Connecting Linear and Rotational Motion · Lien entre le mouvement linéaire et rotatif
On a merry-go-round, the edge whips past
- Stand near the centre of a spinning merry-go-round and you drift slowly.
- Stand at the edge and you are whipped around fast — yet everyone shares the same spin.
- The whole platform turns together, so everyone has the same angular velocity.
- But each rider's linear speed depends on how far out they sit.
Sur une manège, le bord fonce vite
- Tenez-vous près du centre d'un manège en rotation et vous dérivez lentement.
- Tenez-vous au bord et vous êtes emporté rapidement — pourtant tout le monde partage la même rotation.
- Toute la plateforme tourne ensemble, donc tout le monde a la même vitesse angulaire.
- Mais la vitesse linéaire de chaque cavalier dépend de sa distance au centre.
The bridge equations
- Arc length links to angle: $s = r\theta$.
- Linear speed links to angular speed: $v = r\omega$.
- Tangential acceleration links to angular acceleration: $a_t = r\alpha$.
- In every case, multiply the angular quantity by the radius $r$.
Les équations de pontage
- La longueur d'arc relie à l'angle : $s = r\theta$.
- La vitesse linéaire relie à la vitesse angulaire : $v = r\omega$.
- L'accélération tangentielle relie à l'accélération angulaire : $a_t = r\alpha$.
- Dans chaque cas, multipliez la grandeur angulaire par le rayon $r$.
Radius sets the speed · Le rayon fixe la vitesse
Change the radius and see how the arc length (and so the linear speed) scales with r. · Changez le rayon et voyez comment la longueur d'arc (et donc la vitesse linéaire) s'échelle avec r.
A point is $0.3\ \text{m}$ from a wheel's axis, spinning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Un point est $0.3\ \text{m}$ de l'axe d'une roue, qui tourne à $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Quelle est sa vitesse linéaire, en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
The arc length swept is $s = r\_\_$ (fill in the angular quantity). · La longueur d'arc balayée est $s = r\_\_$ (remplissez la grandeur angulaire).
$s = r\theta$ — radius times the angle in radians. · $s = r\theta$ — rayon multiplié par l'angle en radians.
Select all · tout correct linear–rotational bridge equations. · Sélectionnez toutes les équations correctes reliant le linéaire et le rotatif.
Each links an angular quantity to a linear one by multiplying by $r$. $v = \omega/r$ is wrong. · Chaque lien relie une grandeur angulaire à une linéaire en multipliant par $r$. $v = \omega/r$ est faux.
Farther out means faster
- Because $v = r\omega$, a larger radius gives a larger linear speed for the same spin.
- The rim of a wheel moves faster than a point near the hub.
- This is why a long lever tip, a fan blade edge, or the outer horse on a carousel moves quickest.
- Same $\omega$ everywhere on the object; different $v$ at different radii.
Plus loin signifie plus rapide
- Parce que $v = r\omega$, un rayon plus grand donne une vitesse linéaire plus grande pour la même rotation.
- Le rebord d'une roue se déplace plus vite qu'un point près du moyeu.
- C'est pourquoi l'extrémité d'un long levier, le bord d'une pale de ventilateur ou le cheval extérieur sur un carrousel se déplacent le plus vite.
- Même $\omega$ partout sur l'objet ; différents $v$ à différents rayons.
On a rigid spinning disk, how do a rim point and a point near the hub compare? · Sur un disque rigide en rotation, comment se comparant un point au bord et un point près du centre ?
All points share $\omega$; the rim has a larger radius, so $v = r\omega$ is larger there. · Tous les points partagent $\omega$ ; le bord a un plus grand rayon, donc $v = r\omega$ est plus grand là.
For the same wheel above, what is the linear speed at $0.6\ \text{m}$ from the axis, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Pour la même roue ci-dessus, quelle est la vitesse linéaire à $0.6\ \text{m}$ de l'axe, en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — double the radius, double the speed. · $v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — doubler le rayon double la vitesse.
Rolling without slipping
- When a wheel rolls without slipping, its centre moves at $v = r\omega$.
- The contact point is momentarily at rest; the top moves at $2v$.
- This neat condition ties a wheel's spinning to its travelling.
- We will use it again for rolling energy in the next topic.
Roulement sans glissement
- Lorsqu'une roue roule sans glisser, son centre se déplace à $v = r\omega$.
- Le point de contact est momentanément au repos ; le sommet se déplace à $2v$.
- Cette condition élégante lie la rotation d'une roue à son déplacement.
- Nous l'utiliserons à nouveau pour l'énergie de roulement dans le prochain sujet.
A wheel rolling without slipping has its centre moving at $v = r\omega$. · Une roue roulant sans patiner a son centre se déplaçant à $v = r\omega$.
Rolling without slipping ties travel to spin exactly by $v = r\omega$. · Rouler sans patiner lie le déplacement à la rotation exactement via $v = r\omega$.
Every point on a rigid spinning object shares the same $\omega$, but not the same $v$. Do not assume the edge and the centre move at the same linear speed — the edge is much faster because its radius is larger ($v = r\omega$).
Chaque point d'un objet rigide en rotation partage la même $\omega$, mais pas la même $v$. Ne supposez pas que le bord et le centre se déplacent à la même vitesse linéaire — le bord va beaucoup plus vite car son rayon est plus grand ($v = r\omega$).
A point sits $0.3\ \text{m}$ from the axis of a wheel turning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A point at $0.6\ \text{m}$ would move at $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — twice as fast, for the same spin.
Un point est situé à $0.3\ \text{m}$ de l'axe d'une roue tournant à $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Un point à $0.6\ \text{m}$ se déplacerait à $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — deux fois plus vite, pour la même rotation.
Linear and angular motion are linked by the radius: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Every point on a rigid body shares the same $\omega$, but points farther from the axis have larger $v$. A wheel rolling without slipping obeys $v = r\omega$.
Le mouvement linéaire et angulaire sont liés par le rayon : $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Chaque point d'un corps rigide partage la même $\omega$, mais les points plus éloignés de l'axe ont une $v$ plus grande. Une roue roulant sans glissement obéit à $v = r\omega$.