FP2 · Further Pure Mathematics 2

Mathématiques pures supplémentaires 2 (FP2, épreuve WFM02/01, 1 heure 30 minutes, 75 points, première évaluation juin 2020) s'appuie directement sur P1–P4 et FP1 et compte pour un sixième du niveau International Advanced. Chaque unité ayant le même coefficient, le contenu de FP2 peut également apparaître dans les Mathématiques pures supplémentaires. Les acquis de P1–P4 restent requis : fractions partielles, différenciation paramétrique et implicite, intégration par parties et par substitution, ainsi que l'ensemble des outils de preuve de FP1 relatifs aux nombres complexes. Ce document couvre les inégalités de module, la méthode des différences, la relation d'Euler et le théorème de De Moivre, les lieux géométriques et les transformations z→w, les équations différentielles du premier et du second ordre, les séries de Maclaurin et de Taylor, et les coordonnées polaires. les équations différentielles, les séries de Maclaurin et Taylor, ainsi que les coordonnées polaires.

À connaître absolument pour FP2 (supposé acquis, non réenseigné) :

Deux mouvements sûrs et un mouvement interdit. Sûr : diviser en cas selon la définition du module ($\lvert f\rvert = f$ où $f \ge 0$, $-f$ où $f < 0$), et élever au carré les deux côtés de $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$ pour obtenir $A^2 > B^2$. Interdit : multiplier ou diviser par une expression dont vous n'avez pas fixé le signe — divisez alors en cas selon ce signe, et intersectez chaque boîte avec son propre domaine.

Exemple résolu — une branche meurt (style spécimen). Résoudre $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$. Où $x^2 \ge 1$ : $x^2 - 2x - 3 > 0$, donc $(x-3)(x+1) > 0$, donnant $x > 3$ ou $x < -1$ ; en gardant seul $x \le -1$ ou $x \ge 1$ laisse $x < -1$ ou $x > 3$. Où $x^2 < 1$ : $1 - x^2 > 2x + 2$ devient $(x+1)^2 < 0$ — impossible. La solution est $x < -1$ ou $x > 3$. Une branche morte est un résultat, pas une erreur : signalé-le.

Exemple résolu — module des deux côtés (WFM02 juin 2025 Q8). La courbe C a pour équation $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$ et la droite l a pour équation $y = x - 2$.

(a) Résoudre $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$. Le dénominateur est toujours positif, donc multiplier directement. Pour $x \ge 0$ : $(x-2)(x+4) > 15x$ donne $x^2 - 13x - 8 > 0$, donc $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (l'autre racine est négative). Pour $x < 0$ : $(x-2)(4-x) > 15x$ donne $-x^2 - 9x - 8 > 0$, c.-à-d. $(x+1)(x+8) < 0$, donc $-8 < x < -1$. Ensemble : $-8 < x < -1$ ou $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$.

(b) Résoudre $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$. Les deux côtés sont non négatifs, donc éléver au carré et multiplier par $(\lvert x\rvert+4)^2$ : l'inégalité devient $PQ > 0$, avec $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$ (l'expression de la partie a) et $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$. Ainsi $P$ et $Q$ doivent avoir le même signe. Il ne suffit pas d'avoir « $P > 0$ ou $Q < 0$ ». Pour $x \ge 0$ : $P = x^2 - 13x - 8$ et $Q = x^2 + 17x - 8$. Les deux sont positifs pour $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$, et tous deux négatifs pour $0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$. Pour $x < 0$ : $Q = -x^2 + 21x - 8$ est négatif pour tout $x < 0$, nous devons donc choisir $P < 0$, qui est $(x+1)(x+8) > 0$ : $x < -8$ ou $-1 < x < 0$. Ensemble : $x < -8$ ou $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ ou $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$. (Vérifier $x = -5$ : $\lvert x-2\rvert = 7$ mais $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$, donc $-5$ est correctement exclu.) Le « hence » est réel : le facteur $P$ de la partie (a) effectue la moitié du travail.

La méthode des différences somme une série en décomposant le terme général (généralement via les fractions partielles) de sorte que chaque terme annule une partie d'un terme ultérieur — les termes intermédiaires s'effacent et seuls subsistent le premier et le dernier fragment. Écrivez $r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$ explicitement et observez ce qui s'annule ; cette démonstration rapporte les points.

Exemple résolu — télescopage vers une forme fermée (WFM02 juin 2025 Q5). Montrez $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$. Décomposez :

La somme est $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$ s'annule, laissant $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$. (Vérifiez $n = 1$ : les deux côtés $\tfrac16$.) C'est aussi ainsi que sont conçus les exercices sur les inégalités : $\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$ nécessite $n > 98$, donc la plus petite valeur est $n = 99$ — par l'algèbre, pas par un tableau de valeurs.

