Inférence pour les données quantitatives : moyennes

AP Statistiques · Sujet 7

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7.1

Devrais-je m'inquiéter des erreurs ?

Programme

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.I : Identifier les questions suggérées par les probabilités d'erreurs dans l'inférence statistique. [Compétence 1.A]

VAR-1.I.1 La variation aléatoire peut entraîner des erreurs dans l'inférence statistique.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Erreurs de Type I et Type II

L'inférence pour une moyenne fonctionne comme l'inférence pour une proportion, avec un changement : nous ignorons rarement l'écart-type de la population $\sigma$, donc nous l'estimons avec l'échantillon $s$. Cette incertitude supplémentaire signifie que nous utilisons la distribution $t$ au lieu de la normale – une distribution 分布 qui est en forme de cloche mais avec des queues plus lourdes, et elle dépend des degrés de liberté 自由度 $df=n-1$ ; à mesure que $n$ augmente, elle approche la normale.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	分布	fēn bù
degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/	自由度	zì yóu dù
paired data/peəd ˈdeɪtə/	配对数据	pèi duì shù jù

7.2

Intervalle de Confiance pour une Moyenne

Programme

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.A : Décrire les distributions $t$. [Compétence 3.C]

VAR-7.A.1 Lorsque $s$ est utilisé au lieu de $\sigma$ pour calculer une statistique de test, la distribution correspondante, connue sous le nom de distribution $t$, diffère de la distribution normale par sa forme, car une plus grande partie de la surface est allouée aux queues de la courbe de densité que dans une distribution normale.
VAR-7.A.2 À mesure que les degrés de liberté augmentent, la surface dans les queues d'une distribution $t$ diminue.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.O : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une moyenne de population, y compris la différence de moyenne entre des valeurs appariées. [Compétence 1.D]

UNC-4.O.1 Parce que $\sigma$ est généralement inconnu pour les distributions de variables quantitatives, la procédure d'intervalle de confiance appropriée pour estimer la moyenne de population d'une variable quantitative pour un échantillon est un intervalle de type $t$ à échantillon unique pour une moyenne.
UNC-4.O.2 Pour une variable quantitative, $X$, qui suit une distribution normale, la distribution de $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ est une distribution $t$ avec $n-1$ degrés de liberté.
UNC-4.O.3 Les paires appariées peuvent être considérées comme un seul échantillon de paires. Une fois les différences entre les paires de valeurs trouvées, l'inférence pour les intervalles de confiance se fait comme pour une moyenne de population.

Objectif d'apprentissage UNC-4.P : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.C]

UNC-4.P.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une moyenne de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
- a. Pour vérifier l'indépendance :
  - i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
  - ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$, où $N$ est la taille de la population.
- b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}$ est approximativement normale (forme) :
  - i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
  - ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Q : Déterminer la marge d'erreur pour une taille d'échantillon donnée pour un intervalle de type $t$ à échantillon unique. [Compétence 3.D]

UNC-4.Q.1 La valeur critique $t^*$ avec $n-1$ degrés de liberté peut être trouvée à l'aide d'un tableau ou d'une sortie générée par ordinateur.
UNC-4.Q.2 L'erreur standard pour une moyenne d'échantillon est donnée par $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, où $s$ est l'écart-type de l'échantillon.
UNC-4.Q.3 Pour un intervalle de type $t$ à échantillon unique pour une moyenne, la marge d'erreur est la valeur critique ($t^*$) multipliée par l'erreur standard ($SE$), ce qui équivaut à $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.R : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 3.D]

UNC-4.R.1 L'estimateur ponctuel pour une moyenne de population est la moyenne de l'échantillon, $\overline{x}$.
UNC-4.R.2 Pour la moyenne de population pour un seul échantillon avec écart-type de population inconnu, l'intervalle de confiance est $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Déclaration aux limites : Les formules pour les estimations d'intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Ce qu'un intervalle de confiance signifie

Un intervalle $t$ à un échantillon pour $\mu$ :

$$\bar{x}\pm t^{*}\frac{s}{\sqrt{n}}.$$

$t^{*}$ est la valeur critique avec $df=n-1$. Conditions : échantillon aléatoire, Normal/Grand Échantillon (population normale, ou $n\ge 30$ par le TCL, ou un échantillon approximativement symétrique sans valeurs aberrantes), et condition des 10 %. Interprétez l'intervalle et le niveau de confiance dans le contexte.

