Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volume avec la méthode des rondelles : rotation autour de l'axe x ou y
| English | Français |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | anneau |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | méthode des anneaux |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | rayon intérieur |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | rayon extérieur |
A disc with a hole in it
- When you revolve a region that has a gap between two curves, each slice isn't a solid disc — it's a ring.
- That ring (a disc with a circular hole punched out) is a washer 垫圈.
- Its area is the big circle minus the small circle: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Adding up washers is the washer method 垫圈法.
Un disque avec un trou dedans
- Quand vous tournez une région qui a un espace entre deux courbes, chaque tranche n'est pas un disque solide — c'est une bague.
- Cette bague (un disque avec un trou circulaire percé) est un disque creux 垫圈.
- Son aire est le grand cercle moins le petit cercle : $\pi R^2-\pi r^2$.
- L'addition de disques creux est la méthode des disques creux 垫圈法.
A washer (rather than a disc) appears when... · Une rondelle (plutôt qu'un disque) apparaît lorsque...
The gap leaves a hole → a washer. · L'écart laisse un trou → une rondelle.
Outer minus inner radius
- Each washer has an outer radius 外半径 $R$ (to the far curve) and an inner radius 内半径 $r$ (to the near curve).
- Its area is $\pi\big(R^2-r^2\big)$, so:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolving about the $x$-axis, $R$ and $r$ are the distances from the two curves to the axis.
Rayon extérieur moins rayon intérieur
- Chaque disque creux a un rayon extérieur 外半径 $R$ (jusqu'à la courbe éloignée) et un rayon intérieur 内半径 $r$ (jusqu'à la courbe proche).
- Son aire est $\pi\big(R^2-r^2\big)$, donc :
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Rotation autour de l'axe des $x$, $R$ et $r$ sont les distances des deux courbes à l'axe.
Two curves make a ring · Deux courbes forment un anneau
y = ax² + bx
Between $y=x$ and · et $y=\sqrt x$ there is a gap from the axis — revolving makes washers with outer $\sqrt x$, inner $x$. · Entre $y=x$ et $y=\sqrt x$ il y a un écart par rapport à l'axe — la rotation fait des rondelles avec $\sqrt x$ extérieur, $x$ intérieur.
The washer-method volume is... · Le volume de la méthode des rondelles est...
Big circle minus small circle: $\pi(R^2-r^2)$. · Grand cercle moins petit cercle : $\pi(R^2-r^2)$.
In a washer, $R$ is the ____ radius (to the far curve) and $r$ the inner radius. · Dans une rondelle, $R$ est le ____ rayon (vers la courbe lointaine) et $r$ le rayon intérieur.
Outer to the far curve, inner to the near curve. · Extérieur vers la courbe lointaine, intérieur vers la courbe proche.
Identifying $R$ and $r$
- $R$ (outer) comes from the curve farther from the axis; $r$ (inner) from the nearer curve.
- Revolving the region between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) about the $x$-axis: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- The hole exists because the bottom curve doesn't reach the axis.
- Square each radius separately before subtracting.
Identifier $R$ et $r$
- $R$ (extérieur) vient de la courbe plus loin de l'axe ; $r$ (intérieur) de la courbe plus proche.
- Rotation de la région entre $y=f(x)$ (haut) et $y=g(x)$ (bas) autour de l'axe des $x$ : $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- Le trou existe parce que la courbe inférieure ne touche pas l'axe.
- Élevez chaque rayon au carré séparément avant de soustraire.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) about the $x$-axis, the outer radius is... · Rotation de la région entre $y=\sqrt x$ (haut) et $y=x$ (bas) autour de l'axe $x$, le rayon extérieur est...
The farther curve from the axis, $\sqrt x$, is the outer radius. · La courbe la plus éloignée de l'axe, $\sqrt x$, est le rayon extérieur.
Square first, then subtract
- The area is $\pi(R^2-r^2)$, not $\pi(R-r)^2$ — square each radius before you subtract.
- $(R-r)^2$ would wrongly include a cross term and give the wrong volume.
- So compute $R^2$ and $r^2$ each, subtract, then integrate and multiply by $\pi$.
- This is the single most common washer mistake.
Carré d'abord, puis soustraction
- L'aire est $\pi(R^2-r^2)$, pas $\pi(R-r)^2$ — mettez chaque rayon au carré avant de soustraire.
- $(R-r)^2$ inclurait faussement un terme croisé et donnerait un volume erroné.
- Calculez donc $R^2$ et $r^2$ séparément, soustrayez, puis intégrez et multipliez par $\pi$.
- C'est l'erreur de disque creux la plus fréquente.
The washer integrand $R^2-r^2$ is the same as $(R-r)^2$. · L'intégrande de la méthode des rondelles $R^2-r^2$ est le même que $(R-r)^2$.
Square each radius first; $(R-r)^2$ is wrong. · Élevez chaque rayon au carré d'abord ; $(R-r)^2$ est incorrect.
For · Pour $R=\sqrt x$, $r=x$ on $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$ · Pour $R=\sqrt x$, $r=x$ sur $[0,1]$ : $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$ — square the radii before subtracting. And keep $R$ (outer, to the far curve) distinct from $r$ (inner, to the near curve); swapping them, or using $(R-r)^2$, both give wrong volumes. A washer appears only when a gap separates the region from the axis.
L'intégrande du disque creux est $R^2-r^2$, pas $(R-r)^2$ — elevez les rayons au carré avant de soustraire. Gardez $R$ (extérieur, vers la courbe éloignée) distinct de $r$ (intérieur, vers la courbe proche) ; les inverser, ou utiliser $(R-r)^2$, donne des volumes faux. Un disque creux n'apparaît que lorsqu'un espace sépare la région de l'axe.
Revolve the region between $y=x$ (bottom) and $y=\sqrt x$ (top) on $[0,1]$ about the $x$-axis.
- Outer radius $R=\sqrt x$, inner radius $r=x$ (on $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
Faites tourner la région entre $y=x$ (bas) et $y=\sqrt x$ (haut) sur $[0,1]$ autour de l'axe des $x$.
- Rayon extérieur $R=\sqrt x$, rayon intérieur $r=x$ (sur $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer method revolves a region with a gap into rings: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, where $R$ is the outer radius (far curve) and $r$ the inner radius (near curve). Square each radius before subtracting — $R^2-r^2$, never $(R-r)^2$.
La méthode des disques creux fait tourner une région avec un espace en anneaux : $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, où $R$ est le rayon extérieur (courbe éloignée) et $r$ le rayon intérieur (courbe proche). Élevez chaque rayon au carré avant de soustraire — $R^2-r^2$, jamais $(R-r)^2$.