Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
1.2
Arithmétique exacte et estimation
Peut-on empaqueter sans reste ?
Un fournisseur emballe 72 crayons et 90 stylos dans des sacs-cadeaux identiques. Comment éviter les restes ?
Cette leçon étudie le facteur premier : un nombre premier qui divise exactement un entier.
Choisir la structure mathématique
Les facteurs premiers révèlent une structure commune. Utilisez les plus petites puissances communes pour le PGCD et les plus grandes pour le PPCM. Estimez avant de calculer ; utilisez des parenthèses pour préserver l'ordre des opérations.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
72=2^3×3^2 et 90=2×3^2×5. Leur PGCD est 2×9=18. Préparez 18 sacs avec 4 crayons et 5 stylos chacun. Leur PPCM est 2^3×3^2×5=360.
Tester un raccourci séduisant
Le PGCD divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux. Ils répondent à des questions différentes. Une estimation décimale n'est pas une fraction exacte.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Le PGCD de deux entiers positifs est toujours supérieur à l'un ou l'autre entier. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Pour une épreuve sans calculatrice, conservez les fractions exactes et montrez la simplification. Pour une épreuve avec calculatrice, saisissez l'expression complète et comparez-la avec votre estimation.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Un nombre premier qui divise l'entier exactement. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
1.3
Pourcentages, ratio et raisonnement proportionnel
Peut-on retrouver le prix initial ?
Un manteau est réduit de 20% à ¥240. La réduction s'applique au prix initial, pas au prix de vente.
Cette leçon étudie le multiplicateur : un facteur qui effectue une variation en pourcentage en une seule multiplication.
Choisir la structure mathématique
Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100. Inverser un pourcentage consiste à diviser par le multiplicateur. Dans un ratio, trouver d'abord le nombre total de parts.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Soit P le prix initial. Le modèle est : prix de vente=0.8P. Donc P=240/0.8=300. Une augmentation ultérieure de 20% donne 240×1.2=288, donc les deux changements ne s'annulent pas.
Tester un raccourci séduisant
Un pourcentage utilise une base spécifiée. Soustraire les pourcentages fait perdre cette base. Pour un changement composé, multiplier les multiplicateurs ; ne pas additionner les pourcentages.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Une diminution de 20% suivie d'une augmentation de 20% restaure le prix initial. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Pour la proportion directe utiliser y=kx ; pour la proportion inverse utiliser y=k/x. Calculer k à partir d'une paire connue avant d'utiliser une nouvelle valeur. Indiquer ce que vous avez maintenu constant.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Un facteur qui effectue une variation pourcentuelle par une seule multiplication. Choisir la relation, exposer la méthode, vérifier ses hypothèses et interpréter le résultat.
Un plan d'épargne ajoute ¥30 chaque semaine ; un modèle de population croît de 5% chaque année. Des différences égales et des rapports égaux nécessitent des modèles différents.
Cette leçon étudie le taux commun : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Choisir la structure mathématique
Pour une progression arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Pour une progression géométrique, u_n=ar^(n-1) et S_n=a(1-r^n)/(1-r). Une somme géométrique infinie n'existe que si |r|<1.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour a=5, d=3, n=8, on a u_8=5+7×3=26 et S_8=8(10+21)/2=124. Pour a=12, r=1/2, la somme à l'infini est 12/(1-1/2)=24. Pour u_(n+1)=2u_n+1 avec u_1=1, les termes suivants sont 3,7,15.
Tester un raccourci séduisant
Le premier terme a pour indice 1, donc l'exposant est n-1. Une suite est une liste ; une série est une somme. Une suite géométrique peut alterner en signe tout en convergeant.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Toute série géométrique admet une somme finie à l'infini. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Expliquez si le contexte justifie un changement additif ou multiplicatif. En finance, distinguez un dépôt unique d'un flux de dépôts avant de choisir une formule de somme.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
1.5
Régression, modèles financiers et résidus
La prédiction est-elle soutenue par les données ?
