4 · Statistiques et probabilités

Cette fiche couvre les sujets HL sélectionnés pour le cours dont la première évaluation a eu lieu en 2021 ; elle ne constitue pas l'intégralité du programme.

Prérequis : lire les quantités et unités indiquées, puis utiliser l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous.

Les exemples sont originaux et fictifs : ils ne correspondent ni à de vraies mesures ni à de véritables enquêtes d'étudiants.

Une moyenne peut-elle tout raconter ?

• Deux groupes ont la même médiane mais une dispersion différente. Un seul résumé ne peut décrire à la fois la localisation et la régularité.
• Cette leçon étudie la densité de fréquence : Fréquence divisée par l'intervalle de classe, utilisée comme hauteur de l'histogramme.

La méthode

• Comparez une moyenne appropriée et une dispersion dans leur contexte.
• Un histogramme utilise l'aire pour la fréquence, donc hauteur = fréquence / amplitude de classe.
• Les estimations groupées supposent des valeurs représentatives au sein des intervalles.

Cas résolu

Exemple :

Une classe de 10 à 20 avec une fréquence 30 a une densité 30/10=3. Une classe de 20 à 40 avec une fréquence 20 a une densité 20/20=1. Sa barre plus large ne doit pas être confondue avec une densité plus grande. Pour les valeurs 2,4,4,6,9, la médiane est 4 et la moyenne est 5.

Où cela échoue

• La barre la plus haute d'un histogramme ne contient pas nécessairement le plus grand nombre d'observations.
• Une moyenne groupée est une estimation.
• La corrélation ne prouve pas la causalité, et l'extrapolation s'étend au-delà de la plage observée.

Faux : La hauteur d'une barre d'histogramme ne correspond pas toujours à sa fréquence, même avec des classes inégales. Avec des classes inégales, la hauteur est la densité de fréquence ; la fréquence est l'aire de la barre.

Application

• Choisissez une représentation adaptée au type de données.
• Fournissez à la fois une comparaison numérique et son interprétation pour la population ; n'inférez pas plus de précision que l'échantillon ne le permet.

Dans votre cours

• Applications et Interprétation HL, premier examen en 2021.
• Chaque épreuve autorise l'utilisation d'une calculatrice, mais les points de méthode nécessitent tout de même l'expression ou l'équation écrite avant sa valeur numérique.

Clé :

• Densité de fréquence : Fréquence divisée par la largeur de classe, utilisée comme hauteur d'histogramme.
• Comparez une moyenne appropriée et une dispersion dans leur contexte.
• Attention : la barre d'histogramme la plus haute ne contient pas nécessairement le plus grand nombre d'observations.

Écrire à partir d'une moyenne de 9

• Une classe de largeur 2 a une effectif 22.
• Les valeurs 5, 8, 8, 11 et 13 ont une moyenne et une médiane. La hauteur d'une barre n'est pas toujours l'effectif.

Qu'est-ce qui change après le premier tirage ?

• Un sac contient 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. Tirer deux jetons sans remise modifie la probabilité d'obtenir la deuxième couleur.
• Cette leçon étudie la probabilité conditionnelle : la probabilité d'un événement après avoir restreint l'espace échantillonnal à une condition donnée.

La méthode

• Multipliez le long d'une branche d'arbre et additionnez les branches disjointes.
• Avec remise, la composition reste fixe.
• La probabilité conditionnelle est P(A sachant B)=P(A∩B)/P(B), pour P(B)>0.

Cas résolu

Exemple :

Sans remise, P(deux rouges)=3/5×2/4=3/10. P(un de chaque)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Si P(A∩B)=0.12 et P(B)=0.3, P(A sachant B)=0.4.

Où cela échoue

• Mutuellement exclusif signifie sans chevauchement ; indépendant signifie que connaître un événement ne modifie pas la probabilité de l'autre.
• Deux événements disjoints à probabilité positive ne sont pas indépendants.

Faux : Des événements mutuellement exclusifs de probabilité positive doivent être indépendants. Des événements mutuellement exclusifs de probabilité positive sont dépendants : si l'un se produit, l'autre ne peut pas, donc P(A et B)=0≠P(A)P(B).

