De la poche de glace à l'étoile
Une poche de glace, un pont oscillant et une étoile lointaine impliquent tous l'énergie. Cette unité lie le mouvement moléculaire, les changements nucléaires, les oscillations et les observations astronomiques. La tâche consiste souvent à vérifier une affirmation, et non simplement à calculer un nombre : énoncez le modèle, conservez les unités tout au long du calcul, puis comparez votre résultat avec l'affirmation.
WPH15 couvre les énoncés 125–171 du document Pearson 3. Il utilise également les Unités 1, 2 et 4. Traiter les fiches 5.1–5.9 avant leurs ensembles authentiques correspondants. Utiliser les constantes fournies de manière cohérente : $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ et $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ sauf si la question indique une valeur locale différente. Ici $k_B$ est la constante de Boltzmann ; $k_s$ désigne une constante de ressort.
Chauffage, changement de phase et étalonnage de thermistance
Suivez l'énergie, pas seulement la température
Énergie interne est l'énergie totale due au mouvement aléatoire et aux interactions des molécules : énergie cinétique aléatoire plus énergie potentielle intermoléculaire. Elle exclut l'énergie cinétique de l'objet entier se déplaçant en bloc. La température est liée à l'énergie cinétique moyenne aléatoire des molécules, pas à l'énergie interne totale. Deux échantillons à la même température peuvent avoir des énergies internes différentes car leurs quantités et états diffèrent.
Capacité thermique massique $c$ est l'énergie nécessaire par kilogramme pour une élévation d'un kelvin sans changement d'état. Chaleur latente spécifique $L$ est l'énergie transférée par kilogramme lors d'un changement d'état particulier à température constante.
Une différence de température de $1\ ^\circ\mathrm C$ correspond à une différence de $1\ \mathrm K$. Les températures absolues dans les lois des gaz et du rayonnement doivent être en kelvin. Pendant la fusion ou l'ébullition, l'énergie modifie les arrangements moléculaires et l'énergie potentielle tandis que la température reste constante lors d'un changement de phase idéal à pression constante. Un sachet de glace absorbe de l'énergie des aliments/environnement lors de sa fusion. Il n'émet pas d'« énergie froide » vers les aliments.
À puissance de chauffage constante, des pentes température-temps plus raides indiquent une capacité thermique massique plus faible $mc$, à perte de chaleur négligeable près. Une section plate ne signifie pas que le transfert d'énergie a cessé. Pour un réchauffeur, l'énergie fournie est $E_{\rm in}=Pt=VIt$ ; l'énergie thermique utile peut être inférieure car une partie s'échappe vers l'environnement.
Exemple résolu. Un bloc de glace de masse $0.40\ \mathrm{kg}$ à la température initiale $-10\ ^\circ\mathrm C$ fond en eau à la température finale $0\ ^\circ\mathrm C$. Utiliser $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ et $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Données connues : masse, températures initiales/finales et constantes matérielles. Pourquoi : réchauffer le solide et le faire fondre sont des transferts d'énergie séparés.
Exemple résolu. Un appareil de chauffage $1000\ \mathrm W$ fait s'évaporer $0.20\ \mathrm{kg}$ d'eau en $600\ \mathrm s$. Trouvez le rendement, en utilisant $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Pour plusieurs cycles de bouilloire, calculer le volume total d'eau, le nombre de charges et la durée totale de fonctionnement. Comparer les énergies sur le même intervalle spécifié. Les pertances en veille sur une journée et l'énergie requise pour faire bouillir l'eau sont des grandeurs distinctes ; préciser ce qu'une comparaison donnée établit réellement.
CP12 : calibrer un thermostat
Un thermistor a une résistance qui varie avec la température. Le thermistor usuel à coefficient de température négatif (NTC) voit sa résistance diminuer lorsqu'il est chauffé. Dans un diviseur de tension :
Avec le thermistor comme résistance inférieure et la sortie mesurée à travers lui, le réchauffement réduit la tension de sortie. Inverser les positions des résistances inverse cette tendance. Un thermostat bascule à un seuil de sortie choisi ; le diviseur seul n'est pas un dispositif de commutation complet.
Pour la pratique centrale 12, placer le thermistor et un thermomètre de référence proches dans un bain d'eau agité. Garder les contacts électriques secs et isolés. À plusieurs températures couvrant la plage visée, attendre l'équilibre thermique et noter la température et la tension du diviseur. Maintenir la tension d'alimentation et la résistance fixe inchangées. Utiliser un voltmètre à haute impédance d'entrée pour réduire le chargement. Tracer la sortie en fonction de la température et interpoler la tension pour la température de commutation choisie. Répéter les lectures ou comparer réchauffement/refroidissement pour révéler un retard. Ne pas supposer une calibration linéaire sans preuve. Utiliser une basse tension électrique et prendre garde avec l'eau chaude.
