1 · Nombres et algèbre

Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Peut-on empaqueter sans reste ?

• Un fournisseur emballe 72 crayons et 90 stylos dans des sacs-cadeaux identiques. Comment éviter les restes ?
• Cette leçon étudie le facteur premier : un nombre premier qui divise exactement un entier.

Choisir la structure mathématique

• Les facteurs premiers révèlent une structure commune. Utilisez les plus petites puissances communes pour le PGCD et les plus grandes pour le PPCM. Estimez avant de calculer ; utilisez des parenthèses pour préserver l'ordre des opérations.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

72=2^3×3^2 et 90=2×3^2×5. Leur PGCD est 2×9=18. Préparez 18 sacs avec 4 crayons et 5 stylos chacun. Leur PPCM est 2^3×3^2×5=360.

Tester un raccourci séduisant

• Le PGCD divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux. Ils répondent à des questions différentes. Une estimation décimale n'est pas une fraction exacte.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Le PGCD de deux entiers positifs est toujours supérieur à l'un ou l'autre entier. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Pour une épreuve sans calculatrice, conservez les fractions exactes et montrez la simplification. Pour une épreuve avec calculatrice, saisissez l'expression complète et comparez-la avec votre estimation.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Un nombre premier qui divise l'entier exactement. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Peut-on retrouver le prix initial ?

• Un manteau est réduit de 20% à ¥240. La réduction s'applique au prix initial, pas au prix de vente.
• Cette leçon étudie le multiplicateur : un facteur qui effectue une variation en pourcentage en une seule multiplication.

Choisir la structure mathématique

• Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100. Inverser un pourcentage consiste à diviser par le multiplicateur. Dans un ratio, trouver d'abord le nombre total de parts.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Soit P le prix initial. Le modèle est : prix de vente=0.8P. Donc P=240/0.8=300. Une augmentation ultérieure de 20% donne 240×1.2=288, donc les deux changements ne s'annulent pas.

Tester un raccourci séduisant

• Un pourcentage utilise une base spécifiée. Soustraire les pourcentages fait perdre cette base. Pour un changement composé, multiplier les multiplicateurs ; ne pas additionner les pourcentages.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Une diminution de 20% suivie d'une augmentation de 20% restaure le prix initial. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Pour la proportion directe utiliser y=kx ; pour la proportion inverse utiliser y=k/x. Calculer k à partir d'une paire connue avant d'utiliser une nouvelle valeur. Indiquer ce que vous avez maintenu constant.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Un facteur qui effectue une variation pourcentuelle par une seule multiplication. Choisir la relation, exposer la méthode, vérifier ses hypothèses et interpréter le résultat.

La variation ajoute-t-elle ou multiplie-t-elle ?

• Un plan d'épargne ajoute ¥30 chaque semaine ; un modèle de population croît de 5% chaque année. Des différences égales et des rapports égaux nécessitent des modèles différents.
• Cette leçon étudie le taux commun : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.

Choisir la structure mathématique

• Pour une progression arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Pour une progression géométrique, u_n=ar^(n-1) et S_n=a(1-r^n)/(1-r). Une somme géométrique infinie n'existe que si |r|<1.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour a=5, d=3, n=8, on a u_8=5+7×3=26 et S_8=8(10+21)/2=124. Pour a=12, r=1/2, la somme à l'infini est 12/(1-1/2)=24. Pour u_(n+1)=2u_n+1 avec u_1=1, les termes suivants sont 3,7,15.

Tester un raccourci séduisant

• Le premier terme a pour indice 1, donc l'exposant est n-1. Une suite est une liste ; une série est une somme. Une suite géométrique peut alterner en signe tout en convergeant.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Toute série géométrique admet une somme finie à l'infini. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Expliquez si le contexte justifie un changement additif ou multiplicatif. En finance, distinguez un dépôt unique d'un flux de dépôts avant de choisir une formule de somme.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

La prédiction est-elle soutenue par les données ?

