Sketching Graphs of Functions and Their Derivatives · Esquisse de Graphes de Fonctions et de leurs Dérivées
Draw the whole shape from its derivatives
- The derivatives are a recipe for a graph: $f'$ gives the slopes, $f''$ gives the bends.
- Combine the two sign charts and you can sketch a curve you were never handed.
- Extrema come from $f'$; concavity and inflection come from $f''$.
- This is where all of Unit 5 comes together into one picture.
Dessiner toute la forme à partir de ses dérivées
- Les dérivées sont une recette pour un graphique : $f'$ donne les pentes, $f''$ donne les courbements.
- Combinez les deux tableaux de signes et vous pouvez esquisser une courbe que vous n'avez jamais reçue.
- Les extrema viennent de $f'$ ; la concavité et l'inflexion viennent de $f''$.
- C'est ici que tout l'Unité 5 se réunit en une seule image.
The information you assemble
- From $f'$: intervals of increase/decrease and the extrema (where $f'$ changes sign).
- From $f''$: intervals of concavity and the points of inflection (where $f''$ changes sign).
- Plus a few plotted points and any intercepts to anchor the height.
- Layer these together and the shape is forced.
Les informations que vous assemblez
- De $f'$ : intervalles de croissance/décroissance et les extrema (où $f'$ change de signe).
- De $f''$ : intervalles de concavité et les points d'inflexion (où $f''$ change de signe).
- Plus quelques points tracés et les éventuelles intersections pour ancrer la hauteur.
- Superposez ces éléments et la forme est imposée.
A local extremum of $f$ occurs at a ____ of $f'$ where it changes sign. · Un extremum local de $f$ se produit à un ____ de $f'$ où il change de signe.
A sign-changing zero of $f'$ marks an extremum of $f$. · Un zéro changeant de signe de $f'$ marque un extremum de $f$.
Which features come from $f''$ (the second derivative)? · Quelles caractéristiques proviennent de $f''$ (la dérivée seconde) ?
Concavity + inflection from $f''$; increase/decrease + extrema from $f'$. · Concavité + inflexions viennent de $f''$ ; augmentation/diminution + extrema viennent de $f'$.
Sketching $f'$ from $f$, and back
- Given the graph of $f$: where $f$ has a horizontal tangent, $f'=0$ (a zero of $f'$).
- Where $f$ rises, $f'$ is positive; where $f$ falls, $f'$ is negative.
- Where $f$ is steepest, $f'$ is at an extreme; at an inflection of $f$, $f'$ has a max or min.
- Reverse the reading to sketch $f$ from a given $f'$.
Esquisser $f'$ à partir de $f$, et inversement
- Étant donné le graphique de $f$ : où $f$ a une tangente horizontale, $f'=0$ (un zéro de $f'$).
- Là où $f$ monte, $f'$ est positif ; là où $f$ descend, $f'$ est négatif.
- Là où $f$ est le plus raide, $f'$ est à un extremum ; à un point d'inflexion de $f$, $f'$ a un maximum ou minimum.
- Inversez la lecture pour esquisser $f$ à partir d'un $f'$ donné.
Where the graph of $f$ has a horizontal tangent, the graph of $f'$... · Lorsque le graphe de $f$ a une tangente horizontale, le graphe de $f'$...
Horizontal tangent ⇒ slope $0$ ⇒ $f'=0$. · Tangente horizontale ⇒ pente $0$ ⇒ $f'=0$.
Where · Où $f$ is increasing, its derivative $f'$ is positive. · Lorsque $f$ est croissante, sa dérivée $f'$ est positive.
Rising ⇔ $f'>0$. · Croissant ⇔ $f'>0$.
Put the marks on the sketch
- Mark each extremum (peak/valley), each inflection point (bend flip), and label the intervals.
- Match increasing+concave-up (curving up steeply) vs. increasing+concave-down (leveling off), and so on — four combinations.
- Check consistency: a local max should sit where increase turns to decrease and the curve is concave down.
- A clean sketch shows all four features agreeing.
Mettre les marques sur l'esquisse
- Marquez chaque extremum (pic/vallée), chaque point d'inflexion (changement de courbement), et étiquetez les intervalles.
- Faites correspondre croissant+concave-up (courbement ascendant raide) vs. croissant+concave-down (aplatissement), etc. — quatre combinaisons.
- Vérifiez la cohérence : un max local devrait se situer là où la croissance devient une décroissance et la courbe est concave vers le bas.
- Une esquisse propre montre tous les quatre features s'accordant.
The finished shape · La forme finale
y = ax³ + cx
Peak at $(-1,2)$, inflection at $(0,0)$, valley at $(1,-2)$ — exactly what the $f'$ and · et $f''$ charts predict. · Sommet à $(-1,2)$, inflexion à $(0,0)$, creux à $(1,-2)$ — exactement ce que prédisent les graphes de $f'$ et $f''$.
At a point where $f$ is high but flat, the value of $f'$ is... · En un point où $f$ est élevé mais plat, la valeur de $f'$ est...
Read the slope, not the height: flat ⇒ $f'=0$. · Lisez la pente, pas la hauteur : plat ⇒ $f'=0$.
A local maximum should occur where $f$ turns from increasing to decreasing and the curve is concave... · Un maximum local devrait se produire là où $f$ passe de croissante à décroissante et la courbe est concave...
A peak is concave down (a cap). · Un sommet est concave vers le bas (un capuchon).
Don't read $f'$ off the height of $f$ — read it off the slope. Where $f$ is high but flat, $f'=0$, not "large." And a zero of $f'$ marks a possible extremum of $f$; a zero of $f''$ marks a possible inflection of $f$ — keep the two levels straight.
Ne lisez pas $f'$ sur la hauteur de $f$ — lisez-le sur la pente. Là où $f$ est haut mais plat, $f'=0$, et non "grand". Et une racine de $f'$ marque un extremum possible de $f$ ; une racine de $f''$ marque un point d'inflexion possible de $f$ — gardez les deux niveaux distincts.
Sketch clues for $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$, decreasing on $(-1,1)$; max at $(-1,2)$, min at $(1,-2)$.
- $f''=6x$: concave down for $x<0$, concave up for $x>0$; inflection at $(0,0)$.
- The sketch: rises to a peak at $(-1,2)$, falls through $(0,0)$, dips to $(1,-2)$, then rises.
indices d'esquisse pour $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$ : croissant sur $(-\infty,-1)$ et $(1,\infty)$, décroissant sur $(-1,1)$ ; max à $(-1,2)$, min à $(1,-2)$.
- $f''=6x$ : concave vers le bas pour $x<0$, concave vers le haut pour $x>0$ ; inflexion à $(0,0)$.
- L'esquisse : monte jusqu'à un pic à $(-1,2)$, descend par $(0,0)$, plonge à $(1,-2)$, puis monte.
To sketch a graph, combine what $f'$ says (increase/decrease and extrema) with what $f''$ says (concavity and inflection points), plus a few anchor points. Read $f'$ from the slope of $f$ (not its height); a zero of $f'$ is a possible extremum, a zero of $f''$ a possible inflection.
Pour esquisser un graphique, combinez ce que $f'$ dit (croissance/décroissance et extrema) avec ce que $f''$ dit (concavité et points d'inflexion), plus quelques points d'ancrage. Lisez $f'$ à partir de la pente de $f$ (pas de sa hauteur) ; un zéro de $f'$ est un possible extremum, un zéro de $f''$ un possible point d'inflexion.