Representing and Analyzing SHM · Représentation et Analyse du MHS
SHM draws a perfect sine wave in time
- Track an oscillating mass and plot its position against time — you get a smooth, repeating wave.
- Not a jagged zig-zag, but the graceful curve of a sine or cosine.
- That shape is the fingerprint of simple harmonic motion, and it lets us predict every instant.
- Reading it tells you position, velocity and acceleration at a glance.
Le SHM dessine une onde sinusoïdale parfaite dans le temps
- Suivez une masse oscillant et tracez sa position contre le temps — vous obtenez une vague fluide et répétitive.
- Pas un zigzag anguleux, mais la courbe gracieuse d'un sinus ou cosinus.
- Cette forme est l'empreinte du mouvement harmonique simple, et elle nous permet de prédire chaque instant.
- La lire vous donne position, vitesse et accélération d'un coup d'œil.
The equation of motion
- Starting from the maximum, position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ is the amplitude (the maximum displacement) and $\omega = 2\pi f$ is the angular frequency.
- After one period $T$ the curve repeats exactly.
- Feed in a time and the formula gives the exact position.
L'équation du mouvement
- Partant du maximum, la position suit $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ est l'amplitude (le déplacement maximal) et $\omega = 2\pi f$ est la fréquence angulaire.
- Après une période $T$, la courbe se répète exactement.
- Entrez un temps et la formule donne la position exacte.
Position around a cycle · Position autour d'un cycle
Step through the phase of the oscillation and see how position and energy vary across a cycle. · Parcourez la phase de l'oscillation et voyez comment la position et l'énergie varient à travers un cycle.
An oscillator is $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (metres). What is its position at $t = 0$, in metres? · Un oscillateur est $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (mètres). Quelle est sa position à $t = 0$, en mètres ?
$x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — the maximum displacement (amplitude). · $x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — le déplacement maximal (amplitude).
In $x(t) = A\cos(\omega t)$, the symbol $A$ is the ____. · Dans $x(t) = A\cos(\omega t)$, le symbole $A$ est le ____.
$A$ is the amplitude — the maximum displacement from equilibrium. · $A$ est l'amplitude — le déplacement maximal par rapport à l'équilibre.
Where it's fastest and where it accelerates
- Speed is greatest at the middle (equilibrium) and zero at the ends (turning points).
- Acceleration is greatest at the ends and zero at the middle.
- This is because acceleration follows the force: $a = -\dfrac{k}{m}x$, biggest where $x$ is biggest.
- So velocity and acceleration are "out of step" — one peaks where the other is zero.
Où c'est le plus rapide et où c'est le plus accéléré
- La vitesse est maximale au milieu (équilibre) et nulle aux extrémités (points de retournement).
- L'accélération est maximale aux extrémités et nulle au milieu.
- C'est parce que l'accélération suit la force : $a = -\dfrac{k}{m}x$, la plus grande où $x$ est la plus grande.
- Donc la vitesse et l'accélération sont « décalées » — l'une atteint son pic où l'autre est nulle.
Where is an SHM oscillator moving fastest? · Où un oscillateur en MHS se déplace-t-il le plus vite ?
Speed is greatest at the middle, where the acceleration (and force) is zero. · La vitesse est maximale au milieu, où l'accélération (et la force) est nulle.
Where is the acceleration of an SHM oscillator greatest? · Où l'accélération d'un oscillateur en MHS est-elle maximale ?
$a = -\tfrac{k}{m}x$ is largest where $x$ is largest — at the extremes. · $a = -\tfrac{k}{m}x$ est maximal là où $x$ est maximal — aux extrémités.
A mass starts at the far right. Order what happens next, first at the top. · Une masse commence à l'extrême droite. Classez ce qui se produit ensuite, d'abord en haut.
It accelerates toward the middle (max speed there), then decelerates to a stop at the other extreme. · Il accélère vers le milieu (vitesse max là), puis décélère jusqu'à s'arrêter à l'autre extrémité.
Position, velocity, acceleration
- If position is a cosine, velocity is a (negative) sine, and acceleration is a (negative) cosine.
- Each is shifted a quarter-cycle from the last.
- The acceleration is always opposite the displacement — that is the SHM condition again.
- Together the three graphs tell the whole story of the motion.
Position, vitesse, accélération
- Si la position est un cosinus, la vitesse est un (négatif) sinus, et l'accélération est un (négatif) cosinus.
- Chacun est décalé d'un quart de cycle du précédent.
- L'accélération est toujours opposée au déplacement — c'est encore la condition SHM.
- Ensemble, les trois graphiques racontent toute l'histoire du mouvement.
In SHM the acceleration always points opposite to the displacement. · Dans le MHS, l'accélération pointe toujours dans la direction opposée au déplacement.
$a = -\tfrac{k}{m}x$: the minus sign means acceleration opposes displacement. · $a = -\tfrac{k}{m}x$ : le signe moins signifie que l'accélération s'oppose au déplacement.
In SHM, velocity and acceleration do not peak at the same place. Velocity is largest at the centre (where acceleration is zero); acceleration is largest at the extremes (where velocity is zero). Mixing these up is a classic error.
En SHM, la vitesse et l'accélération ne atteignent pas leur pic au même endroit. La vitesse est la plus grande au centre (où l'accélération est nulle) ; l'accélération est la plus grande aux extrémités (où la vitesse est nulle). Mélanger ceux-ci est une erreur classique.
An oscillator has amplitude $A = 0.1\ \text{m}$ and angular frequency $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, starting at the maximum.
- Position: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- At $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (the maximum), where the speed is zero.
Un oscillateur a une amplitude $A = 0.1\ \text{m}$ et une fréquence angulaire $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, partant du maximum.
- Position : $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- À $t = 0$ : $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (le maximum), où la vitesse est nulle.
SHM position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$ — a sinusoid of amplitude $A$ and angular frequency $\omega = 2\pi f$. Speed peaks at the centre, acceleration peaks at the extremes, and acceleration always points opposite the displacement.
La position SHM suit $x(t) = A\cos(\omega t)$ — un sinusoïde d'amplitude $A$ et de fréquence angulaire $\omega = 2\pi f$. La vitesse atteint son pic au centre, l'accélération atteint son pic aux extrémités, et l'accélération pointe toujours opposée au déplacement.