Summation of series · Somme de séries
| English | Français |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | sommaton |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | méthode des différences |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | téléscope |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | converger |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | somme à l'infini |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | les fractions partielles |
The sum that Gauss solved at age 10
- Young Gauss's teacher set the class the task of adding $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, expecting an hour's work. Gauss saw the pattern instantly: pair the first and last ($1 + 100 = 101$), the second and second-to-last ($2 + 99 = 101$), and so on — 50 pairs of 101 = 5050.
- Summation 求和 formulas turn long additions into simple algebra.
La somme que Gauss a résolue à 10 ans
- Le professeur de jeune Gauss a donné à la classe pour tâche d'additionner $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, s'attendant à une heure de travail. Gauss a vu le motif instantanément : assembler le premier et le dernier ($1 + 100 = 101$), le deuxième et l'avant-dernier ($2 + 99 = 101$), etc. — 50 paires de 101 = 5050.
- Les formules de sommation 求和 transforment de longues additions en algèbre simple.
Standard summation results
Worked example. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Summing 1 to n by pairing the ends: the total is n(n+1)/2
Résultats standards de sommation
Exemple résolu. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Sommation de 1 à n par appariement des extrémités : le total est n(n+1)/2
Summation of series · Somme de séries
Sₙ = Σ uₖ
Add the terms one by one — the partial sum climbs toward its limit. · Ajouter les termes un par un — la somme partielle monte vers sa limite.
Using Σr = ½n(n+1), what is the sum of the first 5 integers? · En utilisant Σr = ½n(n+1), quelle est la somme des 5 premiers entiers ?
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
Using Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), what is the sum of the first 3 squares? · En utilisant Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), quelle est la somme des 3 premiers carrés ?
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
Using Σr³ = ¼n²(n+1)², what is the sum of the first 3 cubes? · En utilisant Σr³ = ¼n²(n+1)², quelle est la somme des 3 premiers cubes ?
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Note: 36 = 6² = (1+2+3)². · ¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Remarque : 36 = 6² = (1+2+3)².
Complete the standard result: Σr (from 1 to n) = ______ n(n+1). · Compléter le résultat standard : Σr (de 1 à n) = ______ n(n+1).
The sum of the first n integers is ½n(n+1). · La somme des n premiers entiers est ½n(n+1).
Splitting sums
- Split a sum into standard pieces:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. This beautiful identity means the sum of cubes equals the square of the sum of the first $n$ integers. It's easy to verify: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Découpage des sommes
- Séparer une somme en pièces standards :
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. Cette belle identité signifie que la somme des cubes est égale au carré de la somme des premiers $n$ entiers. C'est facile à vérifier : $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) from r=1 to n = n(n+2). For n=4, find the sum. · Σ(2r+1) de r=1 à n = n(n+2). Pour n=4, trouver la somme.
4 × 6 = 24. Check: 3+5+7+9 = 24. · 4 × 6 = 24. Vérification : 3+5+7+9 = 24.
The method of differences 差分法
- If each term is $f(r) - f(r+1)$, almost everything cancels (telescopes 裂项相消).
- From the sum to $n$ terms you can see if a series converges 收敛 and find its sum to infinity 无穷和.
La méthode des différences 差分法
- Si chaque terme est $f(r) - f(r+1)$, presque tout s'annule (telescopes 裂项相消).
- À partir de la somme à $n$ termes, on peut voir si une série converge 收敛 et trouver sa somme infinie 无穷和.
In the method of differences, if each term is f(r) − f(r+1), most terms cancel (telescope). · Dans la méthode des différences, si chaque terme est f(r) − f(r+1), la plupart des termes s'annulent (télescopage).
Consecutive terms cancel, leaving only the first and last pieces. · Les termes consécutifs s'annulent, ne laissant que le premier et le dernier morceau.
Σ 1/(r(r+1)) from r=1 to ∞ telescopes to 1 − 1/(n+1). As n→∞, the sum to infinity is? · Σ 1/(r(r+1)) de r=1 à ∞ télescope vers 1 − 1/(n+1). Quand n→, la somme infinie est ?
As n→∞, 1/(n+1)→0, so the sum approaches 1. · Quand n→∞, 1/(n+1)→0, donc la somme tend vers 1.
Worked example — method of differences
- Find $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Partial fractions 部分分式: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Sum telescopes: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- As $n \to \infty$: sum to infinity $= 1$.
- A series is convergent when its sum to $n$ terms approaches a limit.
Exemple résolu — méthode des différences
- Trouver $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Fractions partielles 部分分式 : $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Somme télescopique : $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- Quand $n \to \infty$ : somme infinie $= 1$.
- Une série est convergente quand sa somme à $n$ termes tend vers une limite.
You've got it
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- split sums into standard pieces
- method of differences telescopes $f(r) - f(r+1)$
Vous avez compris
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- découper les sommes en pièces standards
- méthode des différences telescopes $f(r) - f(r+1)$