| English | Français |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | matricielle |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformation |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matrice identité |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | déterminant |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | singulier |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | invariant |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | agrandissement |
The mathematics that powers computer graphics
- Every time you rotate an image on your phone, a matrix 矩阵 multiplication is doing the work behind the scenes.
- Matrices are the language of transformations 变换 — they describe rotations, reflections, stretches, and projections in a single compact object.
Les mathématiques qui font tourner la graphisme informatique
- Chaque fois que vous faites pivoter une image sur votre téléphone, une multiplication de matrices 矩阵 fait le travail en arrière-plan.
- Les matrices sont le langage des transformations 变换 — elles décrivent rotations, réflexions, étirements et projections dans un objet compact unique.
Matrix basics
- A matrix is a rectangular block of numbers. Multiply row × column.
- The identity matrix 单位矩阵 $I$ leaves a matrix unchanged: $AI = IA = A$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Bases des matrices
- Une matrice est un bloc rectangulaire de nombres. Multiplier ligne × colonne.
- La matrice identité 单位矩阵 $I$ laisse une matrice inchangée : $AI = IA = A$.
Exemple résolu. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Matrices
(x', y') = M(x, y)
A matrix transforms the plane; its determinant is the area scale factor (negative = a flip). · Une matrice transforme le plan ; son déterminant est le facteur d'échelle d'aire (négatif = retournement).
Multiply [[1, 2], [3, 4]] by [[5], [6]]. The top entry of the result is? · Multiplier [[1, 2], [3, 4]] par [[5], [6]]. L'entrée supérieure du résultat est ?
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
Put the steps for finding the inverse of a 2x2 matrix [[a,b],[c,d]] in order. · Mettre les étapes pour trouver l'inverse d'une matrice 2x2 [[a,b],[c,d]] dans l'ordre.
The inverse is (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by det. · L'inverse est (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — échanger la diagonale, négatif hors-diagonale, diviser par det.
Determinants 行列式 and inverses 逆
- For $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: the determinant is $\det A = ad - bc$.
- If $\det A \neq 0$ (non-singular 奇异), the inverse is $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Singular matrices have no inverse. If $\det A = 0$, the matrix is singular — it squashes the plane into a line, losing information that can't be recovered.
Déterminants 行列式 et inverses 逆
- Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ : le déterminant est $\det A = ad - bc$.
- Si $\det A \neq 0$ (non singulière 奇异), l'inverse est $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Les matrices singulières n'ont pas d'inverse. Si $\det A = 0$, la matrice est singulière — elle aplatisse le plan en une droite, perdant de l'information qui ne peut être récupérée.
What is the determinant of the matrix [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)? · Quelle est le déterminant de la matrice [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc) ?
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
A 2×2 matrix has an inverse exactly when its determinant is: · Une matrice 2×2 a une inverse exactement lorsque son déterminant est :
A non-singular matrix (det ≠ 0) is invertible; det = 0 means singular (no inverse). · Une matrice non singulière (det ≠ 0) est inversible ; det = 0 signifie singulière (pas d'inverse).
For A = [[3, 1], [2, 4]] with det = 10, the top-left entry of A⁻¹ is d/det. Find it. · Pour A = [[3, 1], [2, 4]] avec det = 10, l'entrée en haut à gauche de A⁻¹ est d/det. Trouver cette valeur.
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Top-left = 4/10 = 0.4. · A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Haut-gauche = 4/10 = 0.4.
Matrices as transformations
- A $2\times2$ matrix represents a transformation of the plane; $\det A$ = the area scale factor.
A 2x2 matrix maps the unit square to a parallelogram; its determinant is the area scale factor.
- A product $AB$ means "do $B$, then $A$". Points/lines that don't move are invariant 不变.
Matrices comme transformations
- Une matrice $2\times2$ représente une transformation du plan ; $\det A$ = le facteur d'échelle d'aire.
Une matrice 2x2 mène le carré unité à un parallélogramme ; son déterminant est le facteur d'échelle d'aire.
- Un produit $AB$ signifie « faire $B$, puis $A$ ». Les points/droites qui ne bougent pas sont invariants 不变.
For a transformation matrix, the determinant gives the: · Pour une matrice de transformation, le déterminant donne le :
The determinant is the factor by which areas are scaled by the transformation. · Le déterminant est le facteur par lequel les aires sont mises à l'échelle par la transformation.
For matrices A and B, the product AB means "do B first, then A". · Pour les matrices A et B, le produit AB signifie "faire B d'abord, puis A".
Matrix multiplication is applied right to left: AB(x) = A(B(x)), so B acts first. · La multiplication matricielle s'applique de droite à gauche : AB(x) = A(B(x)), donc B agit en premier.
Common transformations
| Matrix | Transformation |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflection in $y$-axis |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotation $90°$ anticlockwise |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Enlargement 放大 scale factor $k$ |
- Know matrix addition, the zero matrix, the identity (or unit) matrix, and invariant points and invariant lines of a transformation.
Transformations courantes
| Matrice | Transformation |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflection dans l'axe $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotation $90°$ antihoraire |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Agrandissement 放大 facteur d'échelle $k$ |
- Connaître l'addition de matrices, la matrice nulle, la matrice identité (ou unité), et les points invariants et droites invariantes d'une transformation.
You've got it
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; invertible when $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- a matrix is a transformation; $\det$ = area scale factor; $AB$ = "do $B$, then $A$"
Vous avez compris
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ ; inversible quand $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- une matrice est une transformation ; $\det$ = facteur d'échelle d'aire ; $AB$ = « faire $B$, puis $A$"