3.3 · Geometry and measures

Unité 9260 OxfordAQA 3.3 (version du programme 5.1) — représentant 31.5% des notes combinées des échantillons. Les lignes Core G1–G26 couvrent les propriétés des angles, les constructions, la mesure, la similitude, la trigonométrie, les transformations, les vecteurs et les matrices ; les ajouts Extension incluent le programme complet sur les théorèmes relatifs au cercle avec démonstration, les conditions de congruence, les relevés, les formules de sphère/pyramide/cône/fruste, la similitude k-k²-k³, les secteurs, 3D Pythagore et trigonométrie, les règles du sinus/cosinus avec ½ab sinC, les transformations combinées avec facteurs d'échelle fractionnaires/négatifs, la géométrie vectorielle, et le programme matriciel 2×2 (identité, transformations du carré unité, combinaisons). L'échantillon 1E est l'épreuve de géométrie ; les lignes non prélevées sont identifiées comme des originaux du programme.

Connaissances indispensables pour l'unité 3.3 (pas de fiche de formules autorisée) :

Terminologie conventionnelle : points, droites, sommets, arêtes, plans ; parallèle, perpendiculaire ; polygones et polygones réguliers ; la convention standard de désignation des triangles. Faits sur les angles : autour d'un point (360°), sur une ligne (180°), verticalement opposés ; les lignes parallèles produisent alternes, correspondantes et co-intérieures (utiliser ces noms dans les justifications, jamais « angles Z ») ; somme du triangle 180° avec les isosceles, équilatéraux et scalènes. Sommes des polygones : intérieur $(n-2) \times 180°$, extérieure $360°$ ; pour les polygones réguliers, l'angle au centre aussi $= \tfrac{360°} {n}$. Les quadrilatères particuliers (carré, rectangle, parallélogramme, trapèze, cerf-volant, losange) portent leurs propriétés de côté/angle/diagonale, et les formes 2D ont réflexion et rotation symétrie compte (un hexagone régulier : 6 lignes, ordre 6).

Congruence avec les conditions d'extension pour les triangles — SSS, SAS, ASA, RHS — chacune justifiée par quelles trois mesures indépendantes fixent un triangle. Similitude met à l'échelle les longueurs par $k$ : (Extension) aires par $k^2$, volumes par $k^3$, dans toutes les directions.

Le programme d'extension sur le cercle : l'angle au centre est double de l'angle à la circonférence ; l'angle du demi-cercle est 90° ; les angles dans le même segment sont égaux ; les angles opposés d'un quadrilatère cyclique s'additionnent à 180° ; tangente $\perp$ rayon ; tangentes depuis un point extérieur sont égales ; la perpendiculaire depuis le centre bisecte une corde ; le théorème du segment alternatif. La chaîne vérifiée : un angle à la circonférence de 35° sous-tend le même arc qu'un angle central de 70°, et l'angle angle sous l’arc OPPOSÉ est $\tfrac12(360° - 70°) = 145°$ — les deux angles inscrits sont des angles opposés d’un quadrilatère cyclique ($35° + 145° = 180°$) — tout le nom de son théorème (la question sur le cercle de l'échantillon 1E comporte des réponses de cette famille ; la demande de démonstration géométrique de G9).

Faces, surfaces, arêtes et sommets des cubes, parallélépipèdes, prismes, cylindres, pyramides, cônes et sphères ; plans et élévations (vues de face, de profil, de dessus — une ligne de spécification non échantillonnée par les specimens). Mesurer des segments et des angles ; dessins à l'échelle avec des facteurs d'échelle ; orientations : trois chiffres, dans le sens horaire à partir du nord (l’Extension inclut les huit points cardinaux) — la 2E du spécimen 252° provient d'une chaîne d'orientations : un cap retour plus un angle en un point.

