Energy stored in a capacitor · Énergie stockée dans un condensateur
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| energy stored/ˈenədʒi stɔːd/ | énergie stockée |
| defibrillator/dɪˈfɪbrɪleɪtə/ | défibrillateur |
Half the energy never reaches the capacitor
- Connect an ideal battery of e.m.f. $V$ to a capacitor through a wire. The battery pushes charge $Q = CV$ through a p.d. of $V$, so it gives out $QV$ of energy.
- The capacitor ends up holding $\tfrac12 QV$. Exactly half the energy has gone, as heat in the wire, and it makes no difference how good the wire is.
- The missing half is not an inefficiency to be engineered away. It is a consequence of the fact that the p.d. across the capacitor starts at zero and only reaches $V$ at the end.
- This lesson is the energy stored 储存的能量, where the factor of a half comes from, and what happens when charge is shared.
Moitié de l'énergie n'atteint jamais le condensateur
- Connecter une pile idéale de f.é.m. $V$ à un condensateur par un fil. La pile pousse la charge $Q = CV$ à travers une p.d. de $V$, donc elle fournit $QV$ d'énergie.
- Le condensateur finit par contenir $\tfrac12 QV$. Exactement la moitié de l'énergie s'est perdue, sous forme de chaleur dans le fil, et peu importe la qualité du fil.
- La moitié manquante n'est pas une inefficacité à corriger par ingénierie. C'est une conséquence du fait que la p.d. aux bornes du condensateur commence à zéro et n'atteint $V$ qu'à la fin.
- Cette leçon porte sur l'énergie stockée 储存的能量, d'où vient le facteur demi, et ce qui se passe lors du partage de charge.
The three forms
- Charging a capacitor takes work, because each extra bit of charge must be pushed against the p.d. that is already there. Adding up all those bits gives:
- All three are the same expression with $Q = CV$ substituted differently. Choose the one that uses the two quantities the question gives you, and no rearranging is needed.
Les trois formes
- Charger un condensateur nécessite un travail, car chaque portion supplémentaire de charge doit être poussée contre la p.d. déjà présente. Additionner toutes ces portions donne :
- Les trois sont la même expression avec $Q = CV$ substituée différemment. Choisissez celle qui utilise les deux quantités données par l'énoncé, sans réarrangement nécessaire.
The energy stored in a capacitor is: · L'énergie stockée dans un condensateur est :
Equivalent forms: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$. · Formes équivalentes : $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$.
A $2.0\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $1000\ \text{V}$. How much energy does it store? · Un condensateur $2.0\ \mu\text{F}$ est chargé à $1000\ \text{V}$. Combien d'énergie stocke-t-il ?
$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{-6} \times (1000)^{2} = 1.0\ \text{J}$.
The area under the graph
- A graph of $V$ against $Q$ for a capacitor is a straight line through the origin, of gradient $1/C$.
- The energy stored is the area under that line up to the charge $Q$, which is a triangle of area $\tfrac12 QV$.
- That is where the half comes from: the p.d. grows from zero to $V$ as the capacitor charges, so the average p.d. during charging is $V/2$, not $V$.
A triangle, not a rectangle, and that is the whole reason for the half
La zone sous la courbe
- Un graphique de $V$ en fonction de $Q$ pour un condensateur est une droite passant par l'origine, de pente $1/C$.
- L'énergie stockée est la zone sous cette ligne jusqu'à la charge $Q$, qui est un triangle d'aire $\tfrac12 QV$.
- C'est d'où vient le demi : la p.d. croît de zéro à $V$ pendant la charge, donc la p.d. moyenne pendant la charge est $V/2$, pas $V$.
Un triangle, pas un rectangle, et c'est toute la raison du demi
Energy in a capacitor · Énergie dans un condensateur
E = ½C·V²
Stored energy grows with the square of the voltage. · L'énergie stockée croît avec le carré de la tension.
Why is there a factor of ½ in the stored-energy formula? · Pourquoi y a-t-il un facteur ½ dans la formule de l'énergie stockée ?
The p.d. rises from 0 to V as it charges, so the average is V/2 — hence the triangle area $\tfrac{1}{2}QV$. · La tension passe de 0 à V lors de la charge, donc la moyenne est V/2 — d'où l'aire du triangle $\tfrac{1}{2}QV$.
The energy stored equals the ____ under the V–Q graph. · L'énergie stockée est égale à la ____ sous la courbe V–Q.
The triangle under the line has area $\tfrac{1}{2}QV$ — the stored energy. · Le triangle sous la ligne a une aire $\tfrac{1}{2}QV$ — l'énergie stockée.
Worked example: energy from a graph
- A graph of $Q$ against $V$ is a straight line through the origin passing through $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Find the capacitance, the energy at $10\ \text{V}$, and the extra energy needed to reach $12\ \text{V}$.
