Introduction to Related Rates · Introduction aux taux liés
| English | Français |
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| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | taux liés |
| time/taɪm/ | temps |
When one rate drives another
- Blow up a balloon: its radius grows, and because of that, its volume grows too.
- The two rates are linked — knowing how fast the radius changes tells you how fast the volume changes.
- Problems like this are related rates 相关变化率: several quantities changing together in time.
- The engine that links them is the chain rule, applied with respect to time 时间.
Quand un taux en entraîne un autre
- Gonflez un ballon : son rayon augmente, et parce que cela, son volume augmente aussi.
- Les deux taux sont liés — savoir à quelle vitesse le rayon change vous dit à quelle vitesse le volume change.
- Les problèmes de ce type sont des changements liés 相关变化率 : plusieurs quantités qui changent ensemble dans le temps.
- Le mécanisme qui les relie est la règle de la chaîne, appliquée par rapport au temps 时间。
A related-rates problem links the rates of quantities that change with respect to... · Un problème de taux liés relie les taux de quantités qui changent par rapport à...
The variables are functions of time, linked via the chain rule. · Les variables sont des fonctions du temps, liées via la règle de chaîne.
Start with an equation relating the variables
- First, find an equation that ties the quantities together — usually geometry or a formula.
- Balloon: $V=\tfrac43\pi r^3$ links volume and radius.
- Ladder sliding down a wall: $x^2+y^2=L^2$ (Pythagoras) links the two distances.
- This relating equation is true at every instant, so we can differentiate it in time.
Commencez par une équation reliant les variables
- Trouvez d'abord une équation qui lie les quantités entre elles — généralement géométrie ou formule.
- Ballon : $V=\tfrac43\pi r^3$ relie le volume et le rayon.
- Échelle glissant contre un mur : $x^2+y^2=L^2$ (Pythagore) relie les deux distances.
- Cette équation de liaison est vraie à tout instant, nous pouvons donc la dériver par rapport au temps.
Volume grows with radius · Le volume augmente avec le rayon
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ climbs steeply — a small radius rate makes a large volume rate when $r$ is big. · $V=\tfrac43\pi r^3$ monte abruptement — un petit taux de rayon entraîne un grand taux de volume lorsque $r$ est grand.
The first step is to write an ____ that relates the changing variables. · La première étape consiste à écrire une ____ reliant les variables changeantes.
Usually a geometric or physical relationship. · Habituellement une relation géométrique ou physique.
A ladder of length $L$ leans on a wall. Which equation relates the base distance $x$ and height $y$? · Une échelle de longueur $L$ repose contre un mur. Quelle équation relie la distance à la base $x$ et la hauteur $y$ ?
Pythagoras: the wall and floor form a right angle, so $x^2+y^2=L^2$. · Pythagore : le mur et le sol forment un angle droit, donc $x^2+y^2=L^2$.
Differentiate with respect to time
- Every variable secretly depends on $t$, so differentiating brings in a rate for each — via the chain rule.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ gives $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Each term contributes a "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" factor — exactly like implicit differentiation, but the hidden variable is $t$.
- Now the equation links the rates $\tfrac{dV}{dt}$ and $\tfrac{dr}{dt}$.
Dérivez par rapport au temps
- Chaque variable dépend secrètement de $t$, donc dériver introduit un taux pour chacune — via la règle de la chaîne.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ donne $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Chaque terme apporte un facteur « $\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$ » — exactement comme la dérivation implicite, mais la variable cachée est $t$.
- Maintenant, l'équation relie les taux $\tfrac{dV}{dt}$ et $\tfrac{dr}{dt}$.
Differentiating $V=\tfrac43\pi r^3$ with respect to $t$ gives $\dfrac{dV}{dt}=$ · Dériver $V=\tfrac43\pi r^3$ par rapport à $t$ donne $\dfrac{dV}{dt}=$
Chain rule in time: $4\pi r^2$ times $\tfrac{dr}{dt}$. · Règle de chaîne en temps : $4\pi r^2$ fois $\tfrac{dr}{dt}$.
Sort the givens from the unknown
- Read the problem and label: which rates are given, and which single rate is wanted?
- "The radius grows at $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ is given.
- "How fast is the volume growing?" → $\tfrac{dV}{dt}$ is the unknown.
- Also note any fixed quantities (like the radius at the instant asked about).
Trier les données connues des inconnues
- Lisez l'énoncé et étiquetez : quels taux sont donnés et quel taux unique est souhaité ?
- "Le rayon croît à $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ est donné.
- "À quelle vitesse le volume croît-il ?" → $\tfrac{dV}{dt}$ est inconnu.
- Notez également les quantités fixes (comme le rayon à l'instant demandé).
Differentiating $r^3$ with respect to time gives just $3r^2$. · Dériver $r^3$ par rapport au temps ne donne que $3r^2$.
It gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — the rate factor is required. · Il donne $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — le facteur de taux est requis.
"The radius grows at $2$ cm/s; how fast is the volume growing?" Select all · tout correct labels. · « Le rayon augmente à $2$ cm/s ; à quelle vitesse le volume augmente-t-il ? » Sélectionnez toutes les étiquettes correctes.
The radius rate is given, the volume rate is wanted, and $V=\tfrac43\pi r^3$ relates them. · Le taux de rayon est donné, le taux de volume est recherché, et $V=\tfrac43\pi r^3$ les relie.
Related-rates variables are functions of time, so differentiating $r^3$ gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — never just $3r^2$. Forgetting the $\tfrac{dr}{dt}$ (the chain-rule rate factor) is the defining error. Every changing quantity contributes its own $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
Les variables de taux liés sont des fonctions du temps, donc dériver $r^3$ donne $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — jamais simplement $3r^2$. Oublier le $\tfrac{dr}{dt}$ (le facteur de taux de la règle de la chaîne) est l'erreur caractéristique. Chaque quantité changeante contribue son propre $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
A balloon's volume is $V=\tfrac43\pi r^3$. Set up the related-rates equation.
- Differentiate with respect to $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- This links the growth rate of volume to the growth rate of radius.
- Given $\tfrac{dr}{dt}$ and the current $r$, we could now solve for $\tfrac{dV}{dt}$ (next lesson).
Le volume d'un ballon est $V=\tfrac43\pi r^3$. Établissez l'équation des taux liés.
- Dérivez par rapport à $t$ : $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Cela relie le taux de croissance du volume au taux de croissance du rayon.
- Étant donné $\tfrac{dr}{dt}$ et le $r$ actuel, nous pourrions maintenant résoudre pour $\tfrac{dV}{dt}$ (leçon suivante).
A related rates problem links the rates of two or more quantities changing in time. Write an equation relating the variables (often geometry), differentiate it with respect to $t$ using the chain rule (each variable gets a $\tfrac{d(\ )}{dt}$), and identify which rates are given and which is wanted.
Un problème de taux liés relie les taux de deux ou plusieurs quantités changeant dans le temps. Écrivez une équation reliant les variables (généralement géométrie), dérivez-la par rapport à $t$ en utilisant la règle de la chaîne (chaque variable obtient un $\tfrac{d(\ )}{dt}$), et identifiez quels taux sont donnés et lequel est souhaité.