonnée ne dépasse jamais $1$ ni ne descend en dessous de $-1$.
- Donc le sinus et le cosinus satisfont toujours $-1 \le \text{value} \le 1$.
- Le maximum, $1$, et le minimum, $-1$, se produisent au haut/bas ou gauche/droite du cercle.
- Cette borne explique pourquoi les ondes sinusoïdales ont une hauteur fixe.
Sine and cosine can never be $2$ or $-5$. Their outputs are locked into $[-1, 1]$ by the unit circle. If a calculation gives $\sin\theta = 1.4$, you have made an error somewhere.
Le sinus et le cosinus ne peuvent jamais être $2$ ou $-5$. Leurs sorties sont bloquées dans $[-1, 1]$ par le cercle unité. Si un calcul donne $\sin\theta = 1.4$, vous avez fait une erreur quelque part.
Find $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, and $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: the top of the circle $(0,1)$, so $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: the left point $(-1, 0)$, so $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — the extra $2\pi$ changes nothing.
Trouvez $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, et $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$ : le sommet du cercle $(0,1)$, donc $\sin = 1$.
- $\cos\pi$ : le point gauche $(-1, 0)$, donc $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — le supplément $2\pi$ ne change rien.
Sine and cosine values are coordinates on the unit circle. Special angles give clean values, and the quadrant fixes the sign. The values repeat every $2\pi$ radians (the period), and both always stay within $[-1, 1]$.
Sinus et cosinus sont des coordonnées sur le cercle unité. Les angles spéciaux donnent des valeurs propres, et le quadrant fixe le signe. Les valeurs se répètent tous les $2\pi$ radians (la période), et restent toujours comprises dans $[-1, 1]$.