Une droite prédit le temps de trajet en bus selon la distance. Une petite erreur de calcul importe moins que l'utilisation d'un modèle hors de son domaine de validité.
Cette leçon étudie le résidu : La valeur observée moins la valeur prédite par un modèle ajusté.
Choisir la structure mathématique
Un modèle linéaire y=a+bx a une ordonnée à l'origine a et une pente b avec des unités contextuelles. Inspectez les résidus et la plage de données. Pour une variation pourcentuelle répétée, utilisez un modèle géométrique ; pour un prêt, distinguez le capital, le taux, le remboursement et la période.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\widehat t=8+2d,\qquad e=t-\widehat t$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Le modèle ajusté t=8+2d prédit 18 minutes à d=5 km. Si le temps observé est 21, le résidu est 3 minutes. Un dépôt de ¥1000 à un taux d'intérêt composé annuel de 5% devient 1000×1.05³=1157.625 après 3 ans.
Tester un raccourci séduisant
Une bonne adéquation ne prouve pas un mécanisme causal. Un coefficient de corrélation mesure une association linéaire, pas la pente. La sortie d'une calculatrice doit être traduite en modèle, vérifiée et interprétée.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Une forte corrélation permet une extrapolation fiable sur n'importe quelle distance. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
En IB AI, notez la source des données, le domaine, les hypothèses et la méthode de calculatrice. Comparez un modèle alternatif et jugez les prédictions par rapport aux résidus. Une réponse financière doit préciser le moment du paiement et si l'intérêt est capitalisé.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
La valeur observée moins la valeur prédite par un modèle ajusté. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
1.6
Transformations matricielles, inverses et valeurs propres
Où vont les vecteurs de base ?
Une carte étire une direction et cisaille une autre. Une matrice enregistre la transformation de chaque vecteur de base.
Cette leçon étudie le déterminant : Un scalaire qui détermine si une matrice carrée est inversible et, en deux dimensions, son facteur d'aire orienté.
Choisir la structure mathématique
Une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] a pour déterminant ad-bc et pour inverse [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) si le déterminant est non nul. Transformez les vecteurs colonnes par multiplication à gauche. Dans un produit, la matrice la plus à droite agit en premier.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour A=[[2,1],[0,3]], det A=6. A(1,2)=(4,6). Son inverse est [[1/2,-1/6],[0,1/3]]. L'équation caractéristique est (2-λ)(3-λ)=0, donc les valeurs propres sont 2 et 3.
Tester un raccourci séduisant
La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative. Un déterminant de zéro signifie que la transformation perd une dimension et n'a pas d'inverse. Les valeurs propres et la diagonalisation relèvent de compétences avancées, et non du contenu vectoriel ordinaire de GCSE.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Toute matrice carrée possède un inverse. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Trouvez un vecteur propre en résolvant (A-λI)v=0 avec v≠0. Expliquez la signification géométrique : ce vecteur conserve sa direction sous la transformation.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Un scalaire qui détermine si une matrice carrée est inversible et, en deux dimensions, son facteur d'aire orienté. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
1.7
Nombres complexes et racines
Et si la racine n'est pas réelle ?
L'équation x²+1=0 n'a pas de racines réelles. L'extension du système numérique nous permet de représenter et de calculer avec les deux racines.
Cette leçon étudie le conjugé complexe : Le nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire.
Choisir la structure mathématique
Écrivez z=a+bi avec i²=-1. Le conjugué est a-bi et z multiplié par son conjugué=a²+b². Le module est √(a²+b²) ; l'argument nécessite le bon quadrant. Les racines conjuguées apparaissent pour les polynômes à coefficients réels.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour z=3+4i, |z|=5 et le conjugué de z=3-4i. L'inverse est (3-4i)/25. Pour x²-6x+13=0, les racines sont 3±2i. Multiplier par le conjugué rend le dénominateur complexe réel.
