Integrals, area and accumulation · Extension · Intégrales, aire et accumulation · Prolongement
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitive |
How much change has accumulated?
- A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
- This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.
Combien de changement s'est accumulé ?
- Un graphique de vitesse nous donne le mouvement à un instant donné. Comment pouvons-nous récupérer le déplacement accumulé au fil du temps ?
- Cette leçon étudie l'antidérivée : une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée.
Choose the mathematical structure
- Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power. Include a constant for an indefinite integral. Evaluate a definite integral by subtracting antiderivative values at the limits.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Intégrer des termes polynomiaux en augmentant la puissance de un et en divisant par la nouvelle puissance. Inclure une constante pour une intégrale indéfinie. Évaluer une intégrale définie en soustrayant les valeurs des primitives aux bornes.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines antiderivative? · Quelle description définit correctement une primitive ?
A function whose derivative equals the given integrand. · Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donné.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour v(t)=3t²-3 sur 0≤t≤2, le déplacement=[t³-3t]_0^2=2. Puisque v change de signe en t=1, la distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Les constantes s'annulent uniquement pour une intégrale définie.
Integrals, area and accumulation · Intégrales, aire et accumulation
Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power · Intégrer les termes polynomiaux en augmentant la puissance d'un et en divisant par la nouvelle puissance
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
Find the integral of 3x² from 0 to 2. · Trouver l'intégrale de 3x² entre 0 et 2.
An antiderivative is x³. Subtract its values: 2³-0³=8. · Une primitive est x³. Soustraire ses valeurs : 2³-0³=8.
Test a tempting shortcut
- Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Utilisez les bornes dans l'ordre spécifié. La constante s'annule pour une intégrale définie mais est nécessaire pour une intégrale indéfinie. L'aire totale positive peut nécessiter un découpage au passage à l'axe.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Une intégrale définie est toujours égale à l'aire positive totale, même lorsque la courbe traverse l'axe. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
For v=3t²-3, find displacement from t=0 to 2. · Pour v=3t²-3, trouver le déplacement de t=0 à 2.
Displacement=[t³-3t] from 0 to 2=8-6=2. · Déplacement=[t³-3t] entre 0 et 2=8-6=2.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. · Une intégrale définie ne représente pas toujours l'aire totale positive, même lorsque la courbe traverse l'axe.
Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing. · Utilisez les limites dans l'ordre spécifié. La constante s'annule pour une intégrale définie, mais est nécessaire pour une intégrale indéfinie. L'aire totale positive peut nécessiter une décomposition au niveau d'une intersection avec un axe.
Interpret a new situation
- This 9260 Extension lesson uses polynomial integration and area. Logarithmic integrals, substitution, parts and differential equations are outside its scope.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Cette 9260 Extension utilise l'intégration polynomiale et l'aire. Les intégrales logarithmiques, la substitution, les parties et les équations différentielles sont hors de son champ d'application.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For that motion, find total distance from t=0 to 2. · Pour ce mouvement, trouver la distance totale de t=0 à 2.
Velocity changes sign at t=1. The two positive distances are 2 and 4, giving 6. · La vitesse change de signe en t=1. Les deux distances positives sont 2 et 4, donnant 6.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- 9260 · Extension · 3.3. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- 9260 · Extension · 3.3. Associez le niveau cible et la spécification avant d'attribuer des extensions.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.