Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · Trouver l'aire entre courbes exprimées comme fonctions de x
| English | Français |
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| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | aire entre deux courbes |
The area trapped between two curves
- A single integral gives the area between a curve and the $x$-axis. What about the area between two curves?
- Slice the region into thin vertical strips; each strip's height is the gap between the curves.
- Add up (integrate) those heights across the interval — that's the area between two curves 曲线间面积.
- The recipe is "top minus bottom, integrated."
L'aire emprisonnée entre deux courbes
- Une intégrale simple donne l'aire entre une courbe et l'axe $x$. Qu'en est-il de l'aire entre deux courbes ?
- Tranchez la région en bandes verticales fines ; la hauteur de chaque bande est l'écart entre les courbes.
- Additionnez (intégrez) ces hauteurs sur l'intervalle — c'est l'aire entre deux courbes 曲线间面积.
- La recette est "haut moins bas, intégré."
Top minus bottom
- If $f$ is the upper curve and $g$ the lower on $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Each vertical strip has height $f(x)-g(x)$ and width $dx$.
- Always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
Haut moins bas
- Si $f$ est la courbe supérieure et $g$ l'inférieure sur $[a,b]$ :
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Chaque bande verticale a une hauteur $f(x)-g(x)$ et une largeur $dx$.
- Soustrayez toujours supérieur moins inférieur, afin que la hauteur (et l'aire) reste positive.
A line above a parabola · Une droite au-dessus d'une parabole
y = ax² + bx + c
Between the intersection points the line sits above the parabola — the vertical gap, integrated, is the enclosed area. · Entre les points d'intersection, la droite est au-dessus de la parabole — l'écart vertical, intégré, est l'aire enclose.
The area between an upper curve $f$ and lower curve $g$ on $[a,b]$ is... · L'aire entre une courbe supérieure $f$ et une courbe inférieure $g$ sur $[a,b]$ est...
Upper minus lower, integrated. · Supérieur moins inférieur, intégré.
Find the limits from intersections
- The bounds $a$ and $b$ are usually where the curves cross — set $f(x)=g(x)$ and solve.
- Those intersection $x$-values are the left and right edges of the enclosed region.
- Between them, decide which curve is on top (test a point).
- Then integrate the top-minus-bottom difference over $[a,b]$.
Trouvez les limites aux intersections
- Les bornes $a$ et $b$ sont généralement là où les courbes se croisent — posez $f(x)=g(x)$ et résolvez.
- Ces valeurs d'intersection $x$ sont les bords gauche et droit de la région fermée.
- Entre elles, décidez quelle courbe est en haut (testez un point).
- Ensuite, intégrez la différence haut-moins-bas sur $[a,b]$.
Where do $y=x+2$ and · et $y=x^2$ intersect? · Où $y=x+2$ et $y=x^2$ se coupent-ils ?
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
To decide which curve is on top between intersections, you... · Pour décider quelle courbe est en haut entre les intersections, vous...
Plug in a test point to see which is higher. · Insérer un point test pour voir lequel est plus haut.
The limits of integration come from setting the two curves ____. · Les limites d'intégration proviennent de l'égalisation des deux courbes.
Solve $f(x)=g(x)$ for the intersection $x$-values. · Résoudre $f(x)=g(x)$ pour les valeurs d'intersection $x$.
It works even below the axis
- Because you take upper minus lower, the formula handles regions below the $x$-axis automatically.
- The $-g(x)$ term lifts everything, so no separate "signed area" bookkeeping is needed.
- A region entirely under the axis still gives a positive area with top-minus-bottom.
- That's the advantage of the gap-height approach.
Ça marche même sous l'axe
- Parce que vous prenez supérieur moins inférieur, la formule gère automatiquement les régions sous l'axe $x$.
- Le terme $-g(x)$ élève tout, donc aucun comptage séparé d'"aires signées" n'est nécessaire.
- Une région entièrement sous l'axe donne toujours une aire positive avec haut-moins-bas.
- C'est l'avantage de l'approche de hauteur d'écart.
The area between $y=x+2$ and · et $y=x^2$ is $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Compute it (a decimal). · L'aire entre $y=x+2$ et $y=x^2$ est $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Calculer (un décimal).
The integral evaluates to $\tfrac92=4.5$. · L'intégrale évalue à $\tfrac92=4.5$.
Integrating lower minus upper gives the negative of the true area. · Intégrer inférieur moins supérieur donne l'opposé de la vraie aire.
Reversing the order flips the sign. · Inverser l'ordre inverse le signe.
Always subtract upper minus lower — if you reverse it, you get a negative of the true area. Check which curve is on top by testing an $x$-value between the intersections (they can swap, which is the next lesson). And the limits come from setting the curves equal, not from the $x$-axis.
Soustrayez toujours supérieur moins inférieur — si vous l'inversez, vous obtenez l'opposé de la vraie aire. Vérifiez quelle courbe est en haut en testant une valeur $x$ entre les intersections (elles peuvent s'inverser, c'est la prochaine leçon). Et les limites viennent de poser les courbes égales, pas de l'axe $x$.
Find the area between $y=x+2$ and $y=x^2$.
- Intersections: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line is on top (test $x=0$: line $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
Trouver l'aire entre $y=x+2$ et $y=x^2$.
- Intersections : $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- Sur $(-1,2)$, la droite est au-dessus (tester $x=0$ : droite $=2>0=$ parabole).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
The area between two curves (functions of $x$) is $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrating upper minus lower over vertical strips. Find $a,b$ where the curves intersect, decide which is on top, and integrate the gap. Top-minus-bottom keeps the area positive automatically.
L'aire entre deux courbes (fonctions de $x$) est $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, en intégrant supérieur moins inférieur sur des bandes verticales. Trouver $a,b$ où les courbes se croisent, déterminer laquelle est au-dessus, et intégrer l'écart. Supérieur-moins-inférieur garde automatiquement l'aire positive.