Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · Volumes à sections transversales : triangles et demi-cercles
Same idea, different slice shapes
- The volume recipe $V=\int_a^b A(x)\,dx$ works for any cross-section shape — you just need $A(x)$.
- Beyond squares, the AP loves triangular and semicircular cross sections.
- The only new step is the right area formula for that shape, written in terms of the base.
- Get $A(x)$ from geometry, then integrate as before.
Même idée, formes de tranche différentes
- La recette du volume $V=\int_a^b A(x)\,dx$ fonctionne pour n'importe quelle forme de section transversale — il suffit d'avoir $A(x)$.
- Au-delà des carrés, l'examen AP adore les sections transversales triangulaires et semi-circulaires.
- La seule nouvelle étape est la bonne formule d'aire pour cette forme, écrite en fonction de la base.
- Obtenir $A(x)$ à partir de la géométrie, puis intégrer comme auparavant.
Triangular cross sections
- For an equilateral triangle of side $s$: area $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- For a right isosceles triangle with legs $s$: area $=\dfrac12 s^2$; a general triangle: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Use the base length $s(x)$ (the gap the slice spans) in the correct triangle-area formula.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, then integrate.
Sections transversales triangulaires
- Pour un triangle équilatéral de côté $s$ : aire $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- Pour un triangle isocèle rectangle avec des jambes $s$ : aire $=\dfrac12 s^2$ ; un triangle général : $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Utiliser la longueur de la base $s(x)$ (l'écart parcouru par la tranche) dans la bonne formule d'aire de triangle.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, puis intégrer.
The base whose slices vary · La base dont les tranches varient
y = a·√x
The same base region gives different volumes depending on slice shape — only the area constant times $s(x)^2$ changes. · La même région de base donne des volumes différents selon la forme des tranches — seule la constante d'aire fois $s(x)^2$ change.
The area of an equilateral triangle with side $s$ is... · L'aire d'un triangle équilatéral de côté $s$ est...
Equilateral triangle: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$. · Triangle équilatéral : $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Match each cross-section shape to its area constant (times $s^2$). · Associez chaque forme de section transversale à sa constante d'aire (fois $s^2$).
Each area is its constant times the base squared. · Chaque aire est sa constante fois le carré de la base.
Semicircular cross sections
- A semicircle with diameter $s$ has radius $\dfrac{s}{2}$, so its area is $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- The base of the slice is the diameter, so halve it to get the radius before squaring.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Watch that factor: diameter $\to$ radius is a divide-by-two that's easy to skip.
Sections transversales semi-circulaires
- Un demi-cercle de diamètre $s$ a un rayon $\dfrac{s}{2}$, donc son aire est $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- La base de la tranche est le diamètre, donc diviser par deux pour obtenir le rayon avant de squarer.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Attention à ce facteur : diamètre $\to$ → rayon, c'est une division par deux facile à omettre.
A semicircular cross section has its diameter on the base $s(x)$. Its radius is... · Une section transversale semi-circulaire a son diamètre sur la base $s(x)$. Son rayon est...
Base is the diameter, so radius is half. · La base est le diamètre, donc le rayon est la moitié.
For a semicircle whose diameter is the base $s$, you must halve $s$ to get the radius before squaring. · Pour un demi-cercle dont le diamètre est la base $s$, vous devez diviser $s$ par deux pour obtenir le rayon avant de le mettre au carré.
Radius $=s/2$; forgetting this is a common error. · Rayon $=s/2$ ; oublier cela est une erreur fréquente.
It's always "area in terms of the base"
- Every one of these is $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Square $\to 1$; equilateral triangle $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; semicircle $\to \tfrac{\pi}{8}$; right isosceles $\to \tfrac12$.
- Find the base $s(x)$ from the region, plug into the shape's area, and integrate.
- The calculus is identical; only the leading constant changes.
C'est toujours "aire en fonction de la base"
- Chacun de ceux-ci est $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Carré $\to 1$ ; triangle équilatéral $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$ ; demi-cercle $\to \tfrac{\pi}{8}$ ; isocèle rectangle $\to \tfrac12$.
- Trouver la base $s(x)$ dans la région, la substituer dans l'aire de la forme, et intégrer.
- Le calcul est identique ; seul la constante multiplicative change.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, semicircular slices: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Then $V=$ · Base sous $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$, tranches semi-circulaires : $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Puis $V=$
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Every cross-section volume is $\int_a^b A(x)\,dx$, where $A(x)$ = (shape constant) $\times s(x)$ ____. · Chaque volume de section transversale est $\int_a^b A(x)\,dx$, où $A(x)$ = (constante de forme) $\times s(x)$ ____.
Areas scale with the base squared. · Les aires s'échellent avec le carré de la base.
For a semicircle, the slice's base is the diameter, so the radius is $\frac{s}{2}$ — don't square the whole base as if it were the radius. And match the triangle formula to the type stated (equilateral vs. right isosceles); they have different constants. The base $s(x)$ is still the gap the slice spans.
Pour un demi-cercle, la base de la tranche est le diamètre, donc le rayon est $\frac{s}{2}$ — ne pas squarer toute la base comme si c'était le rayon. Et adapter la formule du triangle au type indiqué (équilatéral vs isocèle rectangle) ; ils ont des constantes différentes. La base $s(x)$ reste l'écart parcouru par la tranche.
Base is the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$; cross sections are semicircles with diameter on the base.
- Diameter $s(x)=\sqrt x$, so radius $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
La base est la région sous $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$ ; les sections transversales sont des demi-cercles avec le diamètre sur la base.
- Diamètre $s(x)=\sqrt x$, donc rayon $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
For triangular or semicircular cross sections, use $V=\int_a^b A(x)\,dx$ with the shape's area: equilateral triangle $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, right isosceles $\frac12 s^2$, semicircle $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diameter, so radius $=\frac s2$). Find the base $s(x)$ and integrate.
Pour des sections transversales triangulaires ou semi-circulaires, utiliser $V=\int_a^b A(x)\,dx$ avec l'aire de la forme : triangle équilatéral $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, isocèle rectangle $\frac12 s^2$, demi-cercle $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diamètre, donc rayon $=\frac s2$). Trouver la base $s(x)$ et intégrer.