Tester un raccourci séduisant
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées. Une tangente inverse seule peut renvoyer le mauvais quadrant. Ne confondez pas le module avec le carré du module.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Pour a+bi, son module est toujours a+b. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Tracez l'axe réel horizontalement et l'axe imaginaire verticalement. Pour les produits, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent ; les puissances étendent ce motif géométrique via le théorème de De Moivre.
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Clé :
Le nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
2.2
Domaines, inverses et composition
Quelles entrées sont autorisées ?
Un modèle racine carrée produit une sortie réelle uniquement pour certaines entrées. Sa formule seule ne définit pas une fonction complète.
Cette leçon étudie le domaine : l'ensemble des entrées autorisées pour une fonction.
Choisir la structure mathématique
Énoncez le domaine et l'image. Pour une fonction réciproque, assurez-vous d'abord que la fonction est bijective sur son domaine. La composition fg signifie appliquer g en premier, puis f ; la sortie intermédiaire doit être une entrée autorisée pour f.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour f(x)=√(x-2), x≥2 et l'image est y≥0. De y=√(x-2), on obtient x=y²+2. Ainsi f inverse(x)=x²+2 avec x≥0. Pour g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Tester un raccourci séduisant
L'élévation au carré peut introduire des solutions parasites. Restreindre le domaine d'une parabole est indispensable avant d'affirmer l'existence d'une fonction réciproque. Une translation horizontale à l'intérieur de f a un signe opposé au mouvement du graphique.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Toute fonction quadratique définie sur tous les réels possède une fonction réciproque. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Vérifiez f(f inverse(x))=x sur le domaine de l'inverse. Utilisez un croquis pour tester si une ligne horizontale coupe le graphique original plus d'une fois.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
L'ensemble des entrées autorisées pour une fonction. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
Pourquoi un modèle de décroissance reste-t-il positif ?
La concentration d'un médicament diminue du même pourcentage chaque heure. Une soustraction constante prédirait finiment une quantité négative.
Cette leçon étudie la demi-vie : le temps nécessaire pour qu'une grandeur décroissante atteigne la moitié de sa valeur initiale.
Choisir la structure mathématique
Pour y=Ae^(kt), k est un taux proportionnel. Prendre les logarithmes donne ln y=ln A+kt. Les logarithmes exigent des arguments positifs, et log(x+y) n'est pas égal à log x+log y.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Si y=80e^(-0.2t), y=40 implique e^(-0.2t)=1/2. Par conséquent t=ln2/0.2≈3.466. Pour 3^x=20, x=ln20/ln3. Tracer ln y en fonction de t linéarise ce modèle exponentiel.
Tester un raccourci séduisant
Un ajustement exponentiel est un modèle, pas une garantie. Spécifiez les unités de temps et la plage d'utilisation. Un k négatif décrit une décroissance ; une valeur initiale négative contredit généralement le contexte.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Pour x et y positifs, ln(x+y)=ln x+ln y. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Comparez les observations réelles avec le modèle. Des écarts systématiques peuvent indiquer des conditions changeantes. Dans un rapport, expliquez ce que signifient le taux et la valeur initiale, plutôt que de donner une simple équation.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le temps nécessaire pour qu'une grandeur décroissante atteigne la moitié de sa valeur initiale. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
Un modèle a des longueurs un tiers de celles de l'objet réel. De combien sont réduites sa surface et son volume ?
Cette leçon étudie le facteur d'échelle : le multiplicateur reliant les longueurs correspondantes dans des figures semblables.
Choisir la structure mathématique
Pour des figures semblables avec un facteur d'échelle linéaire k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Énoncer explicitement les raisons relatives aux angles. La tangente d'un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Si le facteur d'échelle longueur modèle-réel est 3, une surface de 12 cm² du modèle donne 12×3²=108 cm² et un volume de 8 cm³ du modèle donne 8×3³=216 cm³. Un cylindre de rayon r=3 et de hauteur h=5 a pour volume πr²h=45π.
