Discharging a capacitor · Décharge d'un condensateur
| English | Français |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | décharge |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | constante de temps |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | décroissance exponentielle |
The decay that never quite finishes
- A discharging capacitor loses 63% of its charge in the first time constant, then 63% of what remains in the next, and so on for ever.
- After five time constants less than 1% is left, but the curve never reaches zero. It cannot, because the rate of loss is always proportional to how much is left.
- Every quantity that behaves that way, radioactive decay included, gives the same curve, so learning it once serves twice.
- This lesson is the discharge 放电 equations, the time constant 时间常数, and the log plot that turns the curve into a straight line.
La décroissance qui ne finit jamais tout à fait
- Un condensateur déchargé perd 63 % de sa charge durant la première constante de temps, puis 63 % de ce qui reste lors de la suivante, et ainsi de suite indéfiniment.
- Après cinq constantes de temps, il reste moins de 1 %, mais la courbe n'atteint jamais zéro. Cela est impossible car le taux de perte est toujours proportionnel à ce qu'il reste.
- Toute grandeur se comportant ainsi, y compris la désintégration radioactive, produit la même courbe, donc l'apprendre une fois sert deux fois.
- Cette leçon porte sur les équations de décharge 放电, la constante de temps 时间常数, et le tracé logarithmique qui transforme la courbe en une ligne droite.
Where the exponential comes from
- Close the switch and the capacitor's p.d. drives a current through the resistor. Kirchhoff's second law gives $V_C = V_R$, and with $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ and $I = -dQ/dt$:
- The rate of loss is proportional to the charge remaining. That is the defining property of exponential decay 指数衰减, and it is why the curve flattens as it falls.
D'où vient l'exponentielle
- Fermez l'interrupteur et la p.d. du condensateur entraîne un courant à travers la résistance. La deuxième loi de Kirchhoff donne $V_C = V_R$, et avec $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ et $I = -dQ/dt$ :
- Le taux de perte est proportionnel à la charge restante. C'est la propriété définissante de la décroissance exponentielle 指数衰减, et c'est pourquoi la courbe s'aplatit alors qu'elle descend.
During discharge through a resistor, the charge on a capacitor: · Lors de la décharge à travers une résistance, la charge d'un condensateur :
The bigger the charge, the bigger the current — giving an exponential decay. · Plus la charge est grande, plus le courant est élevé — ce qui donne une décroissance exponentielle.
Why is a capacitor's discharge exponential? · Pourquoi la décharge d'un condensateur est-elle exponentielle ?
Q/C = -R dQ/dt says exactly that. Every quantity with this property, radioactive decay included, gives the same curve. · Q/C = -R dQ/dt dit exactement cela. Toute quantité possédant cette propriété, y compris la désintégration radioactive, produit la même courbe.
The three equations
- Charge, p.d. and current all decay together, with the same time constant:
- The current is largest at the instant the switch closes, $I_0 = V_0/R$, because the full initial p.d. is then across the resistor. It falls as the p.d. falls.
- The area under the current-time graph is the charge that has flowed. All three curves have the same shape, so measuring $\tau$ from any one of them gives $RC$.
Steep at first, then ever flatter, and never quite zero
Les trois équations
- Charge, p.d. et courant décroissent tous ensemble, avec la même constante de temps :
- Le courant est maximal à l'instant où l'interrupteur se ferme, $I_0 = V_0/R$, car toute la p.d. initiale est alors aux bornes de la résistance. Il diminue lorsque la p.d. diminue.
- L'aire sous le graphique courant-temps correspond à la charge écoulée. Les trois courbes ayant la même forme, mesurer $\tau$ sur l'une d'elles donne $RC$.
Raide au début, puis toujours plus aplatie, et jamais tout à fait zéro
Charge / discharge curve · Courbe de charge / décharge
The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC. · La tension augmente (ou diminue) exponentiellement avec la constante de temps τ = RC.
Discharging a capacitor · Décharge d'un condensateur
Q = Q₀·bᵗ
Charge decays · décroît exponentially through the resistor. · La charge decroît exponentiellement à travers la résistance.
The charge during discharge is given by: · La charge lors de la décharge est donnée par :
Discharge falls toward zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (the $1 - e^{-t/RC}$ form is for charging · charge). · La décharge tend vers zéro : $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (la forme $1 - e^{-t/RC}$ concerne la charge).
The time constant
- The time constant is:
- Its unit is the second, since an ohm times a farad is a second.
- It is the time for the decaying quantity to fall to $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ of its starting value. After $2\tau$ about 13.5% remains, and after $5\tau$ less than 1%.
- A large $R$ or a large $C$ means a slow discharge: a big store emptying through a narrow pipe.