• Une droite prédit le temps de trajet en bus selon la distance. Une petite erreur de calcul importe moins que l'utilisation d'un modèle hors de son domaine de validité.
• Cette leçon étudie le résidu : La valeur observée moins la valeur prédite par un modèle ajusté.

Choisir la structure mathématique

• Un modèle linéaire y=a+bx a une ordonnée à l'origine a et une pente b avec des unités contextuelles. Inspectez les résidus et la plage de données. Pour une variation pourcentuelle répétée, utilisez un modèle géométrique ; pour un prêt, distinguez le capital, le taux, le remboursement et la période.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Le modèle ajusté t=8+2d prédit 18 minutes à d=5 km. Si le temps observé est 21, le résidu est 3 minutes. Un dépôt de ¥1000 à un taux d'intérêt composé annuel de 5% devient 1000×1.05³=1157.625 après 3 ans.

Tester un raccourci séduisant

• Une bonne adéquation ne prouve pas un mécanisme causal. Un coefficient de corrélation mesure une association linéaire, pas la pente. La sortie d'une calculatrice doit être traduite en modèle, vérifiée et interprétée.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Une forte corrélation permet une extrapolation fiable sur n'importe quelle distance. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• En IB AI, notez la source des données, le domaine, les hypothèses et la méthode de calculatrice. Comparez un modèle alternatif et jugez les prédictions par rapport aux résidus. Une réponse financière doit préciser le moment du paiement et si l'intérêt est capitalisé.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

La valeur observée moins la valeur prédite par un modèle ajusté. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Où vont les vecteurs de base ?

• Une carte étire une direction et cisaille une autre. Une matrice enregistre la transformation de chaque vecteur de base.
• Cette leçon étudie le déterminant : Un scalaire qui détermine si une matrice carrée est inversible et, en deux dimensions, son facteur d'aire orienté.

Choisir la structure mathématique

• Une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] a pour déterminant ad-bc et pour inverse [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) si le déterminant est non nul. Transformez les vecteurs colonnes par multiplication à gauche. Dans un produit, la matrice la plus à droite agit en premier.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). Son inverse est [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. L'équation caractéristique est (2-λ)(3-λ)=0, donc les valeurs propres sont 2 et 3.

Tester un raccourci séduisant

• La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative. Un déterminant de zéro signifie que la transformation perd une dimension et n'a pas d'inverse. Les valeurs propres et la diagonalisation relèvent de compétences avancées, et non du contenu vectoriel ordinaire de GCSE.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Toute matrice carrée possède un inverse. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Trouvez un vecteur propre en résolvant (A-λI)v=0 avec v≠0. Expliquez la signification géométrique : ce vecteur conserve sa direction sous la transformation.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Un scalaire qui détermine si une matrice carrée est inversible et, en deux dimensions, son facteur d'aire orienté. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Et si la racine n'est pas réelle ?

• L'équation x²+1=0 n'a pas de racines réelles. L'extension du système numérique nous permet de représenter et de calculer avec les deux racines.
• Cette leçon étudie le conjugé complexe : Le nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire.

Choisir la structure mathématique

• Écrivez z=a+bi avec i²=-1. Le conjugué est a-bi et z multiplié par son conjugué=a²+b². Le module est √(a²+b²) ; l'argument nécessite le bon quadrant. Les racines conjuguées apparaissent pour les polynômes à coefficients réels.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour z=3+4i, |z|=5 et le conjugué de z=3-4i. L'inverse est (3-4i)/25. Pour x²-6x+13=0, les racines sont 3±2i. Multiplier par le conjugué rend le dénominateur complexe réel.

Tester un raccourci séduisant

• La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées. Une tangente inverse seule peut renvoyer le mauvais quadrant. Ne confondez pas le module avec le carré du module.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Pour a+bi, son module est toujours a+b. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Tracez l'axe réel horizontalement et l'axe imaginaire verticalement. Pour les produits, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent ; les puissances étendent ce motif géométrique via le théorème de De Moivre.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.