Circular motion and angular speed · Mouvement circulaire et vitesse angulaire
| English | Français |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longueur d'arc |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | vitesse angulaire |
| period/ˈpɪərɪəd/ | période |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | fréquence |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | tangential |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | vitesse linéaire |
The merry-go-round
- Two horses on a merry-go-round both go round once together.
- Yet the outer horse clearly moves faster than the inner one.
- The link between "going round" and "speed" is what we set up here.
La carrousel
- Deux chevaux sur un carrousel font tous deux un tour complet ensemble.
- Pourtant, le cheval extérieur va clairement plus vite que l'intérieur.
- Le lien entre "faire un tour" et "vitesse" est ce que nous établissons ici.
Angles in radians 弧度
- A radian is the angle whose arc length 弧长 equals the radius: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- A full circle is $2\pi\ \text{rad}$. (Set your calculator to radians for this topic.)
A Ferris wheel: each car moves in a circle at a steady angular speed 角速度
Angles en radians 弧度
- Un radian est l'angle dont la longueur d'arc 弧长 est égale au rayon : $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- Un cercle complet fait $2\pi\ \text{rad}$. (Réglez votre calculatrice en radians pour ce sujet.)
Une grande roue : chaque cabine se déplace en cercle à une vitesse angulaire constante 角速度
Angular speed · Vitesse angulaire
s = rθ
Angular speed turns angle per time; arc length s = rθ. · La vitesse angulaire exprime l'angle par unité de temps ; la longueur d'arc s = rθ.
One radian is the angle for which the arc length equals the: · Un radian est l'angle pour lequel la longueur de l'arc est égale à :
$\theta = \dfrac{s}{r}$, so when the arc $s$ equals the radius $r$, the angle is exactly one radian. · $\theta = \dfrac{s}{r}$, donc lorsque l'arc $s$ est égal au rayon $r$, l'angle vaut exactement un radian.
How many radians are there in a complete circle? · Combien y a-t-il de radians dans un cercle complet ?
A full circle has arc $s = 2\pi r$, so $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$. · Un cercle complet a une longueur d'arc $s = 2\pi r$, donc $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
Match each term to the definition the examiner marks. · Reliez chaque terme à la définition marquée par l'examinateur.
Defining the radian as 180/pi degrees, or by the formula theta = s/r, loses the mark. The arc equal in length to the radius is the marked phrase. · Définir le radian comme 180/pi degrés, ou par la formule theta = s/r, ne rapporte aucune note. L'arc égal en longueur au rayon est la formulation attendue.
Angular speed
- Angular speed $\omega$ is how fast the angle changes: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unit: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
One radian is the angle whose arc length equals the radius
Vitesse angulaire
- La vitesse angulaire $\omega$ mesure la rapidité avec laquelle l'angle change : $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unité : $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Un radian est l'angle dont la longueur d'arc est égale au rayon
Period 周期 and frequency 频率
- One turn takes the period $T$, so $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ is the number of turns per second (Hz).
As the radius turns through the angle the object moves an arc at speed v
Période 周期 et fréquence 频率
- Un tour prend la période $T$, donc $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ est le nombre de tours par seconde (Hz).
Alors que le rayon tourne de l'angle, l'objet parcourt un arc à la vitesse v
An object goes once round every $2.0\ \text{s}$. What is its angular speed? · Un objet fait un tour complet toutes les $2.0\ \text{s}$. Quelle est sa vitesse angulaire ?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Angular speed equals $2\pi$ divided by the ____. · La vitesse angulaire est égale à $2\pi$ divisé par la ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — the whole turn ($2\pi$) divided by the time for one turn. · $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — le tour complet ($2\pi$) divisé par le temps pour un tour.
Linear and angular speed
- The actual (tangential 切向) speed is $v = r\omega$.
- Same $\omega$, bigger $r$ → bigger $v$ — which is why the outer horse is faster.
Vitesse linéaire et vitesse angulaire
- La vitesse réelle (tangentielle 切向) est $v = r\omega$.
- Même $\omega$, plus grand $r$ → plus grand $v$ — c'est pourquoi le cheval extérieur est plus rapide.
A point at radius $0.50\ \text{m}$ turns at $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed? · Un point situé au rayon $0.50\ \text{m}$ tourne à $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Quelle est sa vitesse linéaire ?
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
On a merry-go-round, a horse further from the centre moves at a higher linear speed. · Sur un manège, un cheval plus éloigné du centre se déplace à une vitesse linéaire plus élevée.
Same angular speed $\omega$, but $v = r\omega$, so a larger radius gives a larger linear speed. · Même vitesse angulaire $\omega$, mais $v = r\omega$, donc un rayon plus grand donne une vitesse linéaire plus grande.
A wheel turns once every 4.0 s. What is its angular speed, in rad/s? · Une roue effectue un tour toutes les 4.0 s. Quelle est sa vitesse angulaire, en rad/s ?
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Every formula in this topic assumes radians, so a calculator in degrees quietly ruins v = r omega too. · omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Chaque formule de ce sujet suppose des radians, donc une calculatrice en degrés ruine silencieusement v = r omega également.