CP13 : mesurer la chaleur latente
Fournir une puissance électrique mesurée à un matériau pendant son changement de phase. Mesurer la masse fondue ou évaporée sur un intervalle chronométré après stabilisation des conditions. Une balance mesure le changement de masse ; ne pas confondre le volume de liquide recueilli avec la masse. Sans correction de perte, $L=VIt/\Delta m$ suppose que toute l'énergie fournie provoque le changement de phase.
Une correction utile consiste à comparer deux puissances à la même température de changement de phase stable. Si la puissance de perte thermique est approximativement inchangée, soustraire les deux mesures l'élimine :
Indiquer l'hypothèse de perte constante. Une mesure de contrôle de la fusion sans le réchauffeur est une autre correction possible dans une expérience sur la glace adaptée. Réduire les pertes de chaleur avec de l'isolation où c'est sûr ; éviter les éclaboussures, les surfaces chaudes et les branchements secteur dangereux.
Gaz parfaits et énergie cinétique moléculaire
Kelvin et le modèle du gaz parfait
Zéro absolu est $0\ \mathrm K$, soit environ $-273\ ^\circ\mathrm C$. C'est la limite inférieure de la température thermodynamique. Dans le modèle classique du gaz parfait, l'énergie cinétique de translation moyenne tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. Les gaz réels se condensent avant que cette extrapolation ne soit atteinte ; ne pas affirmer que les molécules dans tout matériau réel perdent toute leur énergie possible.
La température absolue s'exprime en kelvin : $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ avec la précision habituellement employée ici. Un gaz parfait est composé de particules de volume négligeable, sans forces intermoléculaires sauf lors de collisions élastiques, et en mouvement aléatoire. La pression résulte des changements de quantité de mouvement aux parois.
Ici, $N$ désigne le nombre de molécules, et non le nombre de moles. Utiliser la pression en pascals, le volume en mètres cubes et la température en kelvins. Pour un nombre fixe de molécules :
À volume constant, la pression est proportionnelle à la température en kelvins. À température constante, $pV$ reste constant. Inclure la pression atmosphérique si le manomètre indique une pression relative à celle-ci.
Exemple résolu. Un récipient rigide de $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ contient un gaz à $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ et $300\ \mathrm K$. Calculer $N$ et la pression après réchauffement jusqu'à $360\ \mathrm K$.
Si une molécule a une masse $m_0$, la masse totale du gaz est $Nm_0$. Pour une sphère, déterminer d'abord $V=4\pi r^3/3$ ; le rayon est la moitié du diamètre.
Déduire la relation énergétique moléculaire
La relation de pression de la théorie cinétique est $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, où $\langle c^2\rangle$ représente la vitesse quadratique moyenne. Elle découle des changements de quantité de mouvement élastiques sur une paroi et d'un mouvement moyen équivalent dans les trois directions perpendiculaires. La vitesse efficace quadratique est $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$ ; ce n'est pas le carré de la vitesse moyenne.
Pour un cube de côté $l$, une molécule dont la composante de vitesse est $c_x$ change la quantité de mouvement de la paroi de $2m_0c_x$ à chaque collision élastique. Son temps de retour à cette même paroi est $2l/c_x$. Sa force moyenne est donc $m_0c_x^2/l$. Sommer sur toutes les molécules et diviser par l'aire de la paroi $l^2$ :
Le mouvement aléatoire étant également réparti entre les directions perpendiculaires, $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Cela donne la relation de pression ci-dessus. Égaliser les deux expressions pour $pV$, simplifier $N$, puis réarranger :
À une température donnée, différentes espèces gazeuses possèdent des énergies cinétiques de translation moyennes égales, mais les molécules plus légères ont des vitesses RMS supérieures. Si la vitesse double à température constante, la masse moléculaire est divisée par quatre. Le chauffage augmente l'énergie cinétique moyenne des molécules, mais ne leur attribue pas toutes la même vitesse.
