Vectors and Motion in Two Dimensions · Vecteurs et mouvement en deux dimensions
| English | Français |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | composante |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | résultante |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | projectile |
A plane flies northeast — two motions in one
- One arrow points "northeast", but the plane is really moving east and north at once.
- Almost no real motion is purely left–right or up–down.
- The trick of two-dimensional kinematics: split each vector into perpendicular pieces.
- Handle the pieces separately, then put them back together.
Un avion vole vers le nord-est — deux mouvements en un
- Une flèche pointe « vers le nord-est », mais l'avion se déplace réellement vers l'est et vers le nord en même temps.
- Presque aucun mouvement réel n'est purement gauche–droite ou haut–bas.
- L'astuce de la cinématique bidimensionnelle : diviser chaque vecteur en pièces perpendiculaires.
- Traitez les pièces séparément, puis rassemblez-les.
Resolving into components
- Any vector can be replaced by two perpendicular components 分量 — one along $x$, one along $y$.
- Together the two components have exactly the same effect as the original vector.
- Choose axes that make the problem easy (often horizontal and vertical).
- The components carry signs, so "left" and "down" are just negative values.
Résolution en composantes
- Tout vecteur peut être remplacé par deux composantes 分量 perpendiculaires — une le long de $x$, une le long de $y$.
- Ensemble, les deux composantes ont exactement le même effet que le vecteur original.
- Choisissez des axes qui facilitent le problème (souvent horizontal et vertical).
- Les composantes portent des signes, donc « gauche » et « bas » sont simplement des valeurs négatives.
The component formulas
- For a vector $\vec A$ of magnitude $A$ at angle $\theta$ above the $x$-axis:
- $A_x = A\cos\theta$ and $A_y = A\sin\theta$.
- These come straight from the right triangle the vector makes with its components.
- Going back: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ and $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
Les formules des composantes
- Pour un vecteur $\vec A$ de grandeur $A$ à un angle $\theta$ au-dessus de l'axe $x$ :
- $A_x = A\cos\theta$ et $A_y = A\sin\theta$.
- Ces formules viennent directement du triangle rectangle que forme le vecteur avec ses composantes.
- Retour arrière : $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ et $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
A velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ points $37^\circ$ above the horizontal. Its horizontal component is $10\cos 37^\circ$. With $\cos 37^\circ = 0.8$, what is $v_x$ in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Une vitesse de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pointe $37^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Sa composante horizontale est $10\cos 37^\circ$. Avec $\cos 37^\circ = 0.8$, quelle est $v_x$ dans $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ?
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
For the same velocity, the vertical component is $10\sin 37^\circ$. With $\sin 37^\circ = 0.6$, what is $v_y$ in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Pour la même vitesse, la composante verticale est $10\sin 37^\circ$. Avec $\sin 37^\circ = 0.6$, quelle est $v_y$ dans $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ?
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A vector has components $A_x = 3$ and · et $A_y = 4$. What is its magnitude? · Un vecteur a pour composantes $A_x = 3$ et $A_y = 4$. Quelle est son amplitude ?
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Not $3+4=7$ — the components are perpendicular. · $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Pas $3+4=7$ — les composantes sont perpendiculaires.
The horizontal component of a vector $A$ at angle $\theta$ is $A$ ____ $\theta$. · La composante horizontale d'un vecteur $A$ à un angle $\theta$ est $A$ ____ $\theta$.
The adjacent side of the right triangle is $A\cos\theta$, so $A_x = A\cos\theta$. · Le côté adjacent du triangle rectangle est $A\cos\theta$, donc $A_x = A\cos\theta$.
Adding vectors by components
- To add vectors, add the $x$-components and separately add the $y$-components.
- Never add the magnitudes directly — that only works if they point the same way.
- The sums $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ are the components of the resultant 合矢量.
- Recombine with $\sqrt{\;}$ and $\tan^{-1}$ to get its magnitude and direction.
Addition de vecteurs par composantes
- Pour ajouter des vecteurs, additionnez les composantes $x$ et séparément additionnez les composantes $y$.
- N'additionnez jamais les grandeurs directement — cela ne fonctionne que si elles pointent dans la même direction.
- Les sommes $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ sont les composantes du résultant 合矢量.
- Recombinez avec $\sqrt{\;}$ et $\tan^{-1}$ pour obtenir sa grandeur et sa direction.
Add two vectors by components · Ajouter deux vecteurs par composantes
Drag two vectors and watch the resultant — its components are the sums of the parts. · Faites glisser deux vecteurs et observez la résultante — ses composantes sont les sommes des parties.
Order the steps to add two vectors using components, first step at the top. · Classez les étapes pour additionner deux vecteurs par composantes, la première étape étant en haut.
Resolve, add component-wise, then recombine magnitude and direction. · Décomposez, ajoutez composante par composante, puis recomposez l'amplitude et la direction.
Perpendicular motions are independent
- The $x$-motion and the $y$-motion evolve separately — neither affects the other.
- Gravity pulls only downward, so it changes $v_y$ but leaves $v_x$ alone.
- This independence is the whole secret of projectile 抛体 motion (Topic 2).
- Drop a ball and fire one horizontally at the same instant: they land together.
Les mouvements perpendiculaires sont indépendants
- Le mouvement $x$ et le mouvement $y$ évoluent séparément — l'un n'affecte pas l'autre.
- La gravité tire uniquement vers le bas, elle modifie $v_y$ mais laisse $v_x$ inchangé.
- Cette indépendance est tout le secret du mouvement projectile 抛体 (Thème 2).
- Lâchez une balle et tirez-en une horizontalement en même temps : elles atterrissent ensemble.
The horizontal and vertical parts of a two-dimensional motion are independent of each other. · Les parties horizontales et verticales d'un mouvement en deux dimensions sont indépendantes l'une de l'autre.
Perpendicular components evolve separately — gravity changes $v_y$ but not $v_x$. This is the basis of projectile motion. · Les composantes perpendiculaires évoluent séparément — la gravité modifie $v_y$ mais pas $v_x$. C'est la base du mouvement de projectile.
You cannot add two vectors by adding their sizes unless they point along the same line. A $3$-unit vector plus a perpendicular $4$-unit vector gives $5$, not $7$ — resolve into components (or use the triangle) first.
Vous ne pouvez pas additionner deux vecteurs en additionnant leurs tailles sauf s'ils pointent sur la même ligne. Un vecteur unitaire $3$ plus un vecteur unitaire perpendiculaire $4$ donne $5$, pas $7$ — résolvez en composantes (ou utilisez le triangle) d'abord.
Resolve a velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ aimed at $37^\circ$ above the horizontal (take $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Check: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Résolvez une vitesse de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ orientée à $37^\circ$ au-dessus de l'horizontale (prenez $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Vérification : $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Split a 2-D vector into perpendicular components: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Add vectors by adding $x$- and $y$-components separately, then recombine with $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Perpendicular motions are independent — the key to projectiles.
Divisez un vecteur 2-D en composantes perpendiculaires : $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Ajoutez des vecteurs en additionnant séparément les composantes $x$ et $y$, puis recombinez avec $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Les mouvements perpendiculaires sont indépendants — la clé des projectiles.