Tester un raccourci séduisant
Des angles égaux seuls établissent la similarité, pas l'égalité de taille. Utiliser les longueurs correspondantes dans le même ordre. Convertir les unités linéaires avant de calculer l'aire ou le volume, ou carrer/cuber correctement le facteur de conversion.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Doublant chaque longueur d'un solide double son volume. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Une démonstration géométrique doit citer le théorème pertinent, identifier l'angle égal ou le rapport, et tirer la conclusion. Un dessin à l'échelle n'est une preuve que si la tâche autorise la mesure.
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Clé :
Le multiplicateur reliant les longueurs correspondantes dans des figures semblables. Choisir la relation, exposer la méthode, vérifier ses hypothèses et interpréter le résultat.
3.3
Triangles rectangles et non rectangles
Quel côté l'échelle nécessite-t-elle ?
Une échelle atteint une hauteur de 4 m tandis que son pied est à 3 m du mur. Quels côtés sont connus et quel angle faut-il trouver ?
Cette leçon étudie l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle.
Choisir la structure mathématique
Dans un triangle rectangle a²+b²=c² ; sinθ=côté opposé/hypoténuse, cosθ=côté adjacent/hypoténuse et tanθ=côté opposé/côté adjacent. Pour les autres triangles, utilisez la loi des sinus ou la loi des cosinus, ou aire = ab sin C / 2.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
La longueur de l'échelle est c=√(3²+4²)=5 m. Son angle avec le sol satisfait tanθ=4/3, donc θ≈53.1°. Avec deux côtés 6 et 8 formant un angle de 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Tester un raccourci séduisant
Étiquetez les côtés par rapport à l'angle choisi. Pythagore nécessite un angle droit. Une erreur de mode angle sur la calculatrice peut produire un résultat plausible mais faux. Conservez les valeurs non arrondies pour les étapes suivantes.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Pythagore s'applique à tous les triangles, y compris ceux sans angle droit. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Utilisez un plan ou une élévation pour un problème en trois dimensions avant d'appliquer une règle trigonométrique. Expliquez pourquoi le triangle choisi contient la longueur ou l'angle requis.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
3.4
Vecteurs et géométrie des transformations
Pourquoi le déplacement est plus court que la marche ?
Marcher 4 m vers l'est et 3 m vers le nord donne un déplacement de 5 m, bien que la distance parcourue soit de 7 m.
Cette leçon étudie le résultant : la somme vectorielle représentant le déplacement combiné ou la force combinée.
Choisir la structure mathématique
Ajoutez les composantes vectorielles correspondantes. Un déplacement de A vers B est OB-OA. Les vecteurs parallèles sont des multiples scalaires. Un vecteur a une grandeur et une direction ; une distance est un scalaire.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Avec a=(4,1) et b=(1,3), a+b=(5,4). Leur produit scalaire est a·b=4×1+1×3=7. La grandeur de a est √17. Pour A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) et |AB|=5.
Tester un raccourci séduisant
L'ordre de la soustraction compte : BA=-AB. Prouver le parallélisme nécessite une relation de multiple scalaire ; un simple croquis est insuffisant. Une réduction négative inverse la position par rapport à son centre.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
AB et BA ont toujours les mêmes composantes. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Pour une translation, chaque point utilise le même déplacement. Pour les problèmes avancés sur les droites, distinguez le vecteur position d'un vecteur directeur et résolvez les équations paramétriques de manière cohérente.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Clé :
La somme vectorielle représentant le déplacement combiné ou la force combinée. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.
Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.
These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.
4.2
Résumés des données, histogrammes et interprétation
English
Can one average tell the whole story?
Two groups have the same median but different spread. One summary cannot describe both location and consistency.
This lesson studies frequency density 频率密度: Frequency divided by class width, used as histogram height.