CP14 : pression et volume à température constante
Piéger une quantité fixe de gaz dans une seringue ou un cylindre étalonné connecté à un capteur de pression. Vérifier l'étalonnage et utiliser la pression absolue. Inclure le volume mort des tuyaux de connexion s'il est significatif. Modifier le volume progressivement, attendre après chaque changement que la température revienne à celle de l'environnement, puis enregistrer plusieurs paires pression–volume. Ne pas laisser le gaz s'échapper. Un graphique de $p$ en fonction de $1/V$ doit être une ligne droite passant par l'origine dans les limites d'incertitude. Une courbe $p$–$V$ n'est pas linéaire. Éviter les pressions excessives et assurer des connexions solides. Une compression rapide chauffe le gaz et viole la condition de température constante souhaitée.
Énergie de liaison, fission et fusion
Le défaut de masse est une différence d'énergie
Un noyau contient $Z$ protons et $A-Z$ neutrons. Sa masse est inférieure à la somme des masses de ces nucléons libres. Ce défaut de masse correspond à l'énergie de liaison nécessaire pour séparer complètement le noyau en nucléons libres :
Ici, $c_0$ est la vitesse de la lumière, distincte de la capacité thermique massique. L'unité de masse atomique unifiée est $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Convertir toutes les masses dans la même unité avant de soustraire. Les masses nucléaires et les masses d'atomes neutres ne sont pas interchangeables sans tenir compte de manière cohérente des électrons. Utiliser les masses réellement fournies par l'énoncé.
Exemple résolu. Un noyau présente un défaut de masse de $0.030\ \mathrm u$ et contient $A=4$ nucléons. Calculer l'énergie de liaison par nucléon.
Pourquoi la fusion et la fission peuvent toutes deux libérer de l'énergie
La courbe de l'énergie de liaison par nucléon monte rapidement pour les noyaux légers, atteint un pic près du fer/nickel, puis diminue progressivement pour les noyaux lourds. Une énergie de liaison plus élevée par nucléon signifie généralement que les nucléons sont plus fortement liés. C'est la valeur verticale, et non seulement le nombre de masse, qui compte lors de la comparaison des points.
La fusion nucléaire combine des noyaux légers. La fission nucléaire scinde un noyau lourd en produits plus petits, souvent accompagnée de neutrons. De l'énergie est libérée lorsque les produits ont une énergie de liaison totale supérieure et une masse au repos totale inférieure à celle des réactifs. Pour une réaction, calculez la différence de masse totale, et non simplement une différence entre deux valeurs d'énergie de liaison par nucléon. L'énergie totale est conservée.
La fusion nécessite une température très élevée pour fournir aux noyaux assez d'énergie cinétique pour s'approcher malgré la répulsion électrostatique, ainsi qu'une densité/une confinement élevés pour provoquer suffisamment de rapprochements et maintenir la libération d'énergie. La température et la densité jouent des rôles différents. Nommer simplement « haute pression » n'explique pas le franchissement de la répulsion.
Rayonnement, fondamental et désintégration
Choisir le rayonnement selon son interaction
Le rayonnement alpha consiste en des noyaux d'hélium : fortement ionisant, à courte portée, arrêté par une feuille de papier ou quelques centimètres d'air. Le rayonnement beta consiste en des électrons ou positrons : moins ionisant, plus pénétrant, généralement arrêté par quelques millimètres d'aluminium. Le rayonnement gamma est un rayonnement électromagnétique : faiblement ionisant et hautement pénétrant ; le plomb ou le béton réduit son intensité mais ne fournit pas d'épaisseur d'arrêt nette.
Dans une chambre à brouillard, les traces alpha sont épaisses principalement en raison d'une forte ionisation, et relativement droites car les particules ont une grande masse comparée aux particules bêta. Les traces bêta sont plus fines et plus facilement déviées. Ne pas inverser ces explications. Le rayonnement bêta peut mesurer l'épaisseur du papier car une partie traverse et une partie est absorbée ; un changement d'épaisseur modifie le taux de comptage transmis.
Dans les équations nucléaires, conservez le nombre de nucléons et le numéro de charge. La désintégration bêta moins convertit un neutron en proton ; le nombre de masse reste inchangé et le numéro atomique augmente d'une unité. Incluez l'antineutrino là où c'est nécessaire, comme dans l'Unité 4 :
La désintégration alpha réduit $A$ de quatre et $Z$ de deux. L'émission gamma ne modifie ni $A$ ni $Z$. Les équations nucléaires conservent plus que ces deux nombres : l'énergie et la quantité de mouvement restent importantes.