Exemple résolu. Un échantillon aléatoire de $n=25$ a $\bar{x}=50$ et $s=8$. Pour un intervalle $95\%$, $df=24$ donne $t^*=2.064$ :

$$50\pm2.064\cdot\frac{8}{\sqrt{25}}=50\pm2.064(1.6)=50\pm3.3=(46.7,\ 53.3).$$

La loi t a un sommet plus bas et des queues plus épaisses que la normale

Intervalles de confiance répétés à 95 % : environ 95 % capturent le vrai paramètre — "Avec une confiance de 95 %" décrit la méthode, pas un intervalle unique : sur de nombreux échantillons, environ 95 % des intervalles contiennent $\mu$ et environ 5 % ne le contiennent pas.

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Pourquoi un intervalle t est plus large qu'un intervalle z

Un intervalle pour la moyenne utilise $t^*$, pas $1.96$, car $\sigma$ est estimé par $s$. Faites glisser dl vers le bas et observez $t^*$ augmenter — à $df=10$ il vaut $2.228$, et l'intervalle est plus large pour cela. Faites glisser dl vers le haut et $t^*$ redescend vers $1.96$, ce qui explique pourquoi les grands échantillons peuvent utiliser $z$.

7.3

Justifier une affirmation concernant une moyenne

Programme

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.S : Interpréter un intervalle de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.B]

UNC-4.S.1 Un intervalle de confiance pour une moyenne de population contient soit la moyenne de population, soit il ne la contient pas, car chaque intervalle est basé sur des données provenant d'un échantillon aléatoire, qui varie d'un échantillon à l'autre.
UNC-4.S.2 Nous sommes confiants à C% que l'intervalle de confiance pour une moyenne de population capture la moyenne de population.
UNC-4.S.3 Une interprétation d'un intervalle de confiance pour une moyenne de population inclut une référence à l'échantillon prélevé et des détails sur la population qu'il représente.
- Exemples illustratifs pour UNC-4.S.3 : Pour interpréter un intervalle de confiance à 96% pour la longueur moyenne des pieds pour toutes les empreintes trouvées dans une grotte basé sur un échantillon particulier d'empreintes aléatoirement sélectionné dans la grotte : « Nous sommes confiants à 96% que la longueur moyenne des pieds pour toutes les empreintes trouvées dans la grotte tombe dans l'intervalle de confiance » (basé sur FRQ 2000 2).

Objectif d'apprentissage UNC-4.T : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.D]

UNC-4.T.1 Un intervalle de confiance pour une moyenne de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.U : Identifier les relations entre la taille de l'échantillon, la largeur d'un intervalle de confiance, le niveau de confiance et la marge d'erreur pour une moyenne de population. [Compétence 4.A]

UNC-4.U.1 Lorsque tout le reste reste constant, la largeur d'un intervalle de confiance pour une moyenne de population a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente.
UNC-4.U.2 Pour une seule moyenne, la largeur de l'intervalle est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
UNC-4.U.3 Pour un échantillon donné, la largeur de l'intervalle de confiance pour une moyenne de population augmente lorsque le niveau de confiance augmente.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Comme pour les proportions : une moyenne prétendue à l'intérieur de l'intervalle est plausible ; si elle est à l'extérieur, les données apportent des preuves contre cette affirmation. Répondez en contexte en utilisant la plage plausible.

7.4

Préparer un test pour une moyenne

Programme

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.B : Identifier une méthode de test appropriée pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 1.E]

VAR-7.B.1 Le test approprié pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu est un $t$-test à un échantillon pour une moyenne de population.
VAR-7.B.2 Les paires appariées peuvent être considérées comme un seul échantillon de paires. Une fois les différences entre les paires de valeurs trouvées, l'inférence pour les tests de significativité se fait comme pour une moyenne de population.

