P2 · Pure Mathematics 2

Mathématiques pures 2 (P2) constitue la deuxième unité obligatoire des Mathématiques internationales AS et des Mathématiques Pures Internationales AS, ainsi que des deux parcours du niveau International A. Cette référence couvre tous les sujets de P2 selon la spécification Edexcel IAL (Édition 3, avril 2019) : démonstration, théorèmes du facteur et du reste, géométrie circulaire, suites et séries, exponentielles et logarithmes, identités et équations trigonométriques, points stationnaires, et intégration incluant les aires et la règle des trapèzes. la règle du trapèze.

• La copie P2 (WMA12/01) dure 1 heure 30 minutes et vaut 75 points. Connaître P1 et ses formules est supposée et pourra être évaluée sur le papier P2.
• Les mêmes règles concernant la calculatrice et le jaune Formules mathématiques et tableaux statistiques s'appliquent qu' pour P1. Les formules ci-dessous ne figurent pas dans le livret — apprenez-les par cœur.
• Les questions « Présenter toutes les étapes de votre raisonnement » rejettent les réponses obtenues uniquement à la calculatrice ; donner des valeurs inexactes Formules à connaître pour P3 (d'après les informations d'évaluation de la spécification) :

Formules à connaître pour P2 (tirées des informations d'évaluation du programme) :

Une démonstration part d'hypothèses données pour aboutir à une conclusion par des étapes logiques. P2 utilise trois méthodes :

• Démonstration par énumération : diviser les possibilités en cas et vérifier chaque cas.
• Contre-exemple : un seul exemple qui infirme l'affirmation suffit à la réfuter.
• Démonstration algébrique : partir de ce qui est donné, manipuler des identités (et non des équations à résoudre), et arriver à l'énoncé cible.

Exemple résolu — énumération (adapté de Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q10). Démontrer que pour tout entier positif $m$ qui n'est pas un multiple de 3, la valeur de $m^2 + 3m + 2$ est toujours un multiple de 3.

• Factoriser d'abord : $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Un entier positif non divisible par 3 est soit $m = 3q + 1$ soit $m = 3q + 2$ ; ce sont tous les cas, donc les épuiser prouve l'affirmation.
• Cas $m = 3q + 1$ : $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — c'est un multiple de 3.
• Cas $m = 3q + 2$ : $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — c'est un multiple de 3.
• Les deux cas donnent un multiple de 3, donc $3 \mid m^2+3m+2$ whenever $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Vérification : $m = 1$ : $6 = 3 \times 2$ ✓ ; $m = 2$ : $12 = 3 \times 4$ ✓ ; $m = 4$ : $30$ ✓ ; $m = 5$ : $42$ ✓.

Exemple résolu — contre-exemple. Réfuter : « $n^2 - n + 1$ est premier pour tous les entiers ». $n \ge 2$."

• Une seule contre-exemple suffit. Essayons $n = 5$ : $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, ce qui n'est pas premier.
• L'énoncé est faux. Vérifier que $n = 2,3,4$ donne les premiers $3, 7, 13$ — le motif tient au début, ce qui explique précisément pourquoi c'est une contre-exemple, et non davantage d'exemples, qui tranchera la question.

Pour un polynôme $f(x)$ :

• Théorème du facteur : $(x - b)$ est un facteur de $f(x)$ si et seulement si $f(b) = 0$. Pour les diviseurs de la forme $(ax - b)$ : si $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ alors $(ax - b)$ est un facteur.
• Théorème du reste : en divisant $f(x)$ par $(ax - b)$, le reste est $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• La division algébrique par $(ax \pm b)$ donne un quotient et un reste ; le degré diminue d'une unité : $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Exemple résolu — les deux théorèmes à la fois (adapté d'Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, où $(x+3)$ est un facteur de $f(x)$ et la division de $f(x)$ par $(2x - 1)$ laisse pour reste 7.

(a) Montrer que $b = 3a + 2$.

• Théorème du facteur : $f(-3) = 0$ :
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Trouver $a$ et $b$.

• Théorème du reste avec $(2x-1)$ : $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$ :
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Remplacer $b = 3a + 2$ : $a + 6a + 4 = 60$, donc $a = 8$ et $b = 26$.
• Vérification : $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ et $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Quotient et reste lorsque $f(x)$ est divisé par $(x - 2)$.

• Diviser $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ par $(x-2)$ : quotient $8x^2 + 42x + 89$, reste $175$.
• Vérification en reconstruisant : $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Un cercle de centre $(a, b)$ et de rayon $r$ a pour équation

Étant donné la forme développée $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, compléter le carré pour retrouver le centre $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ et $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Trois propriétés du cercle sont examinées :

• l'angle dans un demi-cercle est droit ;
• la perpendiculaire abaissée du centre sur une corde en bissecte la longueur ;
• une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact.

