The Product Rule · La règle du produit
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| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | Règle du produit |
Why products need their own rule
- Tempting but wrong: the derivative of a product is not the product of the derivatives.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, but $f'g'=1\cdot1=1$. They disagree.
- Products get their own tool: the Product Rule 乘积法则.
- It accounts for both factors changing at once.
Pourquoi les produits ont leur propre règle
- Tentant mais faux : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, mais $f'g'=1\cdot1=1$. Ils diffèrent.
- Les produits ont leur propre outil : la Règle du produit 乘积法则.
- Elle prend en compte le fait que les deux facteurs changent simultanément.
The derivative of $f\cdot g$ equals $f'\cdot g'$. · La dérivée de $f\cdot g$ égale $f'\cdot g'$.
It is · C'est $f'g+fg'$, not $f'g'$. · C'est $f'g+fg'$, pas $f'g'$.
The rule
- For a product of two functions:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- In words: "derivative of the first times the second, plus the first times derivative of the second."
- Each term differentiates one factor and leaves the other alone; then you add.
La règle
- Pour un produit de deux fonctions :
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- En mots : "la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second."
- Chaque terme différentie un facteur et laisse l'autre intact ; ensuite on additionne.
The Product Rule states $\dfrac{d}{dx}[fg]=$ · La règle du produit stipule $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Derivative of first times second, plus first times derivative of second. · Dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second.
A clean worked pattern
- Differentiate $y=x^2\,e^x$. Let $f=x^2$ and $g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- Factor if asked: $y'=x e^x(2+x)$.
Un modèle résolu propre
- Dérivez $y=x^2\,e^x$. Posons $f=x^2$ et $g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- Factorisez si demandé : $y'=x e^x(2+x)$.
A product's changing slope · La pente changeante d'un produit
y = ax² + bx
A product like $x^2 e^x$ has a slope that mixes both factors — the Product Rule captures both changing at once. · Un produit comme $x^2 e^x$ a une pente qui mélange les deux facteurs — la règle du produit capture les deux changements simultanément.
Differentiate $y=x^2 e^x$. · Dérivez $y=x^2 e^x$.
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
For · Pour $y=x\sin x$, use the product rule to find $y'$ at $x=0$. (Recall $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.) · Pour $y=x\sin x$, utilisez la règle du produit pour trouver $y'$ en $x=0$. (Rappelez-vous $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
$y'=\sin x+x\cos x$; at $0$: $0+0\cdot1=0$. · $y'=\sin x+x\cos x$ ; en $0$ : $0+0\cdot1=0$.
When you actually need it
- If a product can be multiplied out first, do that — it may be easier ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- But when the factors won't simplify (like $x^2\sin x$ or $e^x\ln x$), the rule is required.
- Combine it freely with the power and elementary derivatives for each factor.
- Label $f,f',g,g'$ first — organized bookkeeping prevents mistakes.
Quand vous en avez vraiment besoin
- Si un produit peut être développé en premier, faites-le — c'est souvent plus simple ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- Mais lorsque les facteurs ne peuvent pas se simplifier (comme $x^2\sin x$ ou $e^x\ln x$), la règle est indispensable.
- Combinez-la librement avec les règles de puissance et les dérivées élémentaires pour chaque facteur.
- Étiquetez $f,f',g,g'$ en premier — une comptabilité organisée évite les erreurs.
For · Pour $y=x^2\cdot x^3$, the smartest first move is to... · Pour $y=x^2\cdot x^3$, le meilleur premier coup est de...
Simplifying to $x^5$ first is easier: $5x^4$. Use the Product Rule only when factors won't combine. · Simplifier en $x^5$ d'abord est plus facile : $5x^4$. Utilisez la règle du produit seulement lorsque les facteurs ne peuvent pas se combiner.
In each term of the Product Rule, which is true? · Dans chaque terme de la règle du produit, quoi est vrai ?
One factor per term is differentiated; the two terms are summed. Differentiating both in one term is the classic error. · Un facteur par terme est dérivé ; les deux termes sont sommés. Dériver les deux dans un seul terme est l'erreur classique.
The Product Rule is $f'g+fg'$, not $f'g'$. Both terms are needed, and each keeps the other factor undifferentiated. A very common slip is to differentiate both factors in the same term — don't. Exactly one factor is differentiated per term.
La Règle du produit est $f'g+fg'$, pas $f'g'$. Les deux termes sont nécessaires, et chacun garde l'autre facteur sans différentier. Une erreur très fréquente consiste à différentier les deux facteurs dans le même terme — ne le faites pas. Exactement un seul facteur est différentié par terme.
Differentiate $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- Neither factor could be simplified away, so the Product Rule was necessary.
Dérivez $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- Aucun facteur ne pouvait être simplifié, la Règle du produit était donc nécessaire.
The Product Rule: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — differentiate one factor at a time and add. Use it whenever a product of differentiable functions can't be simplified first. It is not $f'g'$; each term differentiates exactly one factor.
La Règle du produit : $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — différentiez un facteur à la fois et additionnez. Utilisez-la chaque fois qu'un produit de fonctions différentiables ne peut pas être simplifié au préalable. Ce n'est pas $f'g'$ ; chaque terme différentie exactement un facteur.