Corriger le fondamental avant d'appliquer un modèle
Le rayonnement de fond provient de sources telles que les roches, les rayons cosmiques et l'environnement. Mesurez-le pendant un temps suffisamment long avec la source d'essai absente. Soustrayez son taux de comptage de chaque lecture source+fondamental. Gardez les unités de temps de comptage cohérentes. Le taux de comptage détecteur corrigé est proportionnel à l'activité de la source uniquement si la géométrie et l'efficacité de détection restent inchangées ; ce n'est pas automatiquement l'activité en becquerels.
Exemple résolu. Un détecteur lit $62\ \mathrm{min^{-1}}$ à une distance $r$, incluant le fondamental $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Prédir le taux total à $2r$ pour une petite source gamma isotrope avec absorption négligeable.
Ne divisez pas le fondamental par quatre : il ne provient pas entièrement de la source d'essai.
Événements aléatoires, populations prévisibles
La désintégration radioactive est spontanée : un noyau instable se désintègre sans déclencheur externe. Elle est aléatoire : le moment exact pour un noyau individuel ne peut être prédit. Une grande population présente un motif de désintégration statistique prévisible. L'activité $A$ est le nombre de désintégrations par seconde, mesurée en becquerels, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.
La constante de désintégration $\lambda$ est la probabilité par unité de temps de désintégration pour un noyau. La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps nécessaire pour que la population non désintégrée, ou l'activité, diminue de moitié en moyenne.
À une demi-vie, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. En prenant les logarithmes, on obtient :
Une ligne d'activité logarithmique-temps a une pente $-\lambda$. Prenez les logarithmes des taux corrigés, et non les lectures source+fondamental. Lisez plusieurs intervalles de demi-vie sur un graphique et faites la moyenne ; mesurez depuis le niveau d'activité corrigé, et non depuis zéro comptages totaux.
Exemple résolu. Une source a une demi-vie $3.0\ \mathrm{years}$. À quel moment l'activité tombera-t-elle à $2.0\%$ de sa valeur initiale ?
Utilisez une fraction, pas $2.0$ dans le logarithme. Si vous calculez la puissance d'une source radioactive, $P=A E_{\rm decay}$, avec l'énergie par désintégration en joules. Il s'agit de la puissance nucléaire libérée ; la production électrique utile peut être inférieure. Convertissez la demi-vie en secondes lorsque l'activité doit être exprimée en becquerels.
CP15 : absorption du rayonnement gamma par le plomb
Maintenez la source, l'absorbeur et le détecteur en positions fixes. Mesurez le fond ambiant, puis les comptes sur des intervalles égaux et connus pendant plusieurs épaisseurs totales de plomb. Répétez ou prolongez le temps de comptage car les comptes fluctuent. Soustrayez le taux de fond avant de comparer la transmission. Si chaque épaisseur égale donne la même réduction fractionnelle, l'atténuation est exponentielle ; un graphique du log du taux corrigé en fonction de l'épaisseur est approximativement linéaire. Trois demi-valeurs d'épaisseur transmettent $1/8$, pas $1/3$.
La constante d'absorption du matériau n'est pas la constante de décroissance temporelle de la source. Évitez les lectures trop proches du fond ambiant, où la soustraction entraîne une incertitude relative élevée. Manipulez les sources avec les outils spécifiés sous supervision, gardez une distance, minimisez le temps d'exposition et rangez-les dans leur blindage. Ne touchez jamais une source ni ne la dirigez vers des personnes. Gardez propre la manipulation du plomb et lavez-vous les mains.
Mouvement harmonique simple, graphiques et énergie
La condition de rappel
Mouvement harmonique simple (MHS) se produit lorsque l'accélération résultante est proportionnelle au déplacement par rapport à une position d'équilibre fixe et dirigée vers celle-ci :
Le signe négatif indique la direction de rappel. Une vitesse constante, la répétition seule ou une force pointant simplement vers un centre n'établissent pas le MHS. Pour un ressort suspendu verticalement, mesurez $x$ à partir de la position d'équilibre chargée. Le poids y est déjà équilibré ; la résultante pour un déplacement est $-k_sx$.
Pour un relâchement depuis un déplacement maximal positif à $t=0$ :
Ici $A_0$ est l'amplitude, pas l'activité radioactive. La phase dépend du temps de départ choisi ; une sinusoïde de déplacement peut décrire le même mouvement avec une autre origine. Différenciez graphiquement : la pente du déplacement–temps est la vitesse, et la pente du vitesse–temps est l'accélération. Au déplacement maximal, la vitesse est nulle et l'accélération pointe vers l'équilibre. À l'équilibre, la vitesse est maximale et l'accélération est nulle.
Exemple résolu. Un graphique donne une amplitude $0.030\ \mathrm m$ et une période $0.50\ \mathrm s$. Trouvez la vitesse et l'accélération maximales.