Exemple résolu : un angle à partir de deux capteurs. $B$ est sur un capteur de 070° par rapport à $A$, et $C$ est sur un capteur de 160° par rapport à $B$. Trouver l'angle $ABC$. Le capteur de $A$ DE $B$ est le capteur retour $070° + 180° = 250°$. À $B$, la direction vers $A$ est 250° et la direction vers $C$ est 160°, donc l'angle $ABC = 250° - 160° = 90°$. Tracer une ligne nord à CHAQUE point à partir duquel on travaille ; les capteurs se mesurent au point nommé après « de ».

Constructions à la règle et au compas : médiatrice d'un segment, perpendiculaire à une droite passant par/un point, bissectrice, angle 60° — utilisé pour construire des figures et résoudre des problèmes de lieux géométriques ; la distance perpendiculaire d'un point à une droite est la plus courte. Laisser tous les arcs visibles : les arcs constituent le travail.

Unités standard avec conversions (temps 12/24-heure ; longueur, aire, volume/capacité, masse ; unités composées vitesse et densité). Aires : triangle $\tfrac12 bh$, parallélogramme $bh$, trapèze $\tfrac12(a+b)h$ ; volume par $V = Ah$ (section section transversale). Le cercle : $2\pi r$, $\pi r^2$ ; (Extension) secteurs arc $\tfrac\theta{360} \times 2\pi r$ et aire $\tfrac\theta{360} \times \pi r^2$, plus formules de surface et de volume pour sphère/pyramide/cône et solides composites incluant des frustums (lignes de spécification, plusieurs non échantillonnés) — une pyramide de $r = 5$, $h = 12$ a un côté incliné 13, $V = 100\pi$ et une surface courbe $65\pi$ ; la pyramide 1E problème du cône d'échantillon trouve une proportion $p = 15$.

Exemple résolu : un secteur. Un secteur a un rayon de 6 cm et un angle de 150°. L'arc mesure $\tfrac{150}{360} \times 2\pi \times 6 = 5\pi = 15.7$ cm, donc le périmètre est $5\pi + 6 + 6 = 27.7$ cm (les deux rayons comptent). L'aire est $\tfrac{150}{360} \times \pi \times 6^2 = 15\pi = 47.1\ \text{cm}^2$. Figures semblables (Extension) : longueurs $k$ : aires $k^2$ : volumes $k^3$ — les solides semblables du spécimen 2E donnent 864 cm³ à partir d'un rapport de volumes.

$a^2 + b^2 = c^2$ avec SOH CAH TOA dans les triangles rectangles — toujours 2D, 3D figures en Extension : extraire d'abord le triangle rectangle (la trigonométrie 3D du spécimen 1E donne 62.7°). La loi des sinus $\dfrac a{\sin A} = \dfrac b{\sin B}$ et la loi des cosinus $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ couvrent tout triangle (Extension), avec Aire $= \tfrac12 ab\sin C$ réversible — la loi des cosinus du spécimen 2E donne 102.6°, et $\cos x = \tfrac8{11}$ produit $x = 43.3°$.

Exemple résolu : famille des règles du cosinus 2E, adaptée. Un triangle a $a = 9$, $b = 11$ and angle $C = 72°$. $c^2 = 81 + 121 - 2(9)(11)\cos 72° = 202 - 198 \times 0.309 = 202 - 61.2 = 140.8$, so $c = 11.9$ (3 ch.s.). Ensuite, le plus petit angle se trouve opposite the shortest side: $\cos A = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \tfrac{121 + 140.8 - 81}{2 \times 11 \times 11.87} = \tfrac{180.8}{261.1} = 0.693$, donc $A = 46.2°$ (en gardant $c$ sans arrondir) — vérifier $A + B + C = 180°$ avec $B = 61.8°$. ✓

Rotations uniques, réflexions, translations (par un vecteur) et agrandissements (facteur positif) — avec les propriétés préservées nommées ; les ajouts de l'extension couvrent les transformations combinées et les agrandissements par des facteurs fractionnaires et négatifs de mise à l'échelle (une image inversée, réduite du côté opposé au centre). Vecteurs : notation, somme, différence et multiples scalaires (graphiquement et par composantes), les lois commutative et associative, et simple (graphiquement et par composantes), les lois commutative et associative, et simples 2D géométrie — le spécimen 2E démontre $CB \parallel MN$ via un rapport $\tfrac12$ en utilisant des vecteurs.