Exemple résolu — extrémités d'un diamètre (adapté de Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q2). La droite reliant $(-2, 5)$ et $(4, 15)$ est un diamètre du cercle $C$.

(a) Équation de $C$.

• Le centre est le milieu : $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• Le carré du diamètre : $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, donc $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Vérification : les deux extrémités satisfont l'équation : $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ et $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) Coordonnées exactes du point sur $C$ le plus proche de l'axe $x$.

• Le point le plus proche se trouve sur le rayon vertical : même $x$ que le centre, $r$ en dessous :
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Vérification : $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, et aucune valeur de $y$ plus petite n'est possible car le centre est situé $10 > \sqrt{34}$ au-dessus de l'axe.

Une suite peut être donnée par une formule pour le terme $n$ ou par une relation $x_{n+1} = f(x_n)$. Décrivez-la comme croissante, décroissante ou périodique (à partir de ses termes, pas de sa formule).

Suites arithmétiques : différence constante $d$.

La preuve de la formule de la somme (écrire $S_n$ vers l'avant et vers l'arrière, additionner) doit être connue, ainsi que la notation $\Sigma$.

Suites géométriques : rapport constant $r$.

La preuve de la formule de la somme (téléscopage $S_n - rS_n$) doit être connue. Utilisez les logarithmes pour résoudre pour $n$ lorsque la valeur d'un terme est donnée.

Développement du binôme pour un entier positif $n$ :

Exemple résolu — série géométrique avec logarithmes (adapté de Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q7). Une série géométrique commence par $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(a) Somme à l'infini.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$ et $|r| < 1$ :
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) Le $k$e terme est inférieur à 0.0005 — trouvez le plus petit $k$, par algèbre.

• Le $k$e terme est égal à $10(0.8)^{k-1}$ :
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Prenez les logarithmes (le logarithme d'un nombre inférieur à 1 est négatif — conservez le sens de l'inégalité lors de la division par celui-ci) :
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Donc $k > 45.38$ et le plus petit entier est $k = 46$.
• Vérification : $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ mais $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

Exemple résolu — somme arithmétique maximale (adapté de la même question). Une suite arithmétique commence à $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Sa plus grande somme partielle :

• Les termes restent positifs jusqu'à $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, donc $n \le 122.4$ ; le terme 122 est $850 - 7(121) = 3 > 0$ et le terme 123 est $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Vérification : ajouter un terme négatif 123 réduirait la somme, donc $S_{122}$ est le maximum ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) passe par $(0, 1)$ et croît sans limite pour $a > 1$. Le logarithme $\log_a x$ l'inverse : $\log_a x = y$ signifie $a^y = x$. Connaître :

et $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Résoudre $a^x = b$ avec $x = \log_a b$ (un changement de base peut être utilisé). Toujours vérifier les candidats dans le domaine : les logarithmes nécessitent des arguments positifs.

Exemple résolu — une équation logarithmique (adapté d'Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q6). Résoudre $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Mettre tout en un seul logarithme par côté :
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Des logarithmes égaux donnent des arguments égaux :
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Vérification du domaine : $4 - x > 0$ nécessite $x < 4$, donc $x = 14$ est rejeté. $x = -2$.
• Vérification : MGS $= 2\log_2 6$ ; DGS $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Exemple résolu — intersection exacte sous forme $\log_3$ (même question). Les courbes $y = 3^{2x+1}$ et $y = 6 \times 3^x$ se coupent en $P$ ; écrire $P$ comme $(\log_3 a, b)$.

• Égaliser et substituer $u = 3^x$ :
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, donc $a = 2$, $b = 12$. Vérification : $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Deux identités permettent de convertir entre le sinus, le cosinus et la tangente :

Résoudre des équations trigonométriques dans un intervalle donné en les réduisant à une seule fonction (souvent un quadratique caché), puis lire la seconde solution à partir de la symétrie du graphique. Indiquer l' intervalle, travailler dans ses unités (degrés ou radians) et rejeter les valeurs qui ne lui appartiennent pas.

Exemple résolu — radians et fractions exactes (adapté de Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q8). Résoudre $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ pour $0 \le x < \pi$.

• Diviser par 3 : $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, et $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• Dans $0 \le x < \pi$ : $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) et $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Vérifier à $x = \frac{29\pi}{60}$ : $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ et $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Exemple résolu — quadratique caché en cosinus (même question). Résoudre $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ pour $0 \le \theta < 360°$.

• Remplacer $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ et multiplier tout par $\cos\theta$ :
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Utiliser $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ :
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Formule quadratique en $\cos\theta$ :
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• La racine $-$ est inférieure à $-1$ (à rejeter) ; $\cos\theta = 0.6385$ donne $\theta = 50.3°$ et, d'après la symétrie du cosinus, $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Vérification : $\cos 50.3° = 0.638$ ✓ ; les deux angles se situent bien dans l'intervalle ✓.

