Integrating Functions Using Long Division and Completing the Square · Intégration de fonctions utilisant la division longue et la complétion du carré
| English | Français |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | compléter le carré |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | division longue de polynômes |
Rewrite first, then integrate
- Some rational functions don't match any basic antiderivative — until you rewrite them.
- Two algebra tools prepare a stubborn integrand: long division and completing the square.
- Neither is calculus; both just reshape the fraction into a friendlier form.
- Then a basic rule or a known integral finishes the job.
Réécrire d'abord, puis intégrer
- Certaines fonctions rationnelles ne correspondent à aucune primitive de base — jusqu'à ce que vous les réécriviez.
- Deux outils algébriques préparent un intégrande têtu : division longue et complétion du carré.
- Aucun n'est du calcul différentiel/intégral ; les deux redessinent simplement la fraction sous une forme plus amicale.
- Ensuite, une règle de base ou une intégrale connue termine le travail.
Long division for "top-heavy" fractions
- If the numerator's degree is $\ge$ the denominator's, the fraction is improper.
- Use polynomial long division 多项式长除法 to split it into a polynomial plus a proper remainder.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — now each piece integrates easily.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
Division polynomiale pour les fractions « surélevées »
- Si le degré du numérateur est $\ge$ celui du dénominateur, la fraction est impropre.
- Utilisez la division polynomiale 多项式长除法 pour la séparer en un polynôme plus un reste propre.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — chaque terme s'intègre alors facilement.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
A rational curve to rewrite · Une courbe rationnelle à réécrire
y = a / (x − b)
An improper fraction like $\tfrac{x^2}{x+1}$ becomes a line plus a small remainder — each piece integrates easily. · Une fraction impropre comme $\tfrac{x^2}{x+1}$ devient une ligne plus un petit reste — chaque partie s'intègre facilement.
Use polynomial long division when the numerator's degree is... · Utilisez la division polynomiale longue lorsque le degré du numérateur est...
An improper fraction (top-heavy) calls for division. · Une fraction impropre (numérateur trop grand) nécessite une division.
Long division gives $\dfrac{x^2}{x+1}=$ · La division longue donne $\dfrac{x^2}{x+1}=$
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, so the quotient is $x-1$ remainder $1$. · $x^2=(x+1)(x-1)+1$, donc le quotient est $x-1$ avec un reste de $1$.
Completing the square for inverse-trig forms
- A denominator like $x^2+4x+5$ hides a perfect square: complete the square 配方 to $(x+2)^2+1$.
- That $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ shape matches the arctangent antiderivative.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Completing the square turns a messy quadratic denominator into the clean $u^2+a^2$ pattern.
Compléter le carré pour les formes trigonometriques inverses
- Un dénominateur comme $x^2+4x+5$ cache un carré parfait : completter le carré 配方 pour obtenir $(x+2)^2+1$.
- Cette forme $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ correspond à l'intégrale de l'arctangente.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Compléter le carré transforme un dénominateur quadratique complexe en la forme propre $u^2+a^2$.
Completing the square, $x^2+4x+5=$ · Compléter le carré, $x^2+4x+5=$
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, so $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$. · $(x+2)^2=x^2+4x+4$, donc $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
The form $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ integrates to an ____ function. · La forme $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ s'intègre en une fonction ____.
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Recognize the signal
- Numerator degree $\ge$ denominator degree → reach for long division first.
- An irreducible quadratic denominator (no real roots) → try completing the square toward arctan.
- These are setup moves; the actual integration is a basic rule or u-sub afterward.
- Spotting which rewrite to use is half the battle.
Reconnaître le signal
- Degré du numérateur $\ge$ degré du dénominateur → visez d'abord la division polynomiale.
- Dénominateur quadratique irréductible (pas de racines réelles) → essayez de compléter le carré vers une arctangente.
- Ce sont des étapes de mise en place ; l'intégration réelle sera une règle de base ou une substitution u après.
- Repérer quelle transformation utiliser représente la moitié du combat.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Divide first, then integrate $x-1+\tfrac1{x+1}$. · Divisez d'abord, puis intégrez $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Match the signal to the rewrite: select all · tout true pairings. · Reliez le signal à la réécriture : sélectionnez tous les appairages vrais.
Long division is for improper fractions only; both are pre-integration rewrites. · La division longue sert aux fractions impropres uniquement ; ce sont toutes deux des réécritures pré-intégration.
Do the long division only when the fraction is improper (numerator degree $\ge$ denominator's) — dividing a proper fraction gets you nowhere. And after completing the square, keep the constant right: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, not $(x+2)^2+5$. A wrong constant breaks the arctan match.
Effectuez la division polynomiale uniquement si la fraction est impropre (degré du numérateur $\ge$ celui du dénominateur) ; diviser une fraction propre ne mène à rien. Et après avoir complété le carré, gardez la constante correcte : $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, pas $(x+2)^2+5$. Une mauvaise constante brise l'appariement avec l'arctangente.
Integrate $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Long division: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Integrate term by term: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Each rewritten piece uses a basic antiderivative rule.)
Intégrez $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Division polynomiale : $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Intégrez terme à terme : $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Chaque terme reformulé utilise une règle d'intégrale de base.)
When a rational integrand fits no basic rule, rewrite it first: use polynomial long division on an improper fraction (numerator degree $\ge$ denominator's), or complete the square in an irreducible quadratic denominator to reach an arctangent form. Then finish with a basic antiderivative.
Quand un intégrande rationnel ne correspond à aucune règle de base, reformulez-le d'abord : utilisez la division polynomiale sur une fraction impropre (degré du numérateur $\ge$ celui du dénominateur), ou complétez le carré dans un dénominateur quadratique irréductible pour atteindre une forme arctangente. Puis terminez avec une intégrale de base.