P3 · Pure Mathematics 3

Pure Mathematics 3 (P3) étend P1 et P2 : fonctions rationnelles et inverses, la valeur absolue, transformations combinées, fonctions trigonométriques réciproques et forme harmonique, modèle logarithmique d'ajustement, toutes les règles de dérivation, intégration par reconnaissance, et méthodes numériques. P1 et P2 sont supposés acquis et peuvent être évalués dans l'épreuve WMA13/01 (1 heure 30 minutes, 75 points ; mêmes règles concernant la calculatrice et le fascicule de formules).

Formules que vous devez connaître pour P3 (non incluses dans le fascicule) :

Simplifier les expressions rationnelles par factorisation et réduction ; division algébrique pour les dénominateurs jusqu'au degré deux. Ne réduire que les facteurs, jamais les termes.

Une fonction est une application un-à-un ou plusieurs-à-un ; son domaine de définition est l'ensemble des entrées autorisées et son ensemble de valeurs les sorties. La composition $fg$ signifie « faire $g$ d'abord, puis $f$ ». L'inverse $f^{-1}$ annule $f$ (il existe lorsque $f$ est bijective), et $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$ ; la courbe de $f^{-1}$ est le reflet de la courbe de $f$ par rapport à $y = x$.

Exemple résolu — inverse et composition (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Ensemble de valeurs de $f$.

• À $x = 0$ : $f(0) = 0$ ; lorsque $x \to \infty$ : $f(x) \to \tfrac23$ par dessous, et $f$ est croissante (une valeur plus grande de $x$ donne une valeur plus grande de $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Trouver $f^{-1}(x)$.

• Poser $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ et résoudre pour $x$ :
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Vérification : $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Résoudre $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Vérification : $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

La valeur absolue $|x|$ vaut $x$ pour $x \ge 0$ et $-x$ pour $x < 0$ : $y = |ax + b|$ est la droite $y = ax + b$ dont la partie négative est reflétée au-dessus de l'axe. Étant donné $y = f(x)$, tracer $y = |f(x)|$ (refléter toute partie sous l'axe) et $y = f(|x|)$ (garder la moitié droite, la refléter à gauche). Résoudre les équations à valeur absolue graphiquement ou par cas, en testant chaque solution.

Transformations combinées appliquent simultanément les règles P1, par exemple $y = 2f(3x)$ ou $y = f(-x) + 1$ : les dilatations se multiplient, les translations se déplacent ensuite ; l'ordre indiqué dans le programme est $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ combinés en une seule expression ($y = f(ax+b)$ n'est pas requis à cet effet).

Exemple résolu — équation de module (exemple du programme officiel). Résoudre $|2x - 1| = x + 5$.

• Cas $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$) : $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (satisfait $x \ge \tfrac12$).
• Cas $2x - 1 < 0$ : $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Les deux solutions sont $x = 6$ et $x = -\tfrac43$. Vérification : $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

Les fonctions réciproques :

avec les identités $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ et $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Leurs graphes ont des asymptotes où la fonction dénominateur est nulle. Les fonctions réciproques $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ nécessitent des domaines restreints : $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] → [0, π]$, $\arctan: \mathbb{R} → (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Forme harmonique : $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ avec $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ et $\tan\alpha = \dfrac ba$ — un nombre, un angle, prêts à maximiser ou résoudre.

Exemple résolu — forme harmonique (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q2). Exprimer $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ sous la forme $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Développer $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ et identifier : $25\cos\alpha = 7$ et $25\sin\alpha = 24$, donc $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ et
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Vérification : $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ et $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Exemple résolu — preuve d'identité (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q8a). Démontrer $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Écrire $3x = 2x + x$ et utiliser la formule des angles composés :
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Substituer :
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Vérifier à $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$) : numérateur $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ est indéfini ✓ cohérent.

$y = e^x$ passe par $(0, 1)$ et croît sans limite ; $\ln x$ est sa fonction réciproque avec domaine $x > 0$ et l'axe $y$ comme asymptote. Résoudre $e^{ax+b} = p$ en prenant $\ln$, et $\ln(ax + b) = q$ par exponentiation.

Modèles de courbes logarithmiques : pour $y = ax^n$, prendre les logs donne $\log y = n\log x + \log a$ — tracer $\log y$ en fonction de $\log x$ pour obtenir une droite de pente $n$ et ordonnée à l'origine $\log a$. Pour $y = kb^x$, tracer $\log y$ en fonction de $x$ : pente $\log b$, ordonnée à l'origine $\log k$.

Exemple résolu — récupération d'une loi de puissance (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q3). Une droite $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ passe par $(-3.5, 0)$ et $(0, -2)$. Exprimer $y$ sous la forme $px^q$.