Choose the mathematical structure
Compare an appropriate average and spread in context. A histogram uses area for frequency, so height=frequency/class width. Grouped estimates assume representative values within intervals.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Example:
A class from 10 to 20 with frequency 30 has density 30/10=3. A class from 20 to 40 with frequency 20 has density 20/20=1. Its wider bar must not be mistaken for a larger density. For values 2,4,4,6,9, the median is 4 and mean is 5.
Test a tempting shortcut
The tallest histogram bar need not contain the most observations. A grouped mean is an estimate. Correlation does not prove causation, and extrapolation extends beyond the observed range.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Warn:
A histogram bar's height always equals its frequency, even with unequal class widths. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Interpret a new situation
Choose a display that fits the data type. Give both a numerical comparison and what it means for the population; do not infer more precision than the sample supports.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Use this in your course
Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Key:
Frequency divided by class width, used as histogram height. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
A bag has 3 red and 2 blue counters. Taking two without replacement changes the chance of the second colour.
This lesson studies conditional probability 条件概率: The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition.
Choose the mathematical structure
Multiply along a tree branch and add disjoint branches. With replacement, the composition stays fixed. Conditional probability is P(A given B)=P(A∩B)/P(B), for P(B)>0.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Example:
Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.
Test a tempting shortcut
Mutually exclusive means no overlap; independent means that knowing one event does not change the other's probability. Two disjoint events with positive probability are not independent.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Warn:
Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Interpret a new situation
A two-way table makes the restricted denominator visible. Before using a product P(A)P(B), justify independence from the context or the supplied information.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Use this in your course
Current first-assessment-2021 Applications and Interpretation HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Key:
The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.
Choose the mathematical structure
A binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and constant p. E(X)=np and Var(X)=np(1-p). For a normal model use z=(x-μ)/σ. A Poisson model describes counts with a constant rate and appropriate independence assumptions.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Work through a checked case
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Example:
For X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 and Var(X)=0.8. For a normal quantity with μ=100,σ=15, the value 130 has z=2. A Poisson mean of 3 per hour gives mean 6 over two hours.
Test a tempting shortcut
Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Warn:
Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Interpret a new situation
Write the event as an inequality before using calculator distribution functions. Distinguish P(X<k), P(X≤k) and a tail complement. State assumptions in context.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
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Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Key:
The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
A factory claims that only 10% of items are defective. A sample contains more defects, but chance alone may explain some difference.
This lesson studies significance level 显著性水平: The chosen probability threshold for rejecting a null hypothesis.
Choose the mathematical structure
State H₀ and H₁ in population parameters before inspecting the outcome. Calculate the appropriate tail probability under H₀. Reject H₀ when the evidence meets the specified significance rule; otherwise say there is insufficient evidence.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Work through a checked case
$$H_0:p=p_0,\qquad H_1:p>p_0$$
Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Example:
For H₀:p=0.1 and H₁:p>0.1 with n=10, observing at least 3 defects has probability 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191. At 5%, this is insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.
Test a tempting shortcut
Failing to reject H₀ is not proof that H₀ is true. Choose the tail from H₁, not from whichever tail gives a small result. Statistical significance does not measure the practical size of an effect.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Warn:
Failing to reject a null hypothesis proves it is true. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Interpret a new situation
Finish with a sentence about the population and the original claim. State the model's assumptions and consider whether the sampling procedure supports them.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
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Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Key:
The chosen probability threshold for rejecting a null hypothesis. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Two samples give different means. We need a statement about sampling uncertainty, not a promise that one sample equals the population.
This lesson studies confidence interval 置信区间: An interval calculated by a procedure designed to cover the population parameter at a stated long-run rate.
Choose the mathematical structure
For a normal mean with known σ, a 95% interval is sample mean±1.96σ/√n. For chi-square, sum (observed-expected)²/expected with the correct degrees of freedom. Choose a test that fits the data and assumptions.
