Connecting Position, Velocity, and Acceleration of Functions Using Integrals · Lien entre position, vitesse et accélération des fonctions via les intégrales
| English | Français |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | position |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | Déplacement |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
Mouvement, maintenant passé par intégrales
- L'Unité 4 est passée de position → vitesse → accélération par différenciation. L'intégration va en arrière.
- Intégrer l'accélération pour récupérer la vitesse ; intégrer la vitesse pour récupérer la position 位置.
- Chaque étape additionne un taux pour obtenir la quantité qu'il change.
- Donc les intégrales reconstruisent l'histoire du mouvement à partir des taux.
To recover position from velocity you... · Pour retrouver la position à partir de la vitesse, vous...
Position $=$ initial $+\int v\,dt$.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
Monter la chaîne
- Vitesse à partir de l'accélération : $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position à partir de la vitesse : $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Chacun nécessite une valeur initiale (la constante d'intégration travestie).
- Intégrer le taux, puis ajouter où vous avez commencé.
Recovering position from velocity requires an ____ value to fix the constant. · Retrouver la position à partir de la vitesse nécessite une valeur ____ pour fixer la constante.
Position $=$ initial position $+\int v\,dt$. · Position $=$ position initiale $+\int v\,dt$.
Displacement vs. distance
- Displacement 位移 over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
Déplacement vs distance
- Déplacement 位移 sur $[a,b]$ est l'intégrale signée de la vitesse : $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — changement net de position.
- La distance totale est l'intégrale de la vitesse $|v|$ : $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — elle ne soustrait jamais.
- Si l'objet fait demi-tour, déplacement et distance diffèrent.
- Le déplacement peut être zéro après un vrai mouvement ; la distance ne peut pas l'être (sauf si elle n'a jamais bougé).
Signed area under velocity · Aire signée sous la vitesse
y = t − 2 (velocity) · y = t − 2 (vitesse)
The signed area under $v(t)$ is displacement; taking absolute value on each piece (split at $v=0$) gives distance. · L'aire signée sous $v(t)$ est le déplacement ; prendre la valeur absolue sur chaque partie (découper en $v=0$) donne la distance.
For · Pour $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, find the displacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$. · Pour $v(t)=t-2$ sur $[0,3]$, trouvez le déplacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Displacement can be zero even when the object has actually moved. · Le déplacement peut être nul alors que l'objet a réellement bougé.
Out-and-back gives zero net displacement but positive distance. · Aller-retour donne un déplacement net nul mais une distance positive.
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
Distance signifie découper aux retours
- Pour obtenir la distance totale, trouvez où $v=0$ (les points de retournement) et intégrez $|v|$ morceau par morceau.
- Sur chaque morceau $v$ garde un seul signe, donc $|v|$ est simplement $\pm v$ là-bas.
- Additionnez les aires absolues des morceaux — aucune annulation.
- Cette étape "couper à $v=0$" est exactement ce qui rend la distance $\neq$ au déplacement.
For · Pour $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, total distance is $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Compute it. · Pour $v(t)=t-2$ sur $[0,3]$, la distance totale est $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Calculer.
Split at $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$. · Découper en $t=2$ : $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Total distance traveled over $[a,b]$ is... · La distance totale parcourue sur $[a,b]$ est...
Integrate speed $|v|$; splitting at turning points is required. · Intégrer la vitesse scalaire $|v|$ ; découper aux points de retournement est requis.
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
Déplacement ($\int v\,dt$) est signée et peut être zéro même après avoir bougé ; distance totale ($\int|v|\,dt$) n'est jamais négative. Pour obtenir la distance, divisez l'intervalle où $v=0$ et additionnez les valeurs absolues — ne faites pas simplement intégrer $v$ et prendre sa valeur absolue à la fin. Et récupérer la position/vitesse nécessite la valeur initiale.
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Une particule a $v(t)=t-2$ (m/s) sur $[0,3]$. Trouvez le déplacement et la distance totale.
- Déplacement : $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ à $t=2$ : négatif sur $[0,2)$, positif sur $(2,3]$.
- Distance : $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.
Les intégrales reconstruisent le mouvement : vitesse $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Déplacement sur $[a,b]$ est l'intégrale signée $\int_a^b v\,dt$ ; distance totale est $\int_a^b|v|\,dt$ — diviser aux points de retournement ($v=0$) et additionner les valeurs absolues.