Application

• Un tableau à double entrée rend le dénominateur restreint visible.
• Avant d'utiliser un produit P(A)P(B), justifiez l'indépendance à partir du contexte ou des informations fournies.

Dans votre cours

• Applications et Interprétation HL, premier examen en 2021.
• Chaque épreuve autorise l'utilisation d'une calculatrice, mais les points de méthode nécessitent tout de même l'expression ou l'équation écrite avant sa valeur numérique.

Clé :

• Probabilité conditionnelle : La probabilité d'un événement après avoir restreint l'espace échantillonnal à une condition spécifiée.
• Multipliez le long d'une branche d'arbre et additionnez les branches disjointes.
• Attention : mutuellement exclusif signifie sans chevauchement ; indépendant signifie que connaître un événement ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Écrire à partir d'une probabilité conditionnelle de 0.72

• P(A et B) est 0.36 et P(B) est 0.50.
• Trouver P(A sachant B). Les événements mutuellement exclusifs qui peuvent se produire ne sont pas indépendants.

Qu'est-ce qui rend un dénombrement prévisible ?

• Un inspecteur de qualité compte les articles défectueux. Le nombre est aléatoire, mais un modèle peut décrire sa fourchette probable.
• Cette leçon étudie la valeur espérée : la moyenne pondérée par la probabilité d'une variable aléatoire.

La méthode

• Un modèle binomial nécessite n fixe, des essais indépendants, deux issues et une probabilité p constante.
• E(X)=np et Var(X)=np(1-p).
• Pour un modèle normal, utilisez z=(x-μ)/σ.
• Un modèle de Poisson décrit des comptes avec un taux constant et des hypothèses d'indépendance appropriées.

Cas résolu

Exemple :

Pour X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 et Var(X)=0.8. Pour une grandeur normale avec μ=100, σ=15, la valeur 130 a z=2. Une moyenne de Poisson de 3 par heure donne une moyenne de 6 sur deux heures.

Où cela échoue

• Pas tous les comptes sont binomiaux : modifier p ou introduire une dépendance peut l'invalider.
• Pour une variable continue, la probabilité d'une valeur exacte est zéro.
• La correction de continuité est importante lors de l'approximation d'une distribution discrète par une normale.

Faux : Tout comptage de succès suit une loi binomiale quelle que soit la dépendance. Le modèle binomial exige des essais indépendants avec une probabilité fixe ; des essais dépendants l'invalident.

Application

• Écrivez l'événement sous forme d'inégalité avant d'utiliser les fonctions de distribution de la calculatrice.
• Distinuez P(X<k), P(X≤k) et un complément de queue.
• Énoncez les hypothèses dans le contexte.

Dans votre cours

• Applications et Interprétation HL, premier examen en 2021.

Clé :

• Valeur attendue : La moyenne pondérée par la probabilité d'une variable aléatoire.
• Un modèle binomial nécessite n fixe, des essais indépendants, deux issues et une probabilité p constante.
• Surveiller : tous les comptes ne sont pas binomiaux ; un changement de p ou une dépendance peut invalider ce modèle.

Écrire à partir d'un score z de 5

• Une valeur 100 provient d'une distribution avec une moyenne 85 et un écart-type 3.
• Trouver le score z. Un décompte binomial nécessite des essais indépendants.

Le hasard pourrait-il expliquer le résultat ?

• Une usine affirme que seulement 10% de ses articles sont défectueux. Un échantillon contient plus de défauts, mais le seul hasard peut expliquer certaines différences.
• Cette leçon étudie le niveau de significativité : le seuil de probabilité choisi pour rejeter une hypothèse nulle.

La méthode

• Énoncer H₀ et H₁ en termes de paramètres de population avant d'examiner le résultat.
• Calculer la probabilité de la queue appropriée sous H₀.
• Rejeter H₀ lorsque l'évidence satisfait à la règle de signification spécifiée ; sinon, affirmer qu'il n'y a pas assez d'évidence.

Cas résolu

Exemple :

Pour H₀:p=0.1 et H₁:p>0.1 avec n=10, observer au moins 3 défauts a pour probabilité 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. À 5%, il s'agit d'un manque de preuves suffisantes pour affirmer que le taux de défauts dépasse 10%.