La constante de temps
- La constante de temps est :
- Son unité est la seconde, car un ohm multiplié par un farad égale une seconde.
- C'est le temps nécessaire pour que la quantité en déclin tombe à $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ de sa valeur initiale. Après $2\tau$, environ 13.5% reste, et après $5\tau$ moins de 1%.
- Une grande $R$ ou une grande $C$ signifie une décharge lente : un grand réservoir se vidant par un tuyau étroit.
A capacitor of $500\ \mu\text{F}$ discharges through a $2000\ \Omega$ resistor. What is the time constant? · Un condensateur de $500\ \mu\text{F}$ se décharge à travers une résistance de $2000\ \Omega$. Quelle est la constante de temps ?
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
After one time constant, the charge falls to about ____ % of its starting value. · Après une constante de temps, la charge tombe à environ ____ % de sa valeur initiale.
It falls to $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, i.e. about 37%. · Elle tombe à $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, soit environ 37 %.
After 5 time constants, less than 1% of the charge remains. · Après 5 constantes de temps, moins de 1 % de la charge reste.
$e^{-5} \approx 0.0067$, so under 1% is left — effectively fully discharged. · $e^{-5} \approx 0.0067$, donc moins de 1 % reste — pratiquement entièrement déchargé.
A capacitor charged to 24 V discharges through a 5.6 kilo-ohm resistor. What is the initial current, in mA? · Un condensateur chargé à 24 V se décharge à travers une résistance de 5.6 kilo-ohm. Quel est le courant initial, en mA ?
At the instant the switch closes the whole p.d. is across the resistor, so I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. It then decays with the same time constant as the charge. · Au moment où l'interrupteur se ferme, toute la d.d.p. est aux bornes de la résistance, donc I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. Elle décroît ensuite avec la même constante de temps que la charge.
Worked example: a full discharge question
- A $470\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $24\ \text{V}$ discharges through a $5.6\ \text{k}\Omega$ resistor. Find the time constant, the initial current, the p.d. after $4.0\ \text{s}$, and the time for the p.d. to fall to $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, and $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- After $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- For the time, take logarithms: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Keep $\tau$ unrounded inside the calculation and round only at the end. And note that $\ln(V/V_0)$ is negative, so the minus sign makes $t$ positive: that rearrangement is the most often asked and the most often botched.
Exemple résolu : question complète de décharge
- Un condensateur de $470\ \mu\text{F}$ chargé à $24\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance de $5.6\ \text{k}\Omega$. Trouvez la constante de temps, le courant initial, la différence de potentiel après $4.0\ \text{s}$, et le temps pour que la différence de potentiel tombe à $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, et $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- Après $4.0\ \text{s}$ : $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- Pour le temps, prenez les logarithmes : $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Gardez $\tau$ non arrondi dans le calcul et arrondissez uniquement à la fin. Notez aussi que $\ln(V/V_0)$ est négatif, donc le signe moins rend $t$ positif : cette réarrangement est la question la plus fréquente et celle où l'on échoue le plus souvent.
After one time constant, about 37% of the original charge remains on the capacitor. · Après une constante de temps, environ 37 % de la charge originale reste sur le condensateur.
It falls to 1/e of its starting value, about 37%. After two it is at about 13.5%, and after five below 1%, though it never quite reaches zero. · Il tombe à 1/e de sa valeur initiale, environ 37%. Après deux, il est à environ 13.5%, et après cinq en dessous de 1%, bien qu'il n'atteigne jamais tout à fait zéro.
Worked example: reading $\tau$ off a graph
- The p.d. across a $2200\ \mu\text{F}$ capacitor falls from $6.0\ \text{V}$ to $2.2\ \text{V}$ in $4.5\ \text{s}$. Find the resistance.
- Check the ratio first: $2.2/6.0 = 0.367$, which is $1/e$. So $4.5\ \text{s}$ is one time constant.
- Then $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- If the fall is not to $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_0)$ instead. The answer is the same either way, but spotting the $1/e$ saves a step.
Exemple résolu : lire $\tau$ sur un graphique
- La p.d. aux bornes d'un condensateur de $2200\ \mu\text{F}$ passe de $6.0\ \text{V}$ à $2.2\ \text{V}$ en $4.5\ \text{s}$. Trouvez la résistance.
- Vérifiez d'abord le rapport : $2.2/6.0 = 0.367$, ce qui correspond à $1/e$. Donc $4.5\ \text{s}$ est bien une constante de temps.
- Puis $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- Si la chute n'est pas jusqu'à $1/e$, utilisez $RC = -t/\ln(V/V_0)$ à la place. La réponse est la même des deux côtés, mais repérer le $1/e$ permet de gagner une étape.
