Sine, Cosine, and Tangent · Sinus, Cosinus et Tangente
| English | Français |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sinusoïdale |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosinus |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | cercle unité |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
Three ratios that unlock circles
- Long ago, surveyors and astronomers needed to link angles to lengths.
- The answer was three ratios inside a right triangle: sine, cosine, and tangent.
- They turn an angle into a number, and a number back into an angle.
- These three functions are the doorway to everything periodic.
Trois rapports qui déverrouillent les cercles
- Autrefois, les géomètres et astronomes devaient relier les angles aux longueurs.
- La réponse fut trois rapports à l'intérieur d'un triangle rectangle : sinus, cosinus et tangente.
- Ils transforment un angle en nombre, et un nombre en angle.
- Ces trois fonctions sont la porte d'entrée vers tout ce qui est périodique.
Right-triangle ratios
- For an acute angle in a right triangle, label the sides opposite, adjacent, and hypotenuse.
- Sine 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Cosine 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangent 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Remember SOH-CAH-TOA.
Rapports du triangle rectangle
- Pour un angle aigu dans un triangle rectangle, étiquetez les côtés opposé, adjacent et hypoténuse.
- Sinus 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Cosinus 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangente 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Souvenez-vous de SOH-CAH-TOA.
In a right triangle, $\sin\theta$ equals… · Dans un triangle rectangle, $\sin\theta$ équivaut à…
SOH: sine · sinusoïdale is opposite over hypotenuse. CAH: cosine is adjacent over hypotenuse. TOA: tangent is opposite over adjacent. · SOH : sinus est opposé sur hypoténuse. CAH : cosinus est adjacent sur hypoténuse. TOA : tangente est opposé sur adjacent.
The unit circle
- Draw a circle of radius $1$ centred at the origin — the unit circle 单位圆.
- A point on it at angle $\theta$ has coordinates exactly $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- So cosine is the x-coordinate and sine is the y-coordinate.
- This lets angles beyond $90°$ have sine and cosine too — all the way around.
Le cercle unité
- Tracez un cercle de rayon $1$ centré à l'origine — le cercle unité 单位圆.
- Un point dessus à un angle $\theta$ a pour coordonnées exactes $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- Ainsi, le cosinus est la coordonnée x et le sinus est la coordonnée y.
- Cela permet aux angles supérieurs à $90°$ d'avoir aussi un sinus et un cosinus — tout autour du cercle.
Spin a point around the unit circle · Faire tourner un point autour du cercle unité
The x-coordinate of the point is the cosine of the angle, and the y-coordinate is the sine. · La coordonnée x du point est le cosinus de l'angle, et la coordonnée y est le sinus.
On the unit circle, a point at angle $\theta$ has coordinates… · Sur le cercle unité, un point à l'angle $\theta$ a pour coordonnées…
On a circle of radius 1, the point is $(\cos\theta, \sin\theta)$ — cosine is the x-coordinate, sine the y. · Sur un cercle de rayon 1, le point est $(\cos\theta, \sin\theta)$ — le cosinus est la coordonnée x, le sinus la coordonnée y.
Select all · tout true statements. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
A full circle is $360°$ (or $2\pi$ radians), not $100°$. The other three are correct. · Un cercle complet vaut $360°$ (ou $2\pi$ radians), pas $100°$. Les trois autres sont corrects.
Radians and tangent
- Angles can be measured in degrees or in radians 弧度, where a full circle is $2\pi$.
- Radians measure the arc length swept on the unit circle, so $180° = \pi$.
- Tangent connects the other two: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- On the unit circle, tangent is the slope of the line from the origin to the point.
Radians et tangente
- Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians 弧度, où un cercle complet vaut $2\pi$.
- Les radians mesurent la longueur de l'arc balayé sur le cercle unité, donc $180° = \pi$.
- La tangente relie les deux autres : $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Sur le cercle unité, la tangente est la pente de la ligne reliant l'origine au point.
Tangent equals sine divided by ____ (so $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$). · Tangente égale sinus divisé par ____ (donc $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$).
The · Le tangent · tangente is sine divided by cosine: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. · La tangente est sinus divisé par cosinus : $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Angles can be measured in radians, where a full circle is $2\pi$. · Les angles peuvent être mesurés en radians, où un cercle complet mesure $2\pi$.
A full turn is $360°$ or, in radians, $2\pi$. Radians measure the arc length on the unit circle. · Un tour complet vaut $360°$ ou, en radians, $2\pi$. Les radians mesurent la longueur de l'arc sur le cercle unité.
Around and around
- As the point travels once around the circle, sine and cosine cycle through all their values.
- Past one full turn, everything repeats — which is why these functions are periodic.
- Cosine starts at $1$ (angle $0$); sine starts at $0$.
- The unit circle is the single picture behind every trig value.
Tourner et retourner
- Alors que le point fait un tour complet du cercle, le sinus et le cosinus parcourent toutes leurs valeurs.
- Après un tour complet, tout se répète — c'est pourquoi ces fonctions sont périodiques.
- Le cosinus commence à $1$ (angle $0$) ; le sinus commence à $0$.
- Le cercle unité est l'unique image derrière chaque valeur trigonométrique.
Keep track of your angle units. $\sin(90)$ is nearly $1$ if $90$ means degrees, but a very different value if $90$ means radians. Always know whether a problem is in degrees or radians before you compute.
Gardez une trace de vos unités d'angle. $\sin(90)$ est presque $1$ si $90$ signifie degrés, mais une valeur très différente si $90$ signifie radians. Sachez toujours si un problème est en degrés ou en radians avant de calculer.
Find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ for the angle whose unit-circle point is $(0.6, 0.8)$.
- The x-coordinate is cosine: $\cos\theta = 0.6$.
- The y-coordinate is sine: $\sin\theta = 0.8$.
- Check: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, as the unit circle requires.
Trouvez $\sin\theta$ et $\cos\theta$ pour l'angle dont le point sur le cercle unité est $(0.6, 0.8)$.
- La coordonnée x est le cosinus : $\cos\theta = 0.6$.
- La coordonnée y est le sinus : $\sin\theta = 0.8$.
- Vérification : $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, comme l'exige le cercle unité.
Sine, cosine, and tangent are ratios in a right triangle (SOH-CAH-TOA). On the unit circle, a point at angle $\theta$ is $(\cos\theta, \sin\theta)$, which extends the functions to any angle. Angles measure in degrees or radians ($2\pi$ per turn), and $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Sinus, cosinus et tangente sont des rapports dans un triangle rectangle (SOH-CAH-TOA). Sur le cercle unité, un point à l'angle $\theta$ est $(\cos\theta, \sin\theta)$, ce qui étend les fonctions à n'importe quel angle. Les angles s'expriment en degrés ou en radians ($2\pi$ par tour), et $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.