Describing uniform circular motion
- The exam asks for it "in terms of velocity and acceleration". Say all three things:
- the speed is constant, but the velocity is not — it is along the tangent and its direction changes continuously;
- the acceleration has constant magnitude and is always directed towards the centre, perpendicular to the velocity.
Décrire le mouvement circulaire uniforme
- L'examen demande de le faire "en termes de vitesse et d'accélération". Dites ces trois choses :
- la vitesse est constante, mais la vitesse vectorielle ne l'est pas — elle est tangente et sa direction change continuellement ;
- l'accélération a une grandeur constante et est toujours dirigée vers le centre, perpendiculairement à la vitesse.
Which statements correctly describe an object in uniform circular motion? Select all that apply. · Quelles affirmations décrivent correctement un objet en mouvement circulaire uniforme ? Sélectionnez toutes les options applicables.
The speed is constant but the velocity keeps changing direction, so there is an acceleration — of constant size, always towards the centre. · La vitesse est constante mais la direction change continuellement, il y a donc une accélération — de magnitude constante, toujours dirigée vers le centre.
In uniform circular motion, which are constant? Select all · tout that apply. · En mouvement circulaire uniforme, lesquelles sont constantes ? Sélectionnez toutes les options applicables.
The velocity changes continuously in direction, which is exactly why there is an acceleration at all. The force does no work, so the kinetic energy never changes. · La vitesse change continuellement de direction, c'est précisément pourquoi il y a une accélération. La force ne fournit aucun travail, donc l'énergie cinétique ne change jamais.
Worked example: standing still, moving fast
Cambridge is at latitude $52.2^\circ$ on an Earth of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ that turns once a day. Find the radius of the circle Cambridge moves round, its speed, and the resultant force on a $60\ \text{kg}$ student needed for this motion.
- Radius of the circle: the city circles the Earth's axis, not its centre, so $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Angular speed: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Speed: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Resultant force: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, towards the axis.
- Check: a tiny force compared with the student's $590\ \text{N}$ weight — which is why we do not notice the spin, even though we are moving faster than a jet aircraft.
Exemple résolu : immobile, mais allant vite
Cambridge est à la latitude $52.2^\circ$ sur une Terre de rayon $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ qui effectue un tour par jour. Trouvez le rayon du cercle décrit par Cambridge, sa vitesse, et la force résultante nécessaire sur un étudiant de $60\ \text{kg}$ pour ce mouvement.
- Rayon du cercle : la ville contourne l'axe de la Terre, pas son centre, donc $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Vitesse angulaire : $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Vitesse : $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Force résultante : $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, vers l'axe.
- Vérification : une force minuscule comparée au poids $590\ \text{N}$ de l'étudiant — c'est pourquoi nous ne sentons pas la rotation, même si nous allons plus vite qu'un avion à réaction.
$\omega$ must be in radians per second. Revolutions per minute become $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; a full turn is $2\pi$ in every formula here, never $360$. $r$ in $v = r\omega$ is in metres. And the period is the time for one complete revolution, not for a half-turn or a swing.
$\omega$ doit être en radians par seconde. Les tours par minute deviennent $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$ ; un tour complet est $2\pi$ dans toutes les formules ici, jamais $360$. $r$ dans $v = r\omega$ est en mètres. Et la période est le temps pour un tour complet, pas pour un demi-tour ou un oscillation.
A drill bit spins at $3000$ revolutions per minute. What is its angular speed, in rad/s? · Un foreuse tourne à $3000$ tours par minute. Quelle est sa vitesse angulaire, en rad/s ?
$3000$ turns per minute is $50$ per second; each turn is $2\pi$ rad, so $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. · $3000$ tours par minute correspondent à $50$ par seconde ; chaque tour fait $2\pi$ rad, donc $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Numbers to get a feel for
- A CD at $500$ revolutions per minute: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- A car wheel of radius $0.30\ \text{m}$ at $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, about $11$ turns a second.
- The Earth: one turn in $86\,400\ \text{s}$, so $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — slow in angle, fast at the rim.
Nombres pour avoir une idée
- Un CD à $500$ tours par minute : $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Une roue de voiture de rayon $0.30\ \text{m}$ à $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ : $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, environ $11$ tours par seconde.
- La Terre : un tour en $86\,400\ \text{s}$, donc $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — lent en angle, rapide au bord.
You've got it
- a radian: $\theta = \dfrac{s}{r}$; a full circle is $2\pi\ \text{rad}$
- angular speed $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — convert rpm)
- linear speed 线速度 $v = r\omega$ (bigger radius → faster); uniform circular motion: constant speed, changing velocity, acceleration towards the centre
Vous avez compris
- un radian : $\theta = \dfrac{s}{r}$ ; un cercle complet est $2\pi\ \text{rad}$
- vitesse angulaire $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — convertir tr/min)
- vitesse linéaire 线速度 $v = r\omega$ (plus grand rayon → plus rapide) ; mouvement circulaire uniforme : vitesse constante, vitesse vectorielle changeante, accélération vers le centre