Inférence pour les données quantitatives : pentes

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.K : Identifier les questions suggérées par la variation dans les nuages de points. [Compétence 1.A]

• VAR-1.K.1 La variation des positions des points par rapport à une ligne théorique peut être aléatoire ou non aléatoire.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AC : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.D]

• UNC-4.AC.1 Considérez une variable réponse, $y$, qui est linéairement liée à une variable explicative, $x$. Pour un échantillon aléatoire simple de $n$ observations, la droite de régression de l'échantillon, $\hat{y} = a + bx$, est une estimation de la droite de régression de la population $\mu_y = \alpha + \beta x$. Pour une observation particulière, $(x_i, y_i)$, le résidu de la droite de régression de l'échantillon, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, est une estimation de $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, l'écart de la variable réponse par rapport à la droite de régression de la population. Pour tous les points $(x, y)$ dans la population, l'écart-type de tous les écarts de la variable réponse par rapport à la droite de régression de la population, $\sigma$, peut être estimé par l'écart-type des résidus de la droite de régression de l'échantillon, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Remarque : Cette formule utilise $n-2$ au dénominateur au lieu de $n-1$ car deux paramètres, $\alpha$ et $\beta$, doivent être estimés pour obtenir les valeurs prédites à partir de la droite de régression des moindres carrés.)
• UNC-4.AC.2 Pour un échantillon aléatoire simple de $n$ observations, soit $b$ représentant la pente d'une droite de régression de l'échantillon. Alors la moyenne de la distribution d'échantillonnage pour $b$ est égale à la pente de la population : $\mu_b = \beta$. L'écart-type de la distribution d'échantillonnage pour $b$ est $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, où $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 L'intervalle de confiance approprié pour la pente d'un modèle de régression est un intervalle de confiance $t$ pour la pente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AD : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.C]

• UNC-4.AD.1 Afin de calculer un intervalle de confiance pour estimer la pente d'une droite de régression, nous devons vérifier ce qui suit :
  • a. La relation réelle entre $x$ et $y$ est linéaire. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier la linéarité.
  • b. L'écart-type pour $y$, $\sigma_y$, ne varie pas avec $x$. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier des écarts-types approximativement égaux pour toutes les $x$.
  • c. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \le 10\% N$.
  • d. Pour une valeur particulière de $x$, les réponses (valeurs $y$) sont approximativement normalement distribuées. L'analyse de représentations graphiques des résidus peut être utilisée pour vérifier la normalité.
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AE : Déterminer la marge d'erreur donnée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.D]

• UNC-4.AE.1 Pour la pente d'une droite de régression, la marge d'erreur est la valeur critique $\left(t^*\right)$ multipliée par l'erreur standard ($SE$) de la pente.
• UNC-4.AE.2 L'erreur standard pour la pente d'une droite de régression avec un écart-type de l'échantillon, $s$, est $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, où $s$ est l'estimation de $\sigma$ et $s_x$ est l'écart-type de l'échantillon des valeurs $x$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AF : Calculer un intervalle de confiance approprié pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.D]

• UNC-4.AF.1 L'estimateur ponctuel pour la pente d'un modèle de régression est la pente de la droite de meilleure ajustement, $b$.
• UNC-4.AF.2 Pour la pente d'un modèle de régression, l'estimation par intervalle est $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AG : Interpréter un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.B]

• UNC-4.AG.1 Dans des échantillonnages aléatoires répétés avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la pente du modèle de régression, c.-à-d. la vraie pente de la droite de régression de la population.
• UNC-4.AG.2 Une interprétation pour un intervalle de confiance pour la pente d'une droite de régression doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AH : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.D]

• UNC-4.AH.1 Un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression fournit un intervalle de valeurs qui peuvent fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AI : Identifier les effets de la taille de l'échantillon sur la largeur d'un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.A]

• UNC-4.AI.1 Lorsque tout reste égal ailleurs, la largeur de l'intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.J : Identifier la sélection appropriée d'une méthode de test pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.E]

• VAR-7.J.1 Le test approprié pour la pente d'un modèle de régression est un test $t$ pour une pente.

Objectif d'apprentissage VAR-7.K : Identifier les hypothèses nulle et alternative appropriées pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.F]

• VAR-7.K.1 L'hypothèse nulle pour un test $t$ pour une pente est : $H_0 : \beta = \beta_0$, où $\beta_0$ est la valeur hypothétique de l'hypothèse nulle. L'hypothèse alternative est $H_0 : \beta < \beta_0$ ou $H_0 : \beta > \beta_0$, ou $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Objectif d'apprentissage VAR-7.L : Vérifier les conditions pour le test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.C]

• VAR-7.L.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test pour la pente d'un modèle de régression, nous devons vérifier ce qui suit :
  • a. La relation réelle entre $x$ et $y$ est linéaire. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier la linéarité.
  • b. L'écart-type pour $y$, $\sigma_y$, ne varie pas avec $x$. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier des écarts-types approximativement égaux pour toutes les $x$.
  • c. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \le 10\% N$.
  • d. Pour une valeur particulière de $x$, les réponses (valeurs $y$) sont approximativement normalement distribuées. L'analyse de représentations graphiques des résidus peut être utilisée pour vérifier la normalité.
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
    • ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.M : Calculer une statistique de test appropriée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.E]

• VAR-7.M.1 La distribution de la pente d'un modèle de régression en supposant que toutes les conditions sont remplies et l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) suit une distribution $t$.
• VAR-7.M.2 Pour la régression linéaire simple, lorsque l'échantillonnage aléatoire provient d'une population dont la réponse peut être modélisée par une distribution normale pour chaque valeur de la variable explicative, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ suit une distribution $t$ avec des degrés de liberté égaux à $n - 2$. Lors du test de la pente dans un modèle de régression linéaire simple avec un seul paramètre, la pente, le test de la pente a $df = n - 1$.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.M : Interpréter la valeur-$p$ d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.B]

• DAT-3.M.1 Une interprétation de la valeur-$p$ d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression doit reconnaître que la valeur-$p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que la pente réelle de la population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage DAT-3.N : Justifier une affirmation sur la population sur la base des résultats d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.E]

• DAT-3.N.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur-$p$ au seuil de signification-$\alpha$. Si la valeur-$p$ est $\le \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \beta = \beta_0$. Si la valeur-$p$ est $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.N.2 Les résultats d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche concernant cet échantillon.

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à sélectionner une procédure d'inférence appropriée maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'inférence.