Où cela échoue

• Ne pas rejeter H₀ ne constitue pas une preuve que H₀ est vraie.
• Choisir la queue basée sur H₁, et non celle qui donne simplement un petit résultat.
• La signification statistique ne mesure pas l'ampleur pratique d'un effet.

Pas vrai : Ne pas rejeter une hypothèse nulle prouve qu'elle est vraie. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle signifie seulement qu'il n'y a pas assez d'évidence contre elle.

Application

• Terminer par une phrase concernant la population et la réclamation initiale.
• Énoncer les hypothèses du modèle et vérifier si la procédure d'échantillonnage les soutient.

Dans votre cours

• Applications et Interprétation HL, premier examen en 2021.
• Chaque épreuve autorise l'utilisation d'une calculatrice, mais les points de méthode nécessitent tout de même l'expression ou l'équation écrite avant sa valeur numérique.

Clé :

• Niveau de signification : Le seuil de probabilité choisi pour rejeter une hypothèse nulle.
• Énoncer H₀ et H₁ en termes de paramètres de population avant d'examiner le résultat.
• Surveiller : ne pas rejeter H₀ ne constitue pas une preuve que H₀ est vraie.

Écrire à partir d'une valeur p de 0.12

• Une valeur p à un seul côté est 0.12 et le seuil de signification est de 5 pour cent.
• Décider si l'on rejette l'hypothèse nulle. Ne pas rejeter ne prouve pas qu'elle est vraie.

À quel point la moyenne de l'échantillon est-elle incertaine ?

• Deux échantillons donnent des moyennes différentes. Nous avons besoin d'une déclaration sur l'incertitude d'échantillonnage, pas d'une garantie qu'un échantillon correspond à la population.
• Cette leçon étudie l'intervalle de confiance : un intervalle calculé par une procédure conçue pour couvrir le paramètre de population à un taux de long terme spécifié.

La méthode

• Pour une normale avec moyenne connue σ, un intervalle de 95% correspond à la moyenne de l'échantillon ±1.96σ/√n.
• Pour le khi-deux, somme (observé-attendu)²/attendu avec les bons degrés de liberté.
• Choisissez un test adapté aux données et aux hypothèses.

Cas résolu

Exemple :

Avec moyenne=50, σ=10, n=100, erreur standard=1 et l'intervalle de 95% est [48.04,51.96]. Pour les effectifs observés 30 et 20 contre les effectifs attendus 25 et 25, khi-deux=25/25+25/25=2, avant de déterminer les degrés de liberté et le seuil de rejet.

Où cela échoue

• Une procédure de confiance de 95% ne donne pas une probabilité de 95% qu'une moyenne de population fixe se trouve dans cet intervalle unique.
• Les effectifs attendus et les paramètres estimés affectent la validité et les degrés de liberté des tests du khi-deux.

Pas vrai : Une forte corrélation seule n'établit pas une relation de causalité. La corrélation montre une association ; une troisième variable ou le hasard peuvent l'expliquer, donc la causalité nécessite une expérience ou d'autres preuves.

Application

• Exprimer l'incertitude dans le contexte.
• En régression, examiner les résidus, éviter toute extrapolation injustifiée et distinguer une relation ajustée d'une explication causale.
• S3 et IB AI HL exigent des limites de portée vérifiées différentes.

Dans votre cours

• Applications et Interprétation HL, premier examen en 2021.
• Chaque épreuve autorise l'utilisation d'une calculatrice, mais les points de méthode nécessitent tout de même l'expression ou l'équation écrite avant sa valeur numérique.

Clé :

• Intervalle de confiance : Un intervalle calculé par une procédure conçue pour couvrir le paramètre de population à un taux de long terme spécifié.
• Pour une normale avec moyenne connue σ, un intervalle de 95% correspond à la moyenne de l'échantillon ±1.96σ/√n.
• Attention : Une procédure de confiance à 95% ne donne pas une probabilité de 95% qu'une moyenne de population fixe se trouve dans cet intervalle unique.

Écrire à partir d'une valeur du khi-deux de 6

• Les effectifs observés sont 18 et 6. Les effectifs attendus sont 12 et 12.
• Calculez la statistique du khi-deux. Une forte corrélation ne prouve pas une relation de causalité.