La relation d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ transforme la forme polaire en une forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$, et $z^n = r^ne^{in\theta}$ devient un simple calcul arithmétique. Lisez les compagnes $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$ et $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$. Le théorème de De Moivre $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ en découle, et il peut être démontré pour tout entier positif $n$ par récurrence : vrai pour $n = 1$ ; si vrai pour $k$, multiplier $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$ et développer avec l'addition la formule donne $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$. Pour les valeurs négatives de $n$, prendre les inverses et remarquer que $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$ a pour module 1 et pour argument l'argument droit.

Exemple résolu — identité à angles multiples (WFM02 juin 2025 Q9). Développer la partie imaginaire de $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ par le théorème du binôme :

De Moivre indique que cela équivaut à $\sin 5\theta$. En substituant $c^2 = 1 - s^2$ : $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$, donc

En posant $5\theta = \pi$, on obtient $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$, donc $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$ et $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — prendre la plus petite racine car $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$, et en effet $\sin\tfrac{3\pi}5$ est la plus grande racine.

Exemple résolu — racines cinquièmes (WFM02 juin 2025 Q1). Résoudre $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$. Module $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$ ; l'argument est $-\tfrac{2\pi}3$ (troisième quadrant, $\tan = \sqrt3$). Donc

cinq racines espacées de $\tfrac{2\pi}5$ sur le cercle $\lvert z\rvert = \sqrt2$. Utiliser le motif racine n-ième $n$ $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ — jamais d'approximatives décimales.

Boîte à outils des lieux dans le plan d'Argand : $\lvert z - a\rvert = b$ est un cercle (centre $a$, rayon $b$) ; $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$ est la médiatrice de $a$ et $b$ ; $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$ avec $k \ne 1$ est un cercle (élever au carré les deux membres et regrouper les termes) ; $\arg(z - a) = \beta$ est une demi-droite issue de $a$. Les régions remplacent = par < or > : tester un point pratique (l'origine se trouve rarement sur le lieu). Pour Transformations de Möbius $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ avec $ad-bc\ne0$, choisissez d'abord la forme algébrique utile plutôt que de ne faire confiance qu'à la substitution point par point : mettez d'abord $z$ en évidence, puis prenez les modules (ou arguments) des deux côtés. Quand $c\ne0$, un cercle passant par le pôle $z = -\tfrac dc$ se transforme en une droite ; un cercle ne passant pas par le pôle se transforme en un cercle.

Exemple résolu — image d'un cercle (WFM02 juin 2025 Q3). $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ ($z \ne -1$) transforme P, où $\lvert z\rvert = 1$, en une droite l. En prenant $z$ comme sujet : $z(w + i) = 9i - w$, donc $z = \dfrac{9i - w}{w+i}$. Ensuite, $\lvert z\rvert = 1$ impose

donc $20v = 80$ et l est $v = 4$ — la médiatrice de $9i$ et $-i$, exactement comme le lecture à module égal le prédit. Vérification rapide avec les extrémités du diamètre vertical : $z = i \mapsto 5 + 4i$ et $z = -i \mapsto -5 + 4i$ ; elles aboutissent toutes deux sur $v = 4$.

Les équations séparables sont supposées. La nouvelle forme standard est $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ avec $P, Q$ fonctions de $x$ : multipliez par le facteur intégrant $e^{\int P\,dx}$, choisi pour que le côté gauche devienne $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$, puis intégrez une fois. Pour une substitution donnée (par exemple $z = f(y)$), calculez $\dfrac{dz}{dx}$ par la règle de la chaîne, réécrire l'équation en $z$ et $x$, résoudre la (maintenant linéaire ou séparable) et effectuez le remplacement inverse — la question nomme la forme cible, donc terminez-y.

Exemple résolu — échauffement au facteur intégrant. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ : $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$, donc $\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$ et $ye^{2x} = e^x + C$, i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Exemple résolu — substitution puis facteur intégrant (WFM02 juin 2025 Q6). L'équation (I) est $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$ sur $0 < x < \tfrac\pi2$.

(a) Avec $z = \tfrac1{y^2}$, $\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$, donc $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. En substituant et en divisant par $y^3$ : $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) Le facteur intégrant est $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$, donc $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$. Par conséquent $z\csc x = \tan x + C$, ce qui donne $z = \sin x\tan x + C\sin x$ et

(c) Pour $x = \tfrac\pi6$ : $y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$, donc $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$, ce qui impose $C = \tfrac1{2\sqrt3}$. Pour $x = \tfrac\pi3$ : $z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$, donc $y^2 = \tfrac47$ et $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$. Les deux signes sont des réponses — $y^2$, et non $y$, a été déterminé.