- The gradient of $Q$ against $V$ is the capacitance: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Energy at $10\ \text{V}$: the area, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- At $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, so the extra energy is $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Note that a 20% rise in voltage costs a 44% rise in energy, because $W \propto V^2$.
Exemple résolu : énergie depuis un graphique
- Un graphique de $Q$ en fonction de $V$ est une droite passant par l'origine passant par $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Trouver la capacitance, l'énergie à $10\ \text{V}$, et l'énergie supplémentaire nécessaire pour atteindre $12\ \text{V}$.
- La pente de $Q$ en fonction de $V$ est la capacitance : $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Énergie à $10\ \text{V}$ : l'aire, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- À $12\ \text{V}$ : $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, donc l'énergie supplémentaire est $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Notez qu'une hausse de 20 % de la tension coûte une hausse de 44 % de l'énergie, parce que $W \propto V^2$.
A graph of charge against p.d. for a capacitor is a straight line through the origin. What does its gradient give? · Un graphique de la charge en fonction de la tension pour un condensateur est une ligne droite passant par l'origine. Que donne sa pente ?
Q against V has gradient C, and the energy is the area under the V against Q line. Do not confuse the gradient with the area. · Q en fonction de V a une pente C, et l'énergie est l'aire sous la courbe V en fonction de Q. Ne pas confondre la pente avec l'aire.
Energy goes as the square
- Because $W = \tfrac12 CV^2$, doubling the p.d. quadruples the energy for the same capacitor.
- That is why a camera flash or a defibrillator 除颤器 charges its capacitor to hundreds or thousands of volts rather than using a larger capacitor at a low voltage: voltage is the cheaper way to buy energy.
- It is also why the same capacitor at half the voltage stores only a quarter of the energy, which is worth checking your answers against.
L'énergie va au carré
- Parce que $W = \tfrac12 CV^2$, doubler la p.d. quadruple l'énergie pour le même condensateur.
- C'est pourquoi un flash d'appareil photo ou un défibrillateur 除颤器 charge son condensateur à des centaines ou milliers de volts plutôt qu'utiliser un condensateur plus grand à basse tension : la tension est le moyen moins cher d'acheter de l'énergie.
- C'est aussi pourquoi le même condensateur à moitié tension ne stocke qu'un quart de l'énergie, ce qui vaut la peine de vérifier vos réponses.
Charging a capacitor through a wire wastes about half the supplied energy as heat. · Charger un condensateur par un fil dissipe environ la moitié de l'énergie fournie sous forme de chaleur.
The battery gives out $QV$ but the capacitor stores only $\tfrac{1}{2}QV$; the rest heats the wire, whatever its resistance. · La batterie fournit $QV$ mais le condensateur ne stocke que $\tfrac{1}{2}QV$ ; le reste chauffe le fil, quelle que soit sa résistance.
A 120 uF capacitor is charged to 12 V. What is the energy stored, in mJ? · Un condensateur de 120 µF est chargé à 12 V. Quelle est l'énergie stockée, en mJ ?
W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. At 10 V it would store only 6.0 mJ, because energy goes as the square of the voltage. · W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. À 10 V, il ne stockerait que 6.0 mJ, car l'énergie varie comme le carré de la tension.
Doubling the p.d. across a capacitor doubles the energy it stores. · Doubler la tension aux bornes d'un condensateur double l'énergie qu'il stocke.
W is proportional to V squared, so doubling the p.d. gives four times the energy. That is why flash and defibrillator circuits use high voltages. · W est proportionnel au carré de V, donc doubler la tension quadruple l'énergie. C'est pourquoi les circuits d'éclair flash et de défibrillateur utilisent des hautes tensions.
Worked example: sharing charge
- A charged capacitor $C$ at p.d. $V$ is disconnected and then connected across an uncharged capacitor of capacitance $3C$. Find the final p.d. and the energy lost.
- Charge is conserved. The total charge is still $Q = CV$, now on a parallel pair of total capacitance $4C$, so the common p.d. is $V' = Q/4C = V/4$.
- Energy is not conserved. Before: $\tfrac12 CV^2$. After: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Three-quarters of the energy has gone.
- It is dissipated as heat in the connecting wires, and as a spark or radiation, while the charge moves, however small the resistance. Saying where it went is the mark.
Exemple résolu : partager la charge
- Un condensateur chargé $C$ à p.d. $V$ est déconnecté puis connecté aux bornes d'un condensateur non chargé de capacitance $3C$. Trouver la p.d. finale et l'énergie perdue.
- La charge est conservée. La charge totale reste $Q = CV$, maintenant sur une paire en parallèle de capacitance totale $4C$, donc la p.d. commune est $V' = Q/4C = V/4$.