Objectif d'apprentissage VAR-7.C : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 1.F]

VAR-7.C.1 L'hypothèse nulle d'un test $t$ à un échantillon pour la moyenne d'une population est $H_0 : \mu = \mu_0$, où $\mu_0$ est la valeur hypothétisée. Selon la situation, l'hypothèse alternative est $H_a : \mu < \mu_0$, ou $H_a : \mu > \mu_0$, ou $H_a : \mu \neq \mu_0$.
VAR-7.C.2 Lors du calcul de la différence moyenne, $\mu_d$, entre les valeurs dans une paire appariée, il est important de définir l'ordre de la soustraction.

Objectif d'apprentissage VAR-7.D : Vérifier les conditions pour le test d'une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.C]

VAR-7.D.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une moyenne de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
- a. Pour vérifier l'indépendance :
  - i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
  - ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
- b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}$ est approximativement normale (forme) :
  - i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
  - ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Ce qu'est une valeur p

Énoncez les hypothèses concernant $\mu$ : $H_0:\mu=\mu_0$ contre $H_a:\mu\neq\mu_0$ (ou $<,>$). Vérifiez les mêmes conditions. La statistique $t$ à un seul échantillon :

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},\qquad df=n-1.$$

Exemple résolu. Testez $H_0:\mu=45$ contre $H_a:\mu\neq45$ pour l'échantillon ci-dessus ($\bar{x}=50$, $s=8$, $n=25$) :

$$t=\frac{50-45}{8/\sqrt{25}}=\frac{5}{1.6}=3.13,\qquad df=24.$$

Cette valeur $t$ est très éloignée dans la queue de distribution (queue double pour $p<0.01$), donc rejeter $H_0$ – forte preuve que la moyenne n'est pas $45$. Remarquez que $45$ se trouve également hors de l'intervalle de $95\%$ $(46.7,53.3)$, la même conclusion par deux voies différentes.

7.5

Exécuter un test pour une moyenne

Programme

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.E : Calculer un test statistique approprié pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 3.E]

VAR-7.E.1 Pour une seule variable quantitative lorsqu'un échantillonnage aléatoire avec remise est effectué à partir d'une population qui peut être modélisée avec une distribution normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ suit une distribution $t$ avec $n - 1$ degrés de liberté.

Déclaration aux limites : Les formules pour les test statistiques n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.E : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une moyenne de population, y compris la différence de moyenne entre les valeurs appariées. [Compétence 4.B]

DAT-3.E.1 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de signification pour une moyenne de population doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que la moyenne réelle de la population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage DAT-3.F : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une moyenne de population. [Compétence 4.E]

DAT-3.F.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au seuil de signification $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \mu = \mu_0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
DAT-3.F.2 Les résultats d'un test de significativité pour une moyenne de population peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Trouvez la valeur de $p$ à partir de la distribution $t$ avec $df=n-1$, comparez-la à $\alpha$, et concluez en contexte – rejetez ou ne rejetez pas $H_0$, puis expliquez ce que cela signifie pour l'affirmation. Indiquez le nom du test, la statistique, $df$, et la valeur de $p$.

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Lire une valeur p sur la courbe t

La valeur p est l'aire de la queue ombragée au-delà de votre statistique $t$ — les deux queues pour un $H_a$ bilatéral. La courbe normale en pointillés derrière $t$ montre ce que vous auriez obtenu en utilisant incorrectement $z$ : à faible dl, la queue $t$ est visiblement plus épaisse, donc la véritable valeur p est plus grande que ne le suggérerait la normale.

7.6

Intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes

Programme

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.V : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.D]

UNC-4.V.1 Considérons un échantillon aléatoire simple de population 1 de taille $n_1$, de moyenne $\mu_1$ et d'écart-type $\sigma_1$ et un second échantillon aléatoire simple de population 2 de taille $n_2$, de moyenne $\mu_2$ et d'écart-type $\sigma_2$. Si les distributions des populations 1 et 2 sont normales ou si both $n_1$ et $n_2$ sont supérieures à 30, alors la distribution d'échantillonnage de la différence des moyennes, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est également normale. La moyenne pour la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est $\mu_1 - \mu_2$. L'écart-type de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
UNC-4.V.2 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une variable quantitative avec deux échantillons indépendants est un intervalle de confiance à deux échantillons $t$ pour une différence entre les moyennes des populations.