A capacitor with time constant 2.63 s is charged to 24 V. How long, in seconds, until the p.d. falls to 6.0 V? · Un condensateur avec une constante de temps 2.63 s est chargé à 24 V. Combien de temps, en secondes, faut-il pour que la tension tombe à 6.0 V ?
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) is negative, so the minus sign makes t positive; that rearrangement is the most often botched. · t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) est négatif, donc le signe moins rend t positif ; cette réarrangement est le plus souvent mal exécuté.
The log plot
- Take logarithms of $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- So a graph of $\ln V$ against $t$ is a straight line with gradient $-1/RC$ and intercept $\ln V_0$.
- This is the standard experimental method: it turns a curve into a line, so $RC$ comes from a gradient rather than from a single reading, and any departure from a straight line shows the decay is not exponential.
Le tracé logarithmique
- Prenez les logarithmes de $V = V_0 e^{-t/RC}$ :
- Ainsi, un graphique de $\ln V$ en fonction de $t$ est une ligne droite avec une pente $-1/RC$ et une ordonnée à l'origine $\ln V_0$.
- C'est la méthode expérimentale standard : elle transforme une courbe en droite, donc $RC$ provient d'une pente plutôt que d'une seule lecture, et tout écart par rapport à une droite montre que la décroissance n'est pas exponentielle.
The p.d. across a 2200 uF capacitor falls from 6.0 V to 2.2 V in 4.5 s. Put the steps of finding the resistance in order. · La tension aux bornes d'un condensateur de 2200 uF chute de 6.0 V à 2.2 V en 4.5 s. Classez les étapes permettant de trouver la résistance dans l'ordre.
If the fall is not to 1/e, use RC = -t/ln(V/V0) instead. The answer is the same, but spotting the 1/e saves a step. · Si la chute n'est pas jusqu'à 1/e, utilisez RC = -t/ln(V/V0) à la place. La réponse est la même, mais repérer 1/e économise une étape.
Marks that slip away
- $\tau = RC$ is a time, in seconds, not a fraction. After one $\tau$ the quantity is at 37%, not 63% gone and stopped.
- The current is largest at the start, when the whole p.d. is across the resistor, and it decays with the same time constant as the charge.
- To find a time, take logs: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Keep the time constant unrounded through the working.
- On a $\ln V$ against $t$ plot the gradient is $-1/RC$, so $RC$ is minus the reciprocal of the gradient.
Pièges qui font perdre des points
- $\tau = RC$ est un temps, en secondes, et non une fraction. Après une $\tau$, la grandeur est à 37 %, et non 63 % disparue et arrêtée.
- Le courant est le plus élevé au début, lorsque toute la p.d. est aux bornes de la résistance, et il décroît avec la même constante de temps que la charge.
- Pour trouver un temps, prenez les logarithmes : $t = -RC\ln(V/V_0)$. Gardez la constante de temps non arrondie tout au long du calcul.
- Sur un graphique de $\ln V$ en fonction de $t$, la pente est $-1/RC$, donc $RC$ est l'opposé de l'inverse de la pente.
A graph of ln V against t for a discharging capacitor is a straight line. What is its gradient? · Un graphique de ln V en fonction de t pour un condensateur en décharge est une ligne droite. Quelle est sa pente ?
Taking logs of V = V0 exp(-t/RC) gives ln V = ln V0 - t/RC. So RC is minus the reciprocal of the gradient, and the straight line itself confirms the decay is exponential. · En prenant le logarithme de V = V0 exp(-t/RC), on obtient ln V = ln V0 - t/RC. Donc RC est l'opposé du reciprocal de la pente, et la ligne droite confirme que la décroissance est exponentielle.
You've got it
- the rate of loss is proportional to the charge left, so the decay is exponential: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, and $V$ and $I$ decay identically
- the current starts at $I_0 = V_0/R$ and the area under the current-time graph is the charge that has flowed
- the time constant $\tau = RC$ is the time to fall to $1/e \approx 37\%$; after $5\tau$ less than 1% remains
- take logs to find a time, $t = -RC\ln(V/V_0)$, and a plot of $\ln V$ against $t$ is a straight line of gradient $-1/RC$
Vous avez compris
- le taux de perte est proportionnel à la charge restante, donc la décroissance est exponentielle : $Q = Q_0e^{-t/RC}$, et $V$ et $I$ décroissent identiquement
- le courant commence à $I_0 = V_0/R$ et l'aire sous le graphique courant-temps correspond à la charge écoulée
- la constante de temps $\tau = RC$ est le temps pour atteindre $1/e \approx 37\%$ ; après $5\tau$, moins de 1 % restent
- prenez les logarithmes pour trouver un temps, $t = -RC\ln(V/V_0)$, et un graphique de $\ln V$ en fonction de $t$ est une ligne droite de pente $-1/RC$