Alternativement, trouvez la vitesse maximale à partir d'une tangente au graphique du déplacement à l'équilibre. Convertissez les centimètres en mètres. Une pente droite négative entre $a$ et $x$ est $-\omega^2$, donc prenez son opposé avant la racine carrée.
Périodes et énergie
Pour une masse sur un ressort idéal et pour un pendule simple aux petits angles :
La longueur du pendule va du pivot au centre de la masse. La période aux petits angles ne dépend pas de la masse de la masse suspendue. Un rapport de périodes pour un seul ressort inchangé donne $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Utilisez la masse totale nouvelle avant de trouver la masse ajoutée.
Exemple résolu. Une masse $0.50\ \mathrm{kg}$ a une période $0.80\ \mathrm s$. Une masse supplémentaire augmente la période à $1.00\ \mathrm s$ sur le même ressort.
Pour un oscillateur à ressort non amorti, l'énergie se transfère entre les réserves d'énergie potentielle élastique et cinétique :
Ainsi, le graphique $E_k$–$x$ est une parabole inversée : zéro à $\pm A_0$, maximum positif à $x=0$. Le graphique $E_p$–$x$ s'ouvre vers le haut. Leur somme est constante dans le modèle non amorti. Dans un système amorti, l'énergie est transférée vers l'extérieur, donc l'amplitude diminue. L'énergie totale incluant l'environnement reste conservée.
CP16 : déduire une masse inconnue à partir de la résonance
Conserver le même système ressort/support. Fixer plusieurs masses connues, actionner avec de petites oscillations et faire varier la fréquence pour trouver l'amplitude stationnaire maximale pour chaque masse. Enregistrer la fréquence de résonance, en répétant lentement autour de chaque maximum. Avec un faible amortissement, cela approxime la fréquence propre. Tracer $1/f^2$ en fonction de la masse totale connue ; le modèle du ressort donne une pente $4\pi^2/k_s$. Utiliser l'étalonnage pour déduire une masse inconnue à partir de sa fréquence de résonance.
Tenir compte d'un porte-charge et, là où c'est significatif, de la masse effective mobile du ressort. Une ordonnée à l'origine non nulle peut représenter cette contribution ; ne pas forcer la droite à passer par l'origine sans justification. Conserver les amplitudes faibles et en dessous de la limite élastique. Bien fixer les masses et le support, et garder les pieds au sec. Mesurer des périodes libres peut fournir une comparaison indépendante utile, mais la pratique spécifiée utilise les fréquences de résonance.
Oscillations forcées, résonance et amortissement
Une oscillation libre suit une perturbation initiale sans entraînement périodique continu. Une oscillation forcée est entretenue par une force motrice périodique ; sa fréquence stationnaire est la fréquence d'entraînement. La fréquence propre est la fréquence d'oscillation libre du système dans les conditions données.
La résonance se produit lorsque la fréquence d'entraînement est égale ou proche de la fréquence propre, permettant un transfert efficace d'énergie et une grande amplitude stationnaire. Cela ne signifie pas « fréquence maximale ». Pour un système faiblement amorti, le pic d'amplitude est proche de la fréquence propre non amortie. Un amortissement plus élevé abaisse et élargit le pic ; ne pas présenter chaque pic amorti comme exactement à la fréquence propre non amortie.
L'amortissement dissipe l'énergie hors de l'oscillation, par exemple par un travail résistant qui augmente l'énergie thermique des amortisseurs et de l'environnement. Un amortissement plus fort peut réduire les mouvements dangereux d'un pont ou d'un bâtiment. La déformation plastique d'un matériau ductile absorbe également l'énergie mécanique de manière irréversible ; la déformation purement élastique restitue l'énergie stockée et n'est pas le même mécanisme.
Explication travaillée. Les piétons fournissent une force motrice périodique à un pont. Si sa fréquence est proche d'une fréquence propre, l'énergie se transfère efficacement vers le pont et l'amplitude augmente. Les amortisseurs effectuent un travail contre le mouvement, transférant l'énergie d'oscillation vers des réserves thermiques, limitant ainsi l'amplitude stationnaire. Relier cause et effet dans cet ordre plutôt que de lister « résonance, énergie, amortissement ».
Pour la même forme et amplitude, ajouter de la masse à un pendule léger augmente son énergie mécanique stockée tandis que la période idéale à petit angle reste inchangée. Sous pertes résistives comparables, il peut perdre une fraction plus petite d'énergie par cycle. Cette comparaison contextuelle de l'amortissement ne prouve pas qu'un oscillateur plus lourd amortisse toujours plus lentement.