State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Example:
With mean=50,σ=10,n=100, standard error=1 and the 95% interval is [48.04,51.96]. For observed counts 30 and 20 against expected 25 and 25, chi-square=25/25+25/25=2, before deciding degrees of freedom and the rejection threshold.
Test a tempting shortcut
A 95% confidence procedure does not give a 95% probability that a fixed population mean moves within this one interval. Expected counts and estimated parameters affect the validity and degrees of freedom of chi-square tests.
When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Warn:
A strong correlation alone establishes a causal relationship. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Interpret a new situation
Report uncertainty in the context. In regression, inspect residuals, avoid unjustified extrapolation, and distinguish a fitted relationship from a causal explanation. S3 and IB AI HL require different verified scope boundaries.
A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
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Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Key:
An interval calculated by a procedure designed to cover the population parameter at a stated long-run rate. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.
Choisir la structure mathématique
Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.
Tester un raccourci séduisant
Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.3
Recherche de racines et intégration numérique
Quelle fiabilité pour une approximation ?
Une équation non linéaire n'a pas de solution exacte commode. Une approximation nécessite tout de même des preuves de sa fiabilité.
Cette leçon étudie l'itération : une mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente.
Choisir la structure mathématique
Une fonction continue prenant des signes opposés aux deux extrémités possède une racine entre elles. La méthode de Newton utilise x_next=x-f(x)/f'(x), avec une dérivée non nulle. La règle des trapèzes approxime une intégrale définie en utilisant les hauteurs aux extrémités.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour f(x)=x²-2 et x₀=1.5, Newton donne x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Avec y=x² sur [0,2] et deux bandes égales, h=1 et aire trapèze=(1/2)(0+2×1+4)=3 ; l'aire exacte est 8/3.
Tester un raccourci séduisant
Un changement de signe à travers une discontinuité ne prouve pas l'existence d'une racine. L'itération peut diverger ou former un cycle. La surestimation ou la sous-estimation par la règle des trapèzes dépend de la courbure, et non uniquement du fait que la fonction soit croissante.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque changement de signe prouve l'existence d'une racine, y compris lors d'une discontinuité. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Donnez un critère d'arrêt et rapportez une précision raisonnable. Confirmez la racine approchée par un encadrement de signes autour de la réponse arrondie indiquée ; expliquez tout échec de l'itération choisie.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.4
Dérivation en chaîne, produit, quotient et implicite
L'expression intérieure change-t-elle aussi ?
Une courbe de coût est une puissance d'une expression variable. Dériver uniquement la puissance extérieure omet le taux de variation de son entrée.
Cette leçon étudie la règle de chaîne : la règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée.
Choisir la structure mathématique
Pour y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Pour uv, dérivez vers u prime v+uv prime. Pour u/v, utilisez (u prime v-uv prime)/v², où v≠0.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pente est 12. Pour x²+y²=25, dérivez implicitement : 2x+2y y prime=0, donc y prime=-x/y lorsque y≠0.
Tester un raccourci séduisant
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Dans la dérivation implicite, chaque fonction dérivée de y apporte un facteur dy/dx. Le dénominateur d'un quotient est au carré.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
La dérivée de u(x)v(x) est toujours u prime fois v prime. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Choisissez une forme utile avant de dériver : développer un court polynôme peut être plus simple. Pour les taux liés, écrivez la relation en symboles, dérivez par rapport au temps, puis substituez les valeurs mesurées.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
La règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.5
Substitution, intégration par parties et fractions partielles
Peut-on intégrer les deux facteurs séparément ?
Un produit apparemment simple comme xe^x ne peut pas être intégré en intégrant séparément chaque facteur.
Cette leçon étudie l'intégration par parties : une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit.
Choisir la structure mathématique
Utilisez la substitution lorsqu'une dérivée interne apparaît comme facteur. Par parties, intégrale u v prime =uv-intégrale u prime v. Pour une fonction rationnelle, effectuez la division d'abord si nécessaire, puis décomposez en fractions partielles.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour l'intégrale de xe^x dx, prenez u=x et v prime=e^x. Ensuite, l'intégrale est xe^x-e^x+C. Pour l'intégrale de 2x/(x²+1) dx, substituez w=x²+1, dw=2x dx ; la réponse est ln(x²+1)+C.