- L'énergie n'est pas conservée. Avant : $\tfrac12 CV^2$. Après : $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Trois quarts de l'énergie ont disparu.
- Elle est dissipée sous forme de chaleur dans les fils de connexion, ainsi qu'en étincelle ou rayonnement, pendant que la charge se déplace, peu importe la résistance. Indiquer où elle est allée rapporte les points.
A charged capacitor is connected across an uncharged one. Put the reasoning in order. · Un condensateur chargé est connecté à un condensateur non chargé. Mettre les étapes de raisonnement dans l'ordre.
Charge is conserved, energy is not. Naming where the lost energy goes is what the final mark is for. · La charge est conservée, l'énergie ne l'est pas. Identifier où l'énergie perdue va constitue la dernière étape.
Energy during a discharge falls twice as fast
- During a discharge the charge and the p.d. both decay as $e^{-t/RC}$, but the energy goes as $V^2$, so it decays as $e^{-2t/RC}$.
- After one time constant the p.d. has fallen to $37\%$ of its start, but the energy has fallen to $e^{-2} = 14\%$.
- After two time constants the p.d. is $14\%$ and the energy only $1.8\%$.
- So the energy has an effective half-life of half that of the charge. A question that gives you a time constant and asks for the remaining energy is testing exactly this factor of two.
- The same square is why a capacitor charged to twice the p.d. stores four times the energy.
L'énergie lors d'une décharge diminue deux fois plus vite
- Lors d'une décharge, la charge et la p.d. décroissent toutes deux selon $e^{-t/RC}$, mais l'énergie suit $V^2$, donc elle décroît selon $e^{-2t/RC}$.
- Après une constante de temps, la p.d. est tombée à $37\%$ de son départ, mais l'énergie est tombée à $e^{-2} = 14\%$.
- Après deux constantes de temps, la p.d. est $14\%$ et l'énergie n'est que $1.8\%$.
- Donc l'énergie a une demi-vie effective de la moitié de celle de la charge. Une question qui vous donne une constante de temps et demande l'énergie restante teste exactement ce facteur deux.
- Le même carré explique pourquoi un condensateur chargé à double p.d. stocke quatre fois l'énergie.
A capacitor discharges for exactly one time constant. What percentage of its stored energy remains? · Un condensateur se décharge pendant exactement une constante de temps. Quel pourcentage de son énergie stockée reste-t-il ?
The p.d. falls to 37%, but energy goes as V squared, so e^-2 = 13.5% remains. Quoting 37% for the energy is the trap this question is built on. · La tension tombe à 37 %, mais l'énergie varie comme V au carré, donc e^-2 = 13.5 % reste. Citer 37 % pour l'énergie est le piège sur lequel cette question est construite.
Marks that slip away
- The factor of $\tfrac12$ comes from the average p.d. being $V/2$ during charging, or equivalently from the area of a triangle. Say one of those, not "it is in the formula".
- $W \propto V^2$, so doubling the voltage gives four times the energy, not twice.
- In a charge-sharing question, charge is conserved but energy is not. Name where the lost energy goes.
- Half the battery's energy is lost as heat during charging whatever the wire's resistance. It is not a fault in the circuit.
Pièges qui font perdre des points
- Le facteur $\tfrac12$ vient du p.d. moyenne étant $V/2$ pendant la charge, ou équivalentement de l'aire d'un triangle. Donnez l'une de ces explications, pas "c'est dans la formule".
- $W \propto V^2$, donc doubler la tension donne quatre fois l'énergie, pas deux fois.
- Dans une question de partage de charge, la charge est conservée mais l'énergie ne l'est pas. Nommez où l'énergie perdue est allée.
- La moitié de l'énergie de la batterie est perdue sous forme de chaleur lors de la charge, quelle que soit la résistance du fil. Ce n'est pas un défaut du circuit.
You've got it
- energy stored $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; pick the form matching the quantities given
- it is the area under the $V$ against $Q$ line, a triangle, and the $\tfrac12$ is because the average p.d. while charging is $V/2$
- $W \propto V^2$: double the p.d., four times the energy
- when charge is shared, charge is conserved and energy is not: the difference is dissipated as heat in the wires, whatever their resistance
Vous avez compris
- énergie stockée $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$ ; choisissez la forme correspondant aux quantités données
- c'est l'aire sous la courbe $V$ en fonction de $Q$, un triangle, et le $\tfrac12$ est dû au fait que la p.d. moyenne pendant la charge est $V/2$
- $W \propto V^2$ : doublez la différence de potentiel, l'énergie est multipliée par quatre
- lorsque la charge est partagée, la charge est conservée mais l'énergie ne l'est pas : la différence est dissipée sous forme de chaleur dans les fils, quelle que soit leur résistance