• Pente : $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$ ; ordonnée à l'origine $-2$ :
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Convertir : $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, donc
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Vérifier avec un point sur la droite : $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Exemple résolu — modèle de décroissance exponentielle (adapté d'Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q6). Un processeur refroidit selon $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ en °C, $t$ en minutes), partant de 75 °C, atteignant 25 °C après 5 minutes ; trouver $A$, $k$ et le moment où la température diminue de 9 °C par minute.

• À $t = 0$ : $75 = 21 + A$, donc $A = 54$.
• À $t = 5$ : $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$ :
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Taux : $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$ ; égaliser à $-9$ :
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• La valeur initiale est 75 °C et le plafond à long terme est 21 °C.
• Vérification : à $T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, diminuant de $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓. Le plafond du modèle est 21 °C (température ambiante) — cohérent pour des valeurs élevées de $t$.

Différencier $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), ainsi que sommes et différences.

Trois règles étendent le champ : la règle du produit, la règle du quotient et la règle de chaîne.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ découlent de la règle du quotient. La dérivation implicite utilise $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

Exemple résolu — produit et fonction composée (tiré des exemples de la spécification). Différencier $e^{-x^2}\sin 3x$ (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q7).

• Règle du produit avec $u = e^{-x^2}$ (chaîne : $u' = -2xe^{-x^2}$) et $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$) :
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Vérifier en $x = 0$ : dérivée $= 1 \times (3 - 0) = 3$, et près de $0$, la courbe se comporte comme $\sin 3x$ avec pente 3 ✓.

Intégrer directement les formes standards, et utiliser les formes de reconnaissance (repérer $f'$ à l'intérieur de l'intégrale) :

Les identités trigonométriques transforment $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ en formes intégrables ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Exemple résolu — identité d'abord (adapté de Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q5). Trouver $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Angle double avec $A = 3x$ : $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, donc $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$ :
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Vérifier par dérivation : $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Exemple résolu — reconnaissance. Trouver $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• Le numérateur est la dérivée du dénominateur ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$) :
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Vérifier : $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. La forme puissance fonctionne de la même manière : avec $u = 3x^2 + 4$ et $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  et en dérivant $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ on obtient $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Changement de signe : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a)f(b) < 0$, une racine se situe entre $a$ et $b$. Diviser l'intervalle par deux pour localiser une racine avec n'importe quelle précision.
• Itération : un réarrangement $x_{n+1} = f(x_n)$ à partir d'une valeur initiale converge vers un point fixe (ou non — vérifiez toujours par rapport à une borne de changement de signe).

Exemple résolu — localiser et itérer (adapté d'Edexcel IAL WMA13 juin 2025 Q7). Le point stationnaire de $y = e^{-x^2}\sin 3x$ proche de $x = 0.4$ satisfait $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) Avec $x_1 = 0.4$ :

• Vérifiez que l'itération converge : $|x_3 - x_2|$ est petit et les valeurs se stabilisent vers 0.43 ✓. (b) Montrez que la racine est 0.430 à 3 décimales : définissez $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (ou l'expression de la dérivée de l'exemple résolu ci-dessus) :
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ est continue, et le changement de signe entre 0.4295 et 0.4305 encadre une racine, donc la racine est 0.430 à 3 d.p. ✓.

• Simplifiez les expressions rationnelles ; factorisez avant de simplifier ; divisez par des diviseurs linéaires ou quadratiques. diviseurs.
• Travailler le domaine, l'image, la composition et les fonctions réciproques ; vérifier les inverses par composition jusqu'à $x$.
• Tracer et résoudre des équations à valeur absolue par cas avec vérifications ; combiner deux transformations sur un seul graphique.
• Utiliser sec, cosec, cot et leurs identités ; connaître les domaines restreints des fonctions réciproques.
• Convertir $a\cos\theta + b\sin\theta$ en $R\cos(\theta \pm \alpha)$ ; lire les maxima et résoudre.
• Démontrer les identités d'angles composés et doubles ; les utiliser dans les deux sens.
• Résoudre $e^{ax+b} = p$ et $\ln(ax+b) = q$ ; récupérer $y = ax^n$ et $y = kb^x$ à partir de graphiques logarithmiques.
• Différencier avec les règles du produit, du quotient et de la chaîne, y compris $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$ ; utiliser $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Modéliser la croissance et la décroissance ; interpréter la valeur initiale et le plancher à long terme ; critiquer le modèle.
• Intégrer les formes standards ; repérer $\int f'/f$ et $\int f'(f)^n$ ; utiliser des identités sur les carrés des fonctions trigonométriques.
• Localiser les racines par changement de signe avec une affirmation de continuité ; exécuter et vérifier une itération.