Objectif d'apprentissage UNC-4.W : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 4.C]

UNC-4.W.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une différence de moyennes de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
- a. Pour vérifier l'indépendance :
  - i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
  - ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
- b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ devrait être approximativement normale (forme) :
  - i. Si les distributions observées sont asymétriques, both $n_1$ et $n_2$ should be greater than 30.

Objectif d'apprentissage UNC-4.X : Déterminer la marge d'erreur pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 3.D]

UNC-4.X.1 Pour la différence de deux moyennes d'échantillon, la marge d'erreur est la valeur critique ($t^*$) multipliée par l'erreur standard ($SE$) de la différence de deux moyennes.
UNC-4.X.2 L'erreur standard pour la différence de deux moyennes d'échantillon avec des écarts-types d'échantillon, $s_1$ et $s_2$, est $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Y : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 3.D]

UNC-4.Y.1 L'estimateur ponctuel pour la différence de deux moyennes de population est la différence des moyennes d'échantillon, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
UNC-4.Y.2 Pour une différence de deux moyennes de population où les écarts-types de population ne sont pas connus, l'intervalle de confiance est $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ où $\pm t^*$ sont les valeurs critiques pour le C% central d'une distribution $t$ avec les degrés de liberté appropriés qui peuvent être trouvés à l'aide de la technologie.

Déclaration aux limites : Les formules pour les estimations d'intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour des échantillons indépendants, estimez $\mu_1-\mu_2$ :

$$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t^{*}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.$$

Les conditions doivent être remplies dans les deux échantillons. (Utilisez la technologie pour la valeur de $df$ ; ne fusionnez pas les variances lors de l'examen AP.)

La randomisation sous-tend une comparaison équitable entre deux groupes dans un test de différence de moyennes

7.7

Justifier une affirmation concernant deux moyennes

Programme

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Z : Interpréter un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.B]

UNC-4.Z.1 Lors d'échantillonnages aléatoires répétés avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la différence des moyennes de population.
UNC-4.Z.2 Une interprétation pour un intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes de population doit inclure une référence aux échantillons prélevés et des détails sur les populations qu'ils représentent.
- Exemples illustratifs pour UNC-4.Z.2 : Pour interpréter un intervalle de confiance pour une différence entre les temps de réponse moyens de deux casernes de pompiers (nord - sud) : « D’après ces échantillons, on peut être 95 % confiant que la différence entre les temps de réponse moyens de la population (nord - sud) se situe entre -2.37 minutes et 0.37 minutes » (2009 FRQ 4).

Objectif d'apprentissage UNC-4.AA : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.D]

UNC-4.AA.1 Un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AB : Identifier les effets de la taille de l'échantillon sur la largeur d'un intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes. [Compétence 4.A]

UNC-4.AB.1 Lorsque tout reste égal par ailleurs, la largeur de l'intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes a tendance à diminuer lorsque les tailles d'échantillon augmentent.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si l'intervalle pour $\mu_1-\mu_2$ contient $0$, les données sont cohérentes avec des moyennes égales ; s'il exclut $0$, il y a des preuves d'une différence dans ce sens. Interprétez en contexte.

7.8

Préparer un test pour une différence de moyennes

Programme

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.F : Identifier une sélection appropriée d'une méthode de test pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.E]

VAR-7.F.1 Pour une variable quantitative, le test approprié pour une différence de deux moyennes de population est un test t $t$ à deux échantillons pour une différence de deux moyennes de population.

Objectif d'apprentissage VAR-7.G : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.F]

VAR-7.G.1 L'hypothèse nulle pour un test $t$ à deux échantillons pour une différence de deux moyennes de population, $\mu_1$ et $\mu_2$, est : $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. L'hypothèse alternative est $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$, ou $H_a : \mu_1 > \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 < \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$.

