P4 · Pure Mathematics 4

Mathématiques Pures 4 (P4) est l'unité finale obligatoire de Mathématiques Niveau A International et Mathématiques Pures Niveau A International. P1–P3 sont supposés acquis et peuvent être évalués sur la copie WMA14/01 (durée 1 heure 30 minutes, 75 points ; mêmes règles concernant la calculatrice et le livret de formules). Cette référence couvre la démonstration par l'absurde, les fractions partielles, les équations paramétriques, la série binomiale générale, la dérivation implicite et paramétrique, les équations différentielles, les méthodes d'intégration étendues, les volumes de révolution et les vecteurs. séries, dérivées implicites et paramétriques, équations différentielles, méthodes d'intégration étendues, volumes de révolution et vecteurs. intégrales, volumes de révolution et vecteurs.

À connaître pour P4 (non inclus dans le livret) :

La démonstration par l'absurde suppose l'opposé de l'affirmation, en déduit une impossibilité, puis conclut que l'affirmation originale est vraie. Deux résultats classiques doivent être maîtrisés :

Exemple résolu — $\sqrt2$ est irrationnel. (Un nombre est irrationnel lorsqu'aucune fraction $\tfrac pq$ ne lui est égale.) Supposons au contraire $\sqrt2 = \tfrac pq$ sous sa termes ($p, q$ entiers premiers entre eux, $q \ne 0$).

• Carré : $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair : écrire $p = 2r$.
• Alors $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, donc $q$ est aussi pair.
• Le fait que $p$ et $q$ soient pairs contredit $\tfrac pq$ en termes irréductibles. $\blacksquare$

Exemple résolu — il existe une infinité de nombres premiers. Supposons qu'il n'en existe qu'un nombre fini : $p_1, \ldots, p_k$.

• Considérons $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. En divisant $N$ par tout $p_i$, le reste est 1.
• Ainsi, $N$ est soit premier lui-même, soit possède un facteur premier absent de la liste — dans les deux cas, un nombre premier hors de $\{p_1, \ldots, p_k\}$, ce qui contredit l'hypothèse. $\blacksquare$

Exemple résolu — contradiction trigonométrique (adapté de Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q10). Démontrer que $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ pour tout $90° < x < 180°$.

• Supposons le contraire : certains $x$ dans l'intervalle ont $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Élever au carré (les deux côtés sont non négatifs) :
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Donc aucun tel $90° < x < 180°$ n'existe et $180° < 2x < 360°$ sur tout l'intervalle. $\sin 2x < 0$
• Vérifier en $x$ : $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ ✓ ; en $\blacksquare$ :
• Vérifier à $x = 135°$ : $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓ ; à $x = 100°$ : $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Décomposer les fonctions rationnelles en fractions partielles. Les dénominateurs restent à complexité linéaire répétée : $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ ou $(ax+b)(cx+d)^2$ avec le facteur répété (degré du numérateur $(cx+d)$ celui du dénominateur) diviser d'abord. (degré du numérateur $\ge$ divisant celui du dénominateur) diviser d'abord.

Exemple résolu — facteurs distincts. Décomposer $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (de la famille P2 feuille) :

• Vérifier en $x = 0$ : GSG $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$ ; DSG $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Exemple résolu — facteur répété. Décomposer $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Établir avec le facteur répété réparti sur les deux puissances :
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Multiplier par tout : $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• En $x = 0$ : $6 = A$. En $x = -1$ : $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• Comparer $x^2$ : $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Vérifier en $x = 1$ : GSG $= \tfrac{16}{4} = 4$ ; DSG $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Équations paramétriques donnent les deux coordonnées via un paramètre $t$ : $x = f(t)$, $y = g(t)$. Passer à la forme cartésienne en isolant $t$ dans une équation et en substituant dans l'autre (ou en exploitant une identité). N'oubliez jamais les valeurs exclues de $x$ où la paramétrisation échoue.

Exemple résolu. Une courbe a $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Trouver l'équation cartésienne.

• De $x = 2t$ : $t = \dfrac x2$, donc
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Vérifier en $t = 3$ : $(x, y) = (6, 8)$ ; Cartésien : $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Exemple résolu — point paramétrique et normale (faits vérifiés d'Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q5). Une courbe paramétrique passe par $P(-7, -3)$ en $t = 2$ avec $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ là-bas (tiré de $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Pente normale : $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Vérification : $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Pour tout rationnel $n$ et $\lvert x \rvert < 1$ :

Factoriser d'abord : $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, valide pour $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Décomposer les fonctions rationnelles en fractions partielles, puis développer chaque terme. Les puissances ne s'arrêtent pas sauf si $n$ est un entier positif.

Exemple résolu (adapté de Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q8). Développer $\sqrt{4 + x}$ jusqu'à trois termes non nuls.

• Factoriser : $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, valide $\lvert x\rvert < 4$, avec $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Vérifier à $x = 1$ : la série donne $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$ ; vrai $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (le troisième terme fait descendre la valeur à deux termes 2.25 dans une marge de 0.002).

La différentiation implicite dérive des deux côtés par rapport à $x$, en traitant $y$ comme une fonction de $x$ : $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, et les produits tels que $xy$ nécessitent la règle du produit : $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Puis résoudre pour $\dfrac{dy}{dx}$.