Champs gravitationnels et orbites
Champ et potentiel ont des sens différents
Un champ gravitationnel est une région où une masse subit une force. L'intensité du champ gravitationnel $g=F/m$ est la force par unité de masse test. C'est un vecteur pointant vers une masse source isolée. La loi de Newton pour des masses ponctuelles, ou à l'extérieur d'une source sphérique symétrique, est :
$r$ est la distance centre à centre, pas la hauteur au-dessus de la surface. Pour les mouvements locaux près de la Terre, une intensité constante $g$ peut convenir. Sur de grandes distances radiales, elle n'est pas constante.
Le potentiel gravitationnel est l'énergie potentielle par unité de masse, avec zéro à l'infini :
Le potentiel est scalaire et négatif à distance finie. Se déplacer vers l'extérieur le rend moins négatif, donc l'énergie potentielle augmente tandis que la force attractive diminue. Une valeur du graphique de potentiel et son rayon correspondant donnent $M=-Vr/G$.
Les champs gravitationnels et électriques sont tous deux radiaux pour des sources ponctuelles isolées et leurs intensités de force obéissent aux lois d'inverse du carré. La gravité agit sur la masse et est attractive dans ce modèle. La force électrique agit sur la charge et peut attirer ou repousser. La direction du champ électrique suit la force sur une charge test positive ; une charge négative est poussée en sens opposé.
Exemple travaillé. Un satellite de masse $1000\ \mathrm{kg}$ passe du rayon $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ au rayon $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ autour de la Terre, dont la masse est $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Trouver sa variation d'énergie potentielle.
Le signe positif correspond à final moins initial. Ce n'est pas l'énergie totale de lancement, car l'énergie cinétique peut aussi changer. L'utilisation de $mg\Delta h$ avec une intensité de surface constante $g$ est inappropriée sur cette distance.
Dériver une orbite circulaire
La force gravitationnelle fournit la résultante vers l'intérieur :
La masse orbitante s'annule. La période augmente avec le rayon. Pour sembler stationnaire au-dessus d'un point d'une planète en rotation, un satellite nécessite une orbite circulaire équatoriale, dans le même sens de rotation et avec une vitesse angulaire/période correspondantes. Une période correspondante seule est insuffisante.
Exemple résolu. Pour $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ et une période $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, trouver le rayon d'une orbite géostationnelle.
Soustraire le rayon planétaire uniquement si la hauteur au-dessus de la surface est demandée. Pour le champ de surface d'une étoile, utiliser son rayon, pas son diamètre indiqué ; vérifier une affirmation sur un multiple du champ terrestre en calculant le rapport.
Rayonnement stellaire, distances et évolution
Température, luminosité et intensité reçue
Un corps noir absorbe tout rayonnement électromagnétique incident et est un émetteur thermique idéal. Son spectre continu a une forme caractéristique. L'augmentation de la température accroît la puissance totale émise par unité de surface et déplace le pic de longueur d'onde vers des longueurs plus courtes. L'aire sous une courbe d'intensité spectrale représente l'intensité totale uniquement avec la définition appropriée de l'axe spectral.
Luminosité $L_\star$ est la puissance totale émise. Intensité $I$ reçue à une distance $d$ est la puissance par unité de surface réceptrice. Pour une étoile sphérique à corps noir de rayon $R$ rayonnant également dans toutes les directions :
La première aire est la surface émissive ; la seconde est la sphère réceptrice en expansion. Ne pas substituer la distance de l'observateur à l'aire de surface de l'étoile. Les émetteurs réels peuvent ne pas être des corps noirs parfaits, et la matière intermédiaire peut absorber le rayonnement.
La constante de Wien statede décrit un spectre par unité de longueur d'onde. Un maximum d'un spectre tracé par unité de fréquence ne se transforme pas en ce maximum de longueur d'onde simplement en remplaçant $\lambda$ par $c_0/f$. Si un examen donne la fréquence correspondant à son pic de longueur d'onde spécifié, convertir cette longueur d'onde donnée via $c_0=f\lambda$. Ne pas transformer cette convention de tâche particulière en règle générale pour tout tracé spectral.
Exemple résolu. Le spectre en longueur d'onde d'une étoile présente un maximum à $580\ \mathrm{nm}$ et son rayon est $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Trouver la température, la luminosité et l'intensité à $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.
Conserver la température non arrondie car elle est élevée à la puissance quatrième. Comparer l'intensité reçue à la référence indiquée avant d'accepter une affirmation sur la température planétaire ou la puissance.