Pour $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, la solution générale est $\text{CF} + \text{PI}$ : la fonction complémentaire résout l'équation homogène via l'équation auxiliaire $am^2 + bm + c = 0$ ; la intégrale particulière est toute solution unique de l'équation complète.

Étant donné des conditions initiales ou aux limites, déterminer les constantes à la fin, à partir de la solution générale complète.

Exemple résolu — résonance, puis conditions (WFM02 juin 2025 Q4). Étant donné que $y = \lambda xe^{3x}$ est une intégrale particulière de $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$ :

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$ et $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$, donc le côté gauche est $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$. En identifiant $78e^{3x}$ on obtient $\lambda = 6$. (Le terme d'essai simple $\lambda e^{3x}$ donnerait $0\cdot e^{3x}$ — d'où le besoin de l' terme additionnel $x$.)

(b) Équation auxiliaire $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$, donc $m = -\tfrac14$ ou $3$ : $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) Avec $y = \tfrac92$ et $y' = 0$ en $x = 0$ : $A + B = \tfrac92$ et $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$. En résolvant, $A = 6$, $B = -\tfrac32$, donc

La série de Maclaurin de $f$ est $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ — dériver autant de fois que la question le demande (troisième et dérivées supérieures sont examinables par elles-mêmes). La série de Taylor autour de $x = a$ remplace $x$ par le décalage : $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Pour une équation différentielle, dériver l'équation elle-même pour gravir l'échelle des dérivées : $y(a)$ et $y'(a)$ alimentent l'équation pour $y''(a)$, puis la dérivée de l'équation pour $y'''(a)$, et ainsi de suite — ne jamais redériver, dériver simplement.

Exemple résolu — solution en série pour un centre non nul (WFM02 juin 2025 Q2). Étant donné $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$ avec $y = 2$ et $y' = -1$ en $x = 3$ :

en $x = 3$ : $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, donc le terme quadratique est $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$. En dérivant l'équation, $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$, donc en $x = 3$ : $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$, et le terme cubique est $\tfrac16y'''(x-3)^3$. La série est

En coordonnées polaires, un point est $(r, \theta)$ avec $r \ge 0$ mesuré à partir de la ligne initiale (l'axe des axe $x$, $\theta$ dans le sens antihoraire). Convertir avec $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ : par exemple $r = 4\cos\theta$ donne $r^2 = 4r\cos\theta$, c'est-à-dire $x^2 + y^2 = 4x$ — le cercle $(x-2)^2 + y^2 = 4$. Connaître les croquis types : $r = 2a\cos\theta$ (cercle sur la ligne initiale passant par le pôle), $r = k\theta$ (spirale), $r = a(1+\cos\theta)$ (cardioïde), $r = a\cos2\theta$ (quatre pétales), $r^2 = a^2\cos2\theta$ (lemniscate, existant uniquement où $\cos2\theta \ge 0$). L'aire balayée entre $\theta = \alpha$ et $\beta$ est $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$ ; les tangentes parallèles à la ligne initiale se trouvent là où $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$.

Exemple résolu — aires exactes. La lemniscate entière $r^2 = 8\cos2\theta$ : par symétrie, la boucle droite est $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$, donc les deux boucles enferment une aire totale de $8$. La cardioïde $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$, car $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

• Résoudre les inégalités de module par étude de cas et par élévation au carré ; gérer $|x|$ dans les dénominateurs ; signaler les branches mortes ; réutiliser une partie précédente lorsque « hence » apparaît.
• Sommer des séries finies par fractions partielles et télescopage, en écrivant les $r = 1, 2, n-1, n$ termes ; conclure l'inégalité suivante par calcul algébrique.
• Utiliser $e^{i\theta}$, les formes exponentielles de $\cos$ et $\sin$, et la formule de Moivre (démontrée pour les entiers $n$) pour développer les multiples angles et puissances, et trouver toutes les racines $n$ièmes sous forme polaire exacte.
• Tracer des cercles, des bissectrices, des cercles d'Apollonius et des demi-droites d'argument ; tester des régions ; exprimer $z$ comme sujet d'une transformation de Möbius et égaliser modules ou arguments.
• Résoudre $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ avec un facteur intégrant ; exécuter les substitutions données et répondre sous la forme requise, en tenant compte de $\pm$ provenant de $y^2$.
• Résoudre les équations du second ordre via l'équation auxiliaire et une solution particulière supposée (y compris la résonance multipliée par $x$), puis ajuster aux conditions initiales.
• Construire les séries de Maclaurin et de Taylor, y compris les solutions en série d'équations différentielles par dérivation de l'équation.
• Tracer des courbes polaires classiques, convertir entre coordonnées polaires et cartésiennes, et évaluer des aires exactes avec $\frac12\int r^2\,d\theta$.