Points stationnaires ont $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Classer avec le signe de la dérivée :

• la dérivée passe de $+$ à $-$ : maximum ;
• la dérivée passe de $-$ à $+$ : minimum ;
• la dérivée seconde aide : $f''(x) > 0$ au point confirme un minimum, $f''(x) < 0$ un maximum.

Une fonction est croissante où $f'(x) > 0$ et décroissante où $f'(x) < 0$. Les problèmes pratiques — quantité minimale de matériau, coût minimal — se traduisent par la minimisation d'une expression en une variable.

Exemple résolu — un minimum de modélisation (adapté d'Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q9). Une rigole ouverte possède des extrémités triangulaires rectangles avec des côtés de $3x$ et $2x$ (mètres), des faces rectangulaires $3x \times L$ et $2x \times L$, et une capacité $12\ \text{m}^3$. L'aire métallique est $S\ \text{m}^2$.

(a) Montrer que $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Volume : section transversale $\times$ × longueur $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, donc $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Surface : deux triangles plus les deux rectangles :
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Minimum $S$ par calcul différentiel.

(c) Justifier le minimum.

• Dérivée seconde positive partout sur le domaine : le point stationnaire est un minimum ✓.
• Vérification : en $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Évaluez les intégrales définies à l’aide du théorème fondamental :

L’intégrale définie correspond à l’aire sous la courbe pour $y \ge 0$. Pour une région bornée par une courbe et une droite, intégrer (supérieure − inférieure) entre leurs intersections, en découpant chaque fois que leur ordre change. Vérifier quel graphique est au-dessus de l'autre.

Exemple résolu — aire entre une courbe et une droite (adapté de Edexcel IAL WMA12 juin 2025 Q3). $C$ : $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) avec $P(1, 11)$ et $Q(4, 5)$ sur $C$ ; trouver l’aire entre $C$ et le segment de droite $PQ$.

• Droite $PQ$ : pente $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, donc $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Vérification $Q$ : $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Aire sous la droite : $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Aire sous la courbe : $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Aire de la région : $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ unités carrées.
• Vérification : la droite est au-dessus de la courbe partout (en $x = 2$ : droite $9$, courbe $3(2) + 4 - 8 = 2$), donc soustraire la courbe à la droite est le bon sens ✓.

La règle des trapèzes approxime une aire avec $n$ bandes de largeur $h$ :

Plus de bandes (ou une courbe plus droite) améliorent l’estimation ; une courbe qui s’infléchit vers le haut (convexe, en U comme $x^2$) place chaque corde au-dessus d’elle, donc la règle surestime, tandis qu’une courbe qui s'infléchit vers le bas (concave, comme $\sqrt x$ ou un arc de cercle) laisse les cordes en dessous elle, donc la règle sous-estime.

Exemple résolu — méthode du trapèze avec un tableau. Estimer $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ avec 4 bandes.

• Quatre bandes sur $[1, 3]$ donnent $h = 0.5$ et cinq valeurs de $y = \dfrac1x$ : à $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ les valeurs sont $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• La valeur vraie est $\ln 3 = 1.099$ (3 chiffres significatifs). L'estimation est une surestimation : $y = 1/x$ est convexe (elle s'infléchit vers le haut), donc chaque bande droite se situe au-dessus de la courbe ✓.

• Structurer une preuve ; utiliser l'épuisement par cas complets ; infirmer avec un seul contre-exemple.
• Appliquer les théorèmes du facteur et du reste, y compris les diviseurs $(ax - b)$, et effectuer l'algèbre division avec quotient et reste.
• Trouver le centre et le rayon d'un cercle à partir de l'une ou l'autre forme ; utiliser les trois propriétés du cercle.
• Utiliser $a_n$, $S_n$ et $S_\infty$ pour les séries arithmétiques et géométriques (preuves des formules de somme), notation $\Sigma$, et logarithmes pour trouver $n$.
• Développer $(a + bx)^n$ avec les coefficients binomiaux, et identifier les coefficients donnés.
• Résoudre les équations logarithmiques avec les trois lois, vérifier les domaines ; donner les intersections exactement comme $(\log_a b, c)$ si demandé.
• Réduire les équations trigonométriques avec $\tan = \sin/\cos$ et $\sin^2 + \cos^2 = 1$ ; résoudre en degrés ou radians selon l'énoncé, en listant toutes les solutions dans l'intervalle.
• Trouver et classifier les points stationnaires ; justifier par un changement de signe ou la dérivée seconde ; mettre en place modélisation des minima à une variable.
• Évaluer des intégrales définies ; trouver les aires sous les courbes et entre la courbe et la droite ; appliquer la règle du trapèze à partir d'un tableau et indiquer le sens de son erreur.