Tester un raccourci séduisant
Bien choisir u et v prime est essentiel : l'intégrale restante devrait devenir plus simple. Dans une substitution définie, modifiez soit les bornes, soit revenez à x avant d'appliquer les bornes originales.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
L'intégrale d'un produit est égale au produit de ses intégrales séparées. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Vérifier par dérivation. Pour les volumes de révolution autour de l'axe des x, utilisez V=π ∫ y² dx ; ne pas confondre le carré d'une fonction avec l'intégrale de cette fonction.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.
5.6
Équations différentielles et solutions numériques
Que décide la valeur initiale ?
Le taux de croissance d'une population est proportionnel à sa taille actuelle. L'équation du taux décrit une famille entière jusqu'à ce qu'une population initiale soit spécifiée.
Cette leçon étudie la condition initiale : une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille de solutions.
Choisir la structure mathématique
Pour dy/dx=ky, séparez les variables : dy/y=k dx, ce qui donne y=Ae^(kx). Utilisez une condition initiale pour trouver A. La méthode d'Euler utilise y_next=y+h f(x,y), avec un pas h choisi.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Avec dy/dx=0.5y et y(0)=2, on a y=2e^(0.5x). Euler avec h=0.2 donne y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 et y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. La deuxième valeur exacte est d'environ 2.4428.
Tester un raccourci séduisant
Une condition initiale détermine la constante d'intégration ; elle ne remplace pas l'intégration. Diviser par y peut omettre une solution d'équilibre y=0. La précision d'Euler dépend de la taille du pas et de l'équation.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque taille de pas donne exactement la même approximation d'Euler. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Pour les équations linéaires du second ordre, combiner la fonction complémentaire avec une intégrale particulière appropriée, puis appliquer les conditions initiales requises. Il s'agit d'un contenu de Further Pure ; vérifier l'unité nommée.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
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Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.
6
IA · Exploration mathématique supervisée par l'établissement
Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
Qu'est-ce qui rend une investigation mathématique ?
Un élève souhaite prédire le temps d'attente dans la file au restaurant scolaire. Une exploration utile nécessite une question, des données et des mathématiques que l'élève peut expliquer.
Cette leçon étudie l'hypothèse : une condition adoptée pour rendre un modèle mathématique possible et dont l'effet doit être évalué.
Choisir la structure mathématique
Formulez une question ciblée avec des variables mesurables et une méthode faisable. Tenez un registre daté de vos décisions, sources et raisonnement mathématique. Utilisez la technologie pour soutenir l'analyse et expliquez chaque résultat important avec vos propres mots.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Un pilote enregistre des temps d'attente moyens de 3,5,7 minutes lorsque 10,20,30 personnes sont devant lui. Un premier modèle est t=1+0.2n. À n=25, il prédit 6 minutes. Une attente réelle de 8 donne un résidu de 2 ; explorez les variations des taux de service plutôt que de dissimuler ce désaccord.
Tester un raccourci séduisant
Ne copiez pas une exploration type, inventez pas de données ni d'engagement personnel artificiel. Une prédiction n'est pas une preuve tant qu'elle n'est pas comparée aux observations. Le consentement et la confidentialité sont essentiels lors de la collecte de données scolaires.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
L'exploration mathématique supervisée par l'école peut être remplacée par un examen blanc écrit chronométré. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
L'école supervise l'approbation des sujets, les points de contrôle, l'authenticité et l'évaluation. Pour le cours actuel 2021, utilisez le guide et les critères actuels de l'école ; les critères d'enquête 2029 appartiennent à une version d'évaluation différente.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation HL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une condition adoptée pour rendre un modèle mathématique possible et dont l'effet doit être évalué. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