Objectif d'apprentissage VAR-7.H : Vérifier les conditions pour le test de significativité pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 4.C]

VAR-7.H.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence entre les moyennes de population, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage soit approximativement normale :
- a. Les observations individuelles doivent être indépendantes :
  - i. Les données doivent être collectées à l'aide d'échantillons aléatoires simples ou d'une expérience randomisée.
  - ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
- b. La distribution d'échantillonnage de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ doit être approximativement normale (forme).
  - i. Si la distribution observée est asymétrique, both $n_1$ et $n_2$ should be greater than 30.
  - ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon doit être exempte d'asymétrie forte et de valeurs aberrantes. Cela doit être vérifié POUR LES DEUX échantillons.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Hypothèses : $H_0:\mu_1=\mu_2$ contre $H_a:\mu_1\neq\mu_2$ (ou $<,>$). Distinuez deux échantillons indépendants de données appariées 配对数据 – pour les données appariées (avant/après, sujets appariés), calculez d'abord les différences et appliquez une procédure $t$ à un seul échantillon sur celles-ci.

7.9

Exécuter un test pour une différence de moyennes

Programme

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.I : Calculer une statistique de test appropriée pour une différence de deux moyennes. [Compétence 3.E]

VAR-7.I.1 Pour une seule variable quantitative, des données collectées à l'aide d'échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée provenant de deux populations, dont chacune peut être modélisée par une distribution normale, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ est une approximate $t$-distribution avec des degrés de liberté qui peuvent être trouvés à l'aide d'une technologie. Les degrés de liberté se situent entre le plus petit de $n_1 - 1$ et $n_2 - 1$ et $n_1 + n_2 - 2$.
- Exemples illustratifs pour VAR-7.I.1: Dans une étude comparant les temps de récupération moyens pour deux procédures chirurgicales visant à réparer un ligament croisé antérieur (LCA) déchiré, le groupe ayant reçu l'une des procédures avait une taille d'échantillon de 110, tandis que le groupe ayant reçu l'autre procédure avait une taille d'échantillon de 100. Les degrés de liberté se situent entre 100 (le plus petit de 110 et 100) et 208 (110 + 100 - 2). Les degrés de liberté peuvent être déterminés à l'aide d'un logiciel. Si la statistique de test pour cette étude est $t \approx 7.13$, alors la valeur $p$-p est la surface supérieure à 7.13 pour une distribution $t$-t avec $df = 207.18$ (2018 FRQ 4).

Déclaration limite : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites sur la base de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur standard pour chacune des statistiques de test pertinentes fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.G : Interpréter la valeur $p$ d'un test de signification pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.B]

DAT-3.G.1 Une interprétation de la valeur p $p$ d'un test de significativité pour une différence de deux moyennes de population à deux échantillons doit reconnaître que la valeur p $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que les vraies moyennes de population sont égales les unes aux autres.

Objectif d'apprentissage DAT-3.H : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une différence de deux moyennes de population dans le contexte. [Compétence 4.E]

DAT-3.H.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au seuil de signification $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
DAT-3.H.2 Les résultats d'un test de significativité pour un test à deux échantillons pour une différence entre deux moyennes de population peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur les populations qui ont été échantillonnées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La statistique $t$ à deux échantillons :

$$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.$$

Obtenez la valeur de $p$ (technologie pour $df$), comparez-la à $\alpha$, et concluez en contexte.

7.10

Choisir et communiquer une procédure

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélectionner une procédure d'inférence appropriée, maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants devraient avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'inférence impliquant des proportions ou des moyennes.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La compétence d'examen la plus difficile est de choisir la bonne procédure : un ou deux échantillons ? proportion ou moyenne ? apparié ou indépendant ? intervalle de confiance ou test ? Lisez la question pour identifier ce qui est estimé ou affirmé, puis nommez la procédure, vérifiez ses conditions, exécutez-la, et communiquez clairement la conclusion avec des chiffres et le contexte.

7.10

Conseils d'examen

Utilisez des procédures t pour les moyennes (la population $\sigma$ est inconnue) – la distribution t a des queues plus épaisses que la normale.
Vérifiez les conditions : aléatoire, indépendant et approximativement normal (ou grand $n$).
Interprétez un intervalle et un test en contexte, toujours liés au paramètre (la vraie moyenne).
Associez la bonne procédure : un seul échantillon, deux échantillons ou apparié (recherchez un appariement naturel).
Énoncez les degrés de liberté ; pour un test $t$ à deux échantillons, utilisez la valeur donnée par la technologie (ou, à la main, le plus petit conservateur $n-1$).

Leçons interactives sur ce sujet

Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.

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