5 · Calcul

Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Qu'est-ce que la pente en un point ?

• Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
• Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.

Choisir la structure mathématique

• Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.

Tester un raccourci séduisant

• Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Quelle fiabilité pour une approximation ?

• Une équation non linéaire n'a pas de solution exacte commode. Une approximation nécessite tout de même des preuves de sa fiabilité.
• Cette leçon étudie l'itération : une mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente.

Choisir la structure mathématique

• Une fonction continue prenant des signes opposés aux deux extrémités possède une racine entre elles. La méthode de Newton utilise x_next=x-f(x)/f'(x), avec une dérivée non nulle. La règle des trapèzes approxime une intégrale définie en utilisant les hauteurs aux extrémités.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour f(x)=x²-2 et x₀=1.5, Newton donne x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Avec y=x² sur [0,2] et deux bandes égales, h=1 et aire trapèze=(1/2)(0+2×1+4)=3 ; l'aire exacte est 8/3.

Tester un raccourci séduisant

• Un changement de signe à travers une discontinuité ne prouve pas l'existence d'une racine. L'itération peut diverger ou former un cycle. La surestimation ou la sous-estimation par la règle des trapèzes dépend de la courbure, et non uniquement du fait que la fonction soit croissante.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Chaque changement de signe prouve l'existence d'une racine, y compris lors d'une discontinuité. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Donnez un critère d'arrêt et rapportez une précision raisonnable. Confirmez la racine approchée par un encadrement de signes autour de la réponse arrondie indiquée ; expliquez tout échec de l'itération choisie.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

L'expression intérieure change-t-elle aussi ?

• Une courbe de coût est une puissance d'une expression variable. Dériver uniquement la puissance extérieure omet le taux de variation de son entrée.
• Cette leçon étudie la règle de chaîne : la règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée.

Choisir la structure mathématique

• Pour y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Pour uv, dérivez vers u prime v+uv prime. Pour u/v, utilisez (u prime v-uv prime)/v², où v≠0.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pente est 12. Pour x²+y²=25, dérivez implicitement : 2x+2y y prime=0, donc y prime=-x/y lorsque y≠0.

Tester un raccourci séduisant

• La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Dans la dérivation implicite, chaque fonction dérivée de y apporte un facteur dy/dx. Le dénominateur d'un quotient est au carré.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

La dérivée de u(x)v(x) est toujours u prime fois v prime. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Choisissez une forme utile avant de dériver : développer un court polynôme peut être plus simple. Pour les taux liés, écrivez la relation en symboles, dérivez par rapport au temps, puis substituez les valeurs mesurées.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

La règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Peut-on intégrer les deux facteurs séparément ?

• Un produit apparemment simple comme xe^x ne peut pas être intégré en intégrant séparément chaque facteur.
• Cette leçon étudie l'intégration par parties : une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit.

Choisir la structure mathématique

• Utilisez la substitution lorsqu'une dérivée interne apparaît comme facteur. Par parties, intégrale u v prime =uv-intégrale u prime v. Pour une fonction rationnelle, effectuez la division d'abord si nécessaire, puis décomposez en fractions partielles.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour l'intégrale de xe^x dx, prenez u=x et v prime=e^x. Ensuite, l'intégrale est xe^x-e^x+C. Pour l'intégrale de 2x/(x²+1) dx, substituez w=x²+1, dw=2x dx ; la réponse est ln(x²+1)+C.

Tester un raccourci séduisant

• Bien choisir u et v prime est essentiel : l'intégrale restante devrait devenir plus simple. Dans une substitution définie, modifiez soit les bornes, soit revenez à x avant d'appliquer les bornes originales.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

L'intégrale d'un produit est égale au produit de ses intégrales séparées. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Vérifier par dérivation. Pour les volumes de révolution autour de l'axe des x, utilisez V=π ∫ y² dx ; ne pas confondre le carré d'une fonction avec l'intégrale de cette fonction.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.

Que décide la valeur initiale ?

• Le taux de croissance d'une population est proportionnel à sa taille actuelle. L'équation du taux décrit une famille entière jusqu'à ce qu'une population initiale soit spécifiée.
• Cette leçon étudie la condition initiale : une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille de solutions.

Choisir la structure mathématique

• Pour dy/dx=ky, séparez les variables : dy/y=k dx, ce qui donne y=Ae^(kx). Utilisez une condition initiale pour trouver A. La méthode d'Euler utilise y_next=y+h f(x,y), avec un pas h choisi.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Avec dy/dx=0.5y et y(0)=2, on a y=2e^(0.5x). Euler avec h=0.2 donne y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 et y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. La deuxième valeur exacte est d'environ 2.4428.

Tester un raccourci séduisant

• Une condition initiale détermine la constante d'intégration ; elle ne remplace pas l'intégration. Diviser par y peut omettre une solution d'équilibre y=0. La précision d'Euler dépend de la taille du pas et de l'équation.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Chaque taille de pas donne exactement la même approximation d'Euler. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Pour les équations linéaires du second ordre, combiner la fonction complémentaire avec une intégrale particulière appropriée, puis appliquer les conditions initiales requises. Il s'agit d'un contenu de Further Pure ; vérifier l'unité nommée.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.