Integration (Pure 2) · Intégration (Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fonction exponentielle |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | équation différentielle |
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | règle du trapèze |
| strip/strɪp/ | bande / tranche |
| estimate/ˈestɪmət/ | estimation |
| identity/aɪˈdentɪti/ | identité |
The area that eˣ can't escape
- The integral 积分 of $e^x$ is $e^x$ — the same function. This self-referential property makes exponential functions 指数函数 central to differential equations 微分方程.
- Integration techniques let you find areas, volumes, and solutions to real-world problems.
La zone que eˣ ne peut fuir
- L'intégrale 积分 de $e^x$ est $e^x$ — la même fonction. Cette propriété d'autoréférence rend les fonctions exponentielles 指数函数 centrales pour les équations différentielles 微分方程.
- Les techniques d'intégration permettent de trouver des aires, des volumes et des solutions à des problèmes du monde réel.
Standard integrals
Worked example. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. The $\dfrac{1}{3}$ comes from the chain rule in reverse.
Don't forget the $\dfrac{1}{a}$. When integrating $e^{ax+b}$, you must divide by $a$. The integral of $e^{2x}$ is $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, not $e^{2x}$.
The trapezium rule 梯形法则 adds straight-topped strips 条带 of width h to estimate 估计 the area
Intégrales standards
Exemple résolu. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. Le $\dfrac{1}{3}$ provient de l'application inverse de la règle de la chaîne.
N'oubliez pas le $\dfrac{1}{a}$. En intégrant $e^{ax+b}$, vous devez diviser par $a$. L'intégrale de $e^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, pas $e^{2x}$.
La règle du trapèze 梯形法则 adds des bandes rectangulaires 条带 de largeur h pour estimer 估计 l'aire
The area under the curve · L'aire sous la courbe
area = ∫ f(x) dx · aire = ∫ f(x) dx
The integral still measures area · aire — drag a and b to total the strip under the curve. · L'intégrale mesure toujours l'aire — faites glisser a et b pour additionner les bandes sous la courbe.
What is ∫ eˣ dx? · Quelle est la valeur de ∫ eˣ dx ?
eˣ is its own integral (and derivative): ∫eˣ dx = eˣ + C. · eˣ est sa propre intégrale (et sa propre dérivée) : ∫eˣ dx = eˣ + C.
What is ∫ (1/x) dx? · Quelle est la valeur de ∫ (1/x) dx ?
∫(1/x) dx = ln|x| + C (the power rule fails for n = −1). · ∫(1/x) dx = ln|x| + C (la règle de la puissance échoue pour n = −1).
∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. What is a? · ∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. Quelle est la valeur de a ?
The chain rule in reverse: divide by the coefficient of x inside the exponential. · La règle de composition à l'envers : diviser par le coefficient de x dans l'exponentielle.
∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Evaluate from 0 to π/6 (2 dp). · ∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Évaluez entre 0 et π/6 (arrondi à 2 décimales).
[(1/3)sin(3x)]₀^(π/6) = (1/3)sin(π/2) − 0 = 1/3 ≈ 0.33.
Integrating powers of trig functions
- To integrate a power of $\sin$/$\cos$, use an identity 恒等式 to remove the power first.
- Example: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, so $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
Intégrer des puissances de fonctions trigonométriques
- Pour intégrer une puissance de $\sin$/$\cos$, utilisez une identité 恒等式 pour éliminer la puissance d'abord.
- Exemple : $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, donc $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
The trapezium rule
- When you can't integrate exactly, estimate:
- Each strip of width $h$ is a trapezium; add their areas.
The trapezium rule: divide the area into strips, approximate each as a trapezium, and sum their areas.
La règle du trapèze
- Quand vous ne pouvez pas intégrer exactement, estimez :
- Chaque bande de largeur $h$ est un trapèze ; additionnez leurs aires.
La règle du trapèze : divisez l'aire en bandes, approchiez chacune comme un trapèze, et sommez leurs aires.
The trapezium rule estimates a definite integral when it cannot be found exactly. · La règle du trapèze permet d'estimer une intégrale définie lorsqu'elle ne peut pas être trouvée exactement.
It approximates the area as a sum of trapezium strips of width h. · Elle approxime l'aire comme une somme de bandes trapézoïdales de largeur h.
Using the trapezium rule with h = 1, estimate ∫₁³ x² dx with y-values 1, 4, 9. · En utilisant la règle du trapèze avec h = 1, estimez ∫₁³ x² dx avec les valeurs de y : 1, 4, 9.
(1/2)[1 + 9 + 2(4)] = (1/2)[10 + 8] = 9. (Exact: 26/3 ≈ 8.67.)
Worked example — trapezium rule
- Estimate $\int_1^4 x^2\,dx$ using 3 strips ($h = 1$).
- $y$-values: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- Exact value: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. The estimate is close.
- Integration is reverse differentiation; harder integrals use integration by substitution.
Exemple résolu — règle du trapèze
- Estimez $\int_1^4 x^2\,dx$ en utilisant 3 bandes ($h = 1$).
- Valeurs de $y$ : $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- Valeur exacte : $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. L'estimation est proche.
- L'intégration est une dérivation inversée ; les intégrales complexes utilisent l'intégration par substitution.
You've got it
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- remove powers of $\sin$/$\cos$ with an identity before integrating
- the trapezium rule estimates an integral as a sum of trapezium strips
Vous avez compris
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- éliminez les puissances de $\sin$/$\cos$ avec une identité avant d'intégrer
- la règle du trapèze estime une intégrale comme une somme de bandes trapézoïdales