Deux méthodes de distance
Parallaxe trigonométrique mesure le déplacement angulaire apparent d'une étoile proche par rapport aux étoiles lointaines alors que la Terre orbite autour du Soleil. Des observations espacées de six mois utilisent une base de deux rayons d'orbite terrestre. L'angle de parallaxe $p$ est la moitié du déplacement total. Pour de petits $p$ en radians, la distance est $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Un parsec est la distance donnant une parallaxe de $1$ seconde d'arc ; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Ne pas utiliser le diamètre de la Terre ou du Soleil comme base orbitale.
À grande distance, $p$ devient trop petit pour être mesuré avec précision par l'instrument. La limitation est la résolution angulaire/l'incertitude relative, et non nécessairement l'invisibilité de l'étoile.
Une bougie standard est un objet de luminosité connue. Identifier un tel objet dans un amas, mesurer l'intensité reçue et utiliser $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Sa luminosité apparente n'est pas supposée connue à l'avance. Les étoiles variables céphéides ont une relation calibrée entre leur période et leur luminosité. Mesurer plusieurs périodes complètes de courbe de lumière, diviser par leur nombre, lire attentivement la calibration et convertir toute unité de luminosité solaire. Une droite sur des axes logarithmiques n'est pas automatiquement une relation linéaire entre les quantités brutes.
Exemple résolu. Une bougie standard a une $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ et une intensité reçue $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.
Lire le diagramme de Hertzsprung–Russell
Un diagramme de Hertzsprung–Russell représente la luminosité verticalement contre la température de surface horizontalement, généralement avec une température décroissant vers la droite et des échelles logarithmiques. La série principale s'étend des étoiles chaudes et brillantes en haut à gauche aux étoiles froides et faibles en bas à droite. Les géantes rouges sont froides mais lumineuses en raison de leur grande surface. Les naines blanches sont chaudes mais faibles en raison de leur petite surface. Marquez le Soleil près d'une luminosité solaire et environ $5800\ \mathrm K$ sur la série principale.
Les étoiles se forment lorsque la gravité contracte un nuage de gaz et de poussière. Le cœur chauffe jusqu'à ce que la fusion de l'hydrogène puisse maintenir une étoile de la série principale ; la pression vers l'extérieur équilibre la gravité. Dans une étoile semblable au Soleil, l'hydrogène du cœur finit par diminuer, la fusion y diminue et la gravité contracte le cœur. La température du cœur augmente ; la combustion de l'hydrogène dans une coque et ultérieurement la fusion de l'hélium sont associées à une expansion vers une géante rouge. Les couches externes sont perdues, laissant un cœur de naine blanche sans fusion soutenue. Il refroidit sur une très longue période. Le Soleil ne deviendra ni une supernova ni une étoile à neutrons.
Une étoile beaucoup plus massive peut fusionner des éléments plus lourds lors des stades ultérieurs. Lorsque son cœur ne peut plus obtenir d'énergie par la fusion, l'effondrement et une supernova peuvent laisser un astérion ou un trou noir, selon le résidu. Une étoile massive de la série principale a plus de carburant, mais la consomme beaucoup plus rapidement en raison de son cœur plus chaud. Sa durée de vie sur la série principale peut donc être plus courte. Expliquez le taux de fusion, pas seulement la quantité de carburant. Une trajectoire HR montre une variation de température/luminosité, pas une étoile traversant l'espace.
Décalages Doppler et cosmologie
Comparez la même raie spectrale
L'effet Doppler est une variation de la fréquence/longueur d'onde observée causée par un mouvement relatif le long de la ligne de visée. Les fronts d'onde successifs arrivent plus espacés depuis une source qui s'éloigne et plus rapprochés depuis une source qui approche. L'éloignement donne des longueurs d'onde plus longues et des fréquences plus basses ; l'approche donne des longueurs d'onde plus courtes et des fréquences plus hautes. Un mouvement purement perpendiculaire à la ligne de visée n'est pas la vitesse de recul dans le modèle simple.
Pour le rayonnement électromagnétique à faible vitesse de recul :
Le décalage vers le rouge $z$ est positif pour un éloignement. Pour les petits décalages, sa magnitude correspond également approximativement à la diminution fractionnelle de la fréquence observée par rapport à la fréquence émise. Indiquez la convention de signe : $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ est négatif pour un éloignement. N'équivez pas un décalage vers le rouge positif à une augmentation signée de la fréquence. L'approximation $v/c_0$ n'est pas une formule relativiste générale à haute vitesse.