Le programme matrice 2×2 (Prolongement) : multiplication (2×2 par 2×2, par 2×1, scalaire), la matrice identité $I$ ; transformations du CARRE UNITAIRE — rotations de 90°/180°/270° autour de l'origine, réflexions dans $x = 0$, $y = 0$, telles que $y = x$ (réflexion dans $y = -x$, telles que $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ (réflexion dans $y = -x$, la matrice du spécimen 1E) ; transformations combinées par multiplication matricielle, dans l'ordre d'application des transformations.

Exemple résolu : transformation combinée. Reflect in $y = x$, matrice $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, puis rotate 90° dans le sens antihoraire autour de l'origine, matrice $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. La PREMIÈRE transformation est à la DROITE :

qui est une réflexion dans l'axe $y$ ($x = 0$). Vérification avec un point : $(2, 1)$ se reflète en $(1, 2)$, qui se rotates en $(-2, 1)$, et la réflexion dans l'axe $y$ envoie aussi $(2, 1)$ vers $(-2, 1)$. ✓ Multiplier dans l'autre ordre donne $\mathbf{M}\mathbf{R}$, une réflexion dans l'axe $x$ : l'ordre compte.

Exemple résolu : famille de résolution matricielle 1E, adaptée. Résoudre $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$ : les équations sont $3x + y = 10$ et $x + 2y = 5$. De la première, $y = 10 - 3x$ ; en substituant : $x + 2(10 - 3x) = 5$, donc $-5x = -15$, donnant $x = 3$ et $y = 1$. Vérification : $3(3) + 1 = 10$. ✓ The 1E specimen's own pairs $(6, -\tfrac12)$ and $(-2, -\tfrac52)$ viennent de la même méthode sur un second système lié.

• Termes conventionnels et notation triangulaire ; propriétés des angles ; angles de droites parallèles ; sommes intérieures/extérieures/centrales des polygones ; propriétés des quadrilatères ; décomptes de symétrie (G1–G6).
• Congruence par CCC/CAC/AAC/CHC ; similitude avec les rapports k, k², k³ (G7, G17, Extension).
• Vocabulaire circulaire et banque complète de théorèmes avec justifications de type preuve (G8–G9, Extension ; chaîne vérifiée 35° → 70° → 145°).
• Propriétés des formes en 3D ; plans et élévations (non échantillonnés) ; mesures, facteurs d'échelle, caps (G10–G12).
• Constructions (quatre types à la règle et au compas) avec lieux géométriques ; propriété de distance minimale (G13).
• Unités et mesures composées ; formules d'aire et V = Ah ; formules circulaires ; secteurs ; surfaces et volumes de sphère/pyramide/cône/fruste ; formes composites (G14–G16, Extension).
• Pythagore et trigonométrie en 2D et 3D ; lois du sinus/cosinus et ½ab sinC (G19–G20, Extension ; 1E 62.7°, 2E 102.6° et cos x = 8/11).
• Transformations incluant les agrandissements combinés, fractionnaires et négatifs (G21, Extension).
• Notation vectorielle et géométrie (G22 ; preuve 2E CB ∥ MN).
• Multiplication matricielle, identité, transformations de carré unité et combinaisons (G23–G26, Extension ; matrices 1E).

Notes aux limites : aucune feuille de formules dans 9260. Les lignes marquées « non échantillonnées » (plans et élévations, parties du programme des solides) sont des extraits officiels ; les spécimens concernent uniquement le niveau Extension. Les exemples corrigés sont adaptés du couple spécimen ou de l'original de 2016. échantillon ou spécimen original.