Quadratics · Quadratiques
| English | Français |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | parabole |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | quadratique |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | compléter le carré |
| vertex/ˈvɜːteks/ | sommet |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminant |
The path of a thrown ball
- Throw a ball and it traces a parabola 抛物线 — the same curve described by every quadratic 二次式 equation.
- Galileo proved this in 1638. Today, quadratics appear in physics, economics, engineering, and optimization.
- Mastering them means you can find the peak, the roots, and the shape of any parabola.
La trajectoire d'une balle lancée
- Lancer une balle et elle trace une parabole 抛物线 — la même courbe décrite par chaque équation du second degré 二次式.
- Galilée l'a prouvé en 1638. Aujourd'hui, les quadratiques apparaissent en physique, en économie, en ingénierie et en optimisation.
- Les maîtriser signifie que vous pouvez trouver le sommet, les racines et la forme de n'importe quelle parabole.
Completing the square 配方法
- A quadratic is $ax^2 + bx + c$ (with $a \neq 0$).
- Completing the square rewrites it as $a(x+p)^2 + q$.
- This reveals the vertex 顶点 (turning point) at $(-p,\ q)$.
- Example: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vertex $(3, -4)$.
Completing the square reveals the vertex directly: $y = (x-3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$.
Worked example. Complete the square for $2x^2 + 8x + 3$: factor out $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vertex: $(-2, -5)$.
Compléter le carré 配方法
- Un quadratique est $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$).
- Compléter le carré le réécrit sous la forme $a(x+p)^2 + q$.
- Cela met en évidence le sommet 顶点 (point de retournement) à $(-p,\ q)$.
- Exemple : $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → sommet $(3, -4)$.
Compléter le carré révèle directement le sommet : $y = (x-3)^2 - 4$ a son minimum en $(3, -4)$.
Exemple résolu. Compléter le carré pour $2x^2 + 8x + 3$ : factoriser $2$ : $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Sommet : $(-2, -5)$.
Completing the square, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. What is the minimum value q? · Compléter le carré, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. Quelle est la valeur minimale q ?
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, so q = −4 (the minimum value). · (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, donc q = −4 (la valeur minimale).
Complete the square: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. What is p? · Compléter le carré : 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. Quelle est la valeur de p ?
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, so p = 2. · 2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, donc p = 2.
The discriminant 判别式
- The discriminant is $\Delta = b^2 - 4ac$. It counts the real roots:
- $b^2 - 4ac > 0$ → two distinct real roots,
- $b^2 - 4ac = 0$ → one repeated root,
- $b^2 - 4ac < 0$ → no real roots.
- The quadratic formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
The sign of the discriminant fixes how many times the parabola meets the x-axis: two roots, one, or none
The discriminant is under the square root. If $b^2 - 4ac < 0$, you'd need $\sqrt{\text{negative}}$, which has no real value — so the parabola never crosses the $x$-axis.
A suspension bridge: the main cable hangs in a parabola
Le discriminant 判别式
- Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$. Il compte les racines réelles :
- $b^2 - 4ac > 0$ → deux racines réelles distinctes,
- $b^2 - 4ac = 0$ → une racine double,
- $b^2 - 4ac < 0$ → aucune racine réelle.
- La formule quadratique : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Le signe du discriminant détermine combien de fois la parabole coupe l'axe des x : deux racines, une, ou aucune
Le discriminant est sous la racine carrée. Si $b^2 - 4ac < 0$, il faudrait faire la racine de $\sqrt{\text{negative}}$, ce qui n'a pas de valeur réelle — donc la parabole ne croise jamais l'axe $x$.
Un pont suspendu : le câble principal pend dans une parabole
Explore the parabola · Explorer la parabole
y = ax² + bx + c
Change a, b and · et c to reshape the curve — and watch the vertex · sommet, roots · racines and · et intercepts move. · Changez a, b et c pour redessiner la courbe — et regardez le sommet, racines et intercepts bouger.
For x² + 4x + 1 = 0, what is the discriminant b² − 4ac? · Pour x² + 4x + 1 = 0, quel est le discriminant b² − 4ac ?
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, so two distinct real roots). · b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, donc deux racines réelles distinctes).
If b² − 4ac < 0, the quadratic equation has: · Si b² − 4ac < 0, l'équation quadratique a :
A negative discriminant means the parabola never crosses the x-axis — no real roots. · Un discriminant négatif signifie que la parabole ne croise jamais l'axe des x — pas de racines réelles.
The equation x² + 2x + 5 = 0 has two distinct real roots. · L'équation x² + 2x + 5 = 0 a deux racines réelles distinctes.
Discriminant = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, so no real roots. · Discriminant = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, donc pas de racines réelles.
Solving quadratics
- Factorising: fastest when it works. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ or $x = 3$.
- Completing the square: always works, reveals the vertex.
- Quadratic formula: always works, use when factorising is hard.
Résoudre les quadratiques
- Factorisation : la plus rapide quand cela fonctionne. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ ou $x = 3$.
- Compléter le carré : fonctionne toujours, révèle le sommet.
- Formule quadratique : fonctionne toujours, utilisez-la lorsque la factorisation est difficile.
Solve x² − 5x + 6 = 0. What is the smaller root? · Résolvez x² − 5x + 6 = 0. Quelle est la racine la plus petite ?
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, so x = 2 or x = 3; the smaller is 2. · x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, donc x = 2 ou x = 3 ; la plus petite est 2.
Linked equations and modelling
- Quadratics model: projectile paths, profit curves, bridge arches, satellite dishes.
- The vertex gives the maximum (if $a < 0$) or minimum (if $a > 0$) value.
- Example: a profit function $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maximum at $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- You should solve quadratic equations and quadratic inequalities, and a pair of simultaneous equations (one linear, one quadratic).
Équations liées et modélisation
- Les quadratiques modélisent : les trajectoires de projectiles, les courbes de profit, les arches de ponts, les antennes paraboliques.
- Le sommet donne la valeur maximale (si $a < 0$) ou minimale (si $a > 0$).
- Exemple : une fonction de profit $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maximum en $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- Vous devez savoir résoudre des équations quadratiques et des inéquations quadratiques, ainsi qu'un système d'équations simultanées (une linéaire, une quadratique).
You've got it
- complete the square: $a(x+p)^2 + q$, vertex at $(-p, q)$
- the discriminant $b^2 - 4ac$ counts real roots (+ two, 0 one, − none)
- solve with factorising, completing the square, or the quadratic formula
- the vertex gives the maximum or minimum value of the quadratic
Vous avez compris
- compléter le carré : $a(x+p)^2 + q$, sommet en $(-p, q)$
- le discriminant $b^2 - 4ac$ compte les racines réelles (+ deux, 0 une, − aucune)
- résoudre avec factorisation, complétion du carré, ou la formule quadratique
- le sommet donne la valeur maximale ou minimale du quadratique