Exemple résolu. Une raie émise à $500\ \mathrm{nm}$ est observée à $505\ \mathrm{nm}$.
Pour utiliser les raies d'absorption d'une étoile, rappelez-vous l'Unité 2 : les photons sont absorbés uniquement lorsque leurs énergies correspondent aux différences autorisées entre les niveaux atomiques. Comparez la même raie spectrale identifiée, pas deux éléments différents.
Pour les bords opposés d'une étoile en rotation, l'un approche tandis que l'autre s'éloigne. Si leurs décalages sont égaux et opposés, la séparation des deux longueurs d'onde observées est égale au double du décalage de chaque bord. Divisez cette séparation par deux avant de trouver la vitesse équatoriale. Ensuite, utilisez $T=2\pi R/v$. Cela suppose que la vitesse de recul observée du bord représente la vitesse de rotation équatoriale sous la géométrie d'observation spécifiée.
Loi de Hubble et ses limites
Aux grandes échelles cosmologiques, la vitesse de recul suit approximativement la loi de Hubble :
La constante de Hubble $H_0$ a des unités d'inverse du temps. En $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, convertissez les kilomètres en mètres et les mégaparsecs en mètres avant de prendre son inverse en secondes. Les objets proches peuvent avoir des mouvements locaux qui ne suivent pas la relation à grande échelle.
Exemple résolu. Utilisez $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ et $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ pour estimer une échelle de temps d'expansion.
L'inverse est le temps de Hubble. L'interpréter comme un âge suppose un modèle pour le taux d'expansion passé ; ce n'est pas un âge exact indépendant du modèle. Un $H_0$ plus grand donne une échelle de temps réciproque plus petite. Les preuves d'expansion soutiennent un univers antérieur plus dense et plus chaud ; elles ne décrivent pas une explosion dans un centre déjà vide entouré d'espace.
La matière noire est inférée à partir d'effets gravitationnels que la matière visible seule ne peut expliquer, tels que la rotation galactique et le mouvement. Elle n'a pas besoin d'émettre de lumière détectable. La quantité de matière gravitante affecte la façon dont l'expansion change, donc l'incertitude sur le contenu en matière et le modèle d'expansion affecte les prédictions du destin de l'univers. Ne concluez pas qu'une mesure unique de $H_0$ prouve à elle seule une expansion perpétuelle ou un effondrement futur. Les modèles modernes prennent également en compte l'énergie sombre ; le résultat 171 nécessite spécifiquement de comprendre la controverse concernant $H_0$, la matière noire, l'âge et le destin, plutôt que de mémoriser une prédiction inconditionnelle.
Vérifiez-vous
- Pourquoi l'énergie interne peut-elle augmenter sans que la température augmente pendant un changement de phase ?
- Une quantité fixe de gaz se réchauffe dans un récipient rigide. Quelle échelle de température doit être utilisée pour comparer les pressions ?
- Une énergie de liaison plus grande par nucléon signifie-t-elle qu'il faut moins ou plus d'énergie pour séparer chaque nucléon en moyenne ?
- Pourquoi le bruit de fond doit-il être soustrait avant d'utiliser un rapport de taux de comptage ou un logarithme ?
- Une droite $a$–$x$ a une pente $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Trouver la pulsation.
- Pourquoi la vitesse maximale d'un MHS est-elle atteinte à l'équilibre bien que l'accélération y soit nulle ?
- Pourquoi un pont amorti peut-il être actionné à la même fréquence mais osciller avec une amplitude plus faible ?
- Le soulèvement d'un satellite vers un rayon plus grand augmente-t-il ou diminue-t-il son énergie potentielle gravitationnelle signée ?
- Une étoile est chaude mais faible. Quelle région du diagramme HR est plausible, et qu'est-ce qui explique sa faible luminosité ?
- Lors de l'utilisation de la séparation des longueurs d'onde des limbes opposées tournant en sens inverse, pourquoi un facteur deux est-il nécessaire ?
Réponses : (1) variation de l'énergie potentielle moléculaire ; (2) kelvin ; (3) plus ; (4) le bruit de fond ne suit pas la loi de décroissance/distance de la source ; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; (6) la force résultante restauratrice est nulle là mais l'énergie est majoritairement cinétique ; (7) une perte d'énergie plus grande limite l'amplitude stationnaire ; (8) augmente vers zéro ; (9) naine blanche, petite surface émissive ; (10) un limbe est décalé vers le bleu tandis que l'autre est décalé vers le rouge.