Discrete random variables · Variables aléatoires discrètes
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| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aléatoire discrète |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | espérance |
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution de probabilité |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution binomiale |
| trial/ˈtraɪəl/ | essai |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution géométrique |
The loaded die
- A fair die gives each face probability $\dfrac{1}{6}$. But what if the die is loaded? Each outcome still has a probability, but they're no longer equal.
- A discrete random variable 离散型随机变量 assigns a probability to each possible outcome — the foundation of statistical modelling.
Le dé truqué
- Un dé honnête donne à chaque face une probabilité $\dfrac{1}{6}$. Mais qu'en est-il si le dé est truqué ? Chaque issue a encore une probabilité, mais elles ne sont plus égales.
- Une variable aléatoire discrète 离散型随机变量 attribue une probabilité à chaque issue possible — c'est la base de la modélisation statistique.
Discrete random variables
- A discrete random variable $X$ takes separate values, each with a probability (they sum to 1).
- Expectation 期望 (mean): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Variance 方差: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Worked example. $X$ takes values 1, 2, 3 with probabilities 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
Probabilities must sum to 1. Before calculating expectation or variance, always check that $\sum P(X = x) = 1$. If it doesn't, the probability distribution 概率分布 is invalid.
Variables aléatoires discrètes
- Une variable aléatoire discrète $X$ prend des valeurs distinctes, chacune ayant une probabilité (elles s'additionnent à 1).
- Espérance 期望 (moyenne) : $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Variance 方差 : $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Exemple résolu. $X$ prend les valeurs 1, 2, 3 avec les probabilités 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
Les probabilités doivent s'additionner à 1. Avant de calculer l'espérance ou la variance, vérifiez toujours que $\sum P(X = x) = 1$. Sinon, la distribution de probabilité 概率分布 est invalide.
The binomial distribution · La loi binomiale
X ~ B(n, p)
Each bar is the chance of k successes. Change n and · et p and watch the mean · moyenne np shift. · Chaque barre représente la chance de k succès. Changez n et p et observez le moyen np se déplacer.
In a probability distribution table, the probabilities must add up to 1. · Dans un tableau de distribution de probabilité, les probabilités doivent s'additionner à 1.
A valid distribution has all probabilities summing to 1. · Une distribution valide a toutes ses probabilités sommant à 1.
X takes values 1, 2, 3 with P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Find it. · X prend les valeurs 1, 2, 3 avec P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Calculez-le.
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
If E(X) = 2.1 and E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². Find it. · Si E(X) = 2.1 et E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². Calculez-le.
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
Match each binomial idea to its result. · Associez chaque idée binomiale à son résultat.
A binomial has fixed n trials with constant p; its mean is np and variance np(1−p). · Une loi binomiale a un nombre fixe d'essais n avec une probabilité constante p ; sa moyenne est np et sa variance np(1−p).
The binomial distribution 二项分布
- Binomial $X \sim B(n, p)$ — number of successes in $n$ independent trials 试验:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Each bar is P(X = r) for B(10, 0.3); the distribution peaks at the mean np = 3.
La loi binomiale 二项分布
- Binomiale $X \sim B(n, p)$ — nombre de succès en $n$ essais indépendants 试验 :
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Chaque barre représente P(X = r) pour B(10, 0.3) ; la distribution atteint son maximum à la moyenne np = 3.
For X ~ B(10, 0.3), what is E(X) = np? · Pour X ~ B(10, 0.3), quelle est E(X) = np ?
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
For X ~ B(10, 0.3), what is Var(X) = np(1−p)? · Pour X ~ B(10, 0.3), quelle est Var(X) = np(1−p) ?
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1. · Var(X) = np(1-p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
The geometric distribution 几何分布
- Geometric — the trial number of the first success:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
La distribution géométrique 几何分布
- Géométrique — le numéro de l'essai du premier succès :
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
For a geometric distribution with p = 0.2, E(X) = 1/p. Find it. · Pour une distribution géométrique avec p = 0.2, E(X) = 1/p. Calculez-le.
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. On average, the first success occurs on trial 5. · E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. En moyenne, le premier succès survient à l'essai 5.
Worked example — binomial
- $X \sim B(10, 0.3)$. Find $P(X = 2)$ and $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
Exemple résolu — binomiale
- $X \sim B(10, 0.3)$. Trouver $P(X = 2)$ et $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
You've got it
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- binomial $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- geometric: first success on trial $r$, $E = \dfrac1p$
Vous avez compris
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- binomiale $B(n,p)$ : $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- géométrique : premier succès à l'essai $r$, $E = \dfrac1p$