Dérivation paramétrique : $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ lorsque $dx/dt\ne0$ ; sinon vérifier directement la tangente.

Exemple résolu — tangente implicite (adapté de Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q1). La la courbe $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ passe par le point $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Trouver la tangente à cet endroit.

• Dériver terme par terme :
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• À $\left(\tfrac12, 4\right)$ : $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, donc
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Tangente : $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Vérification : $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Formuler une équation à partir d'une description de taux, puis résoudre des équations séparables :

Vérifier toute valeur simplifiée lors de la séparation des variables : des solutions constantes peuvent être perdues. Utiliser une condition aux limites pour la solution particulière. Les taux de variation liés utilisent la règle de la chaîne : $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Exemple résolu — sphère en fusion (Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q2). Une sphère de rayon $r$ cm³ a pour volume $V = \tfrac43\pi r^3$ et fond avec $\dfrac{dV}{dt} = k$ (constante, en cm³ par seconde). Montrer que $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Dériver la relation du volume : $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Règle de la chaîne : $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, donc
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• La constante $\dfrac{k}{4\pi}$ multiplie $\dfrac{1}{r^2}$ : le taux de diminution du rayon est inversement proportionnel à $r^2$. $\blacksquare$
• Interprétation : les petites sphères disparaissent de manière disproportionnée — le dernier millimètre fond le plus rapidement.

Exemple résolu — équation séparable (adapté de Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q3). Résoudre $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, sachant que $y = 4$ lorsque $x = \tfrac\pi6$.

• Séparer : $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (le côté droit s'intègre en $\tfrac32\sec 2x$, inversant $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$) :
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Substituer $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$ : $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, donc $C = 10$ :
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Vérification : $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Substitution (généralement donnée) : réécrire l'intégrale en $u$, ajuster $dx$ via $\dfrac{du}{dx}$, intégrer, substituer ensuite. C'est la règle de la chaîne inversée.
• Intégration par parties : $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — la règle du produit inversée. Maîtrisez $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ et les répétitions de parties pour les intégrales de type $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Les fractions partielles décomposent une fonction rationnelle en sommes de $\dfrac{A}{ax+b}$ (pour intégrer aux logarithmes) et $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (aux puissances).

Exemple résolu — intégration par parties avec répétition. Calculez $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (nécessaire pour les volumes de révolution avec des courbes trigonométriques).

• Intégration par parties avec $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$ :
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Intégration par parties à nouveau sur la nouvelle intégrale ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$) :
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• L'intégrale d'origine réapparaît ; regroupez-la :
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Vérifier par dérivation : $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

La rotation de la région sous $y = f(x) \ge 0$ autour de l'axe $x$ balaye un solide dont le volume est

le volume de révolution

Élevez la fonction au carré avant d'intégrer, utilisez des identités pour gérer $\sin^2$/$\cos^2$, et séparez par linéarité. Avec des équations paramétriques, remplacez $y^2\,dx$ par $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ entre les valeurs du paramètre ; les aires sous des courbes paramétriques utilisent $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Exemple résolu — volume avec une identité (structure adaptée de Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q9). La région sous $y = 3\cos x$ pour $0 \le x \le \tfrac\pi2$ tourne autour de l'axe $x$ ; trouvez le volume exact.

• Vérification : la moyenne de $\cos^2x$ sur une demi-période est $\tfrac12$, donc $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ exactement.

Un vecteur possède une grandeur et une direction, noté $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ ou comme une colonne.

Le module est $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ ; pour $\mathbf a\ne\mathbf0$, le vecteur unitaire dans sa direction est $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. Le vecteur nul n'a pas de direction.

L'addition et la multiplication par un scalaire ont des significations géométriques (translations, dilatations, parallèle lorsque l'un est un multiple de l'autre).

Le produit scalaire $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ donne les angles entre des vecteurs non nuls via $\cos\theta$. Le vecteur position de $B$ par rapport à $A$ est $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Exemple résolu — triangle de 45° (Edexcel IAL WMA14 juin 2025 Q6, entièrement vérifié). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, et l'angle $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, donc $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$ ; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Condition d'angle avec $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$ :
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Vérification : $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ correspond au produit scalaire.

• Démonstrations par l'absurde sur la structure (√2, nombres premiers) en énonçant l'hypothèse et nommant la contradiction.
• Décomposer en fractions partielles incluant des facteurs linéaires répétés ; diviser les fractions impropres en premier ; vérifier par une valeur substituée.
• Convertir entre paramétrique ↔ cartésien avec valeurs exclues ; trouver tangentes et normales paramétriques via dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Développer $(a + bx)^n$ pour $n$ rationnel avec la condition de validité ; combiner les développements de fractions partielles.
• Différenciation implicite (règle du produit sur termes mixtes) et paramétrique ; former des équations différentielles à partir de taux liés. équations différentielles à partir de taux liés.
• Résoudre des équations séparables avec une condition aux limites ; vérifier la solution particulière.
• Intégrer par substitution, par parties (y compris répétitions, $\ln x$), et fractions partielles.
• Calculer des volumes de révolution $\pi\int y^2 dx$ et des aires paramétriques via $dx/dt$.
• Utiliser les vecteurs : grandeur, vecteurs unitaires, vecteurs de position ; produit scalaire et angles.