The sine and cosine rules · Las leyes del seno y el coseno
| English | Español |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | ley de senos |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | ley de cosenos |
| included angle/ɪnˈkluːdɪd ˈæŋɡl/ | ángulo incluido |
When the triangle isn't right-angled
- Pythagoras and SOH-CAH-TOA only work for right-angled triangles.
- For any other triangle, you need the sine rule 正弦定理 or the cosine rule 余弦定理.
Cuando el triángulo no es rectángulo
- El teorema de Pitágoras y SOH-CAH-TOA solo funcionan para triángulos rectángulos.
- Para cualquier otro triángulo, necesita la ley de senos o la ley de cosenos.
The sine rule
- For any triangle with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
- Use it when you know: a side and its opposite angle, plus one other piece.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ and $y=\cos x$ are smooth waves between $-1$ and $1$; cosine is sine shifted left by $90^\circ$
La ley de los senos
- Para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ opuestos a ángulos $A, B, C$:
- Úsala cuando conozcas: un lado y su ángulo opuesto, más otro dato.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ y $y=\cos x$ son ondas suaves entre $-1$ y $1$; el coseno es el seno desplazado a la izquierda por $90^\circ$
Sine & cosine rule · Ley del seno y coseno
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles. · Dos lados y el ángulo entre ellos determinan el triángulo: la ley del coseno encuentra el tercer lado, la ley del seno los otros ángulos.
What sin and cos mean · Significado de sin y cos
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use. · Gira el ángulo en el círculo unitario: el cateto horizontal es cos θ y el cateto vertical es sin θ — las mismas razones que usan las leyes del seno y el coseno.
You know all three sides and want an angle. Which rule do you use? · Conoces los tres lados y quieres un ángulo. ¿Qué ley usas?
With three sides (or two sides and the included angle), use the cosine rule. · Con tres lados (o dos lados y el ángulo comprendido), usa la ley del coseno.
The sine rule requires a side and its opposite angle to be known. · La ley del seno requiere conocer un lado y su ángulo opuesto.
You need at least one side paired with its opposite angle to apply the sine rule. · Necesitas al menos un lado emparejado con su ángulo opuesto para aplicar la ley del seno.
In a triangle, a = 10, A = 30°, B = 50°. Using the sine rule, b = 10 sin 50° / sin 30°. Find b (1 dp). · En un triángulo, a = 10, A = 30°, B = 50°. Usando la ley del seno, b = 10 sin 50° / sin 30°. Halla b (1 d.p.).
b = 10 × sin 50° / 0.5 = 10 × 0.766 / 0.5 = 15.3.
The cosine rule
- Use it when you know: two sides and the included angle 夹角 (to find the third side), or all three sides (to find an angle).
Included angle only. The angle $A$ in the cosine rule must be the angle between sides $b$ and $c$. If it's not the included angle, the formula doesn't apply directly.
In any triangle, sides $a,b,c$ lie opposite angles $A,B,C$; the sine and cosine rules use these
La ley del coseno
- Úsela cuando conozca: dos lados y el ángulo comprendido (para encontrar el tercer lado) o los tres lados (para encontrar un ángulo).
Solo el ángulo incluido. El ángulo $A$ en la ley de cosenos debe ser el ángulo entre los lados $b$ y $c$. Si no es el ángulo incluido, la fórmula no se aplica directamente.
En cualquier triángulo, los lados $a,b,c$ se encuentran opuestos a los ángulos $A,B,C$; las leyes del seno y del coseno utilizan estos elementos
A triangle has b = 7, c = 8 and the angle between them A = 40°. Using a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, find a (1 dp). · Un triángulo tiene b = 7, c = 8 y el ángulo entre ellos A = 40°. Usando a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, halla a (1 d.p.).
a = √27.2 ≈ 5.2 cm.
In the cosine rule a² = b² + c² − 2bc cos A, the angle A must be the ______ angle between sides b and c. · En la ley del coseno a² = b² + c² − 2bc cos A, el ángulo A debe ser el ángulo ______ entre los lados b y c.
A must be the included angle (the angle between sides b and c). · A debe ser el ángulo comprendido (el ángulo entre los lados b y c).
Area of any triangle
- This works for any triangle (not just right-angled ones), using two sides and the included angle.
Área de cualquier triángulo
- Esto funciona para cualquier triángulo (no solo para los rectángulos), utilizando dos lados y el ángulo comprendido.
The area of any triangle (two sides a, b with angle C between them) is: · El área de cualquier triángulo (dos lados a, b con ángulo C entre ellos) es:
Area = ½ab sin C uses two sides and the included angle. · Área = ½ab sin C usa dos lados y el ángulo comprendido.
Worked example
- $b = 7$, $c = 8$, included angle $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, so $a = 5.2$ cm.
The cosine rule generalises Pythagoras: when $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ and you get $a^2 = b^2 + c^2$.
Ejemplo resuelto
- $b = 7$, $c = 8$, ángulo incluido $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, por lo tanto $a = 5.2$ cm.
La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras: cuando $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ y obtienes $a^2 = b^2 + c^2$.
Sides a = 5, b = 7, c = 8. Find angle A opposite a, to 1 dp. · Los lados son a = 5, b = 7, c = 8. Calcula el ángulo A opuesto al lado a, con 1 decimales.
cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, so A ≈ 38.2°. · cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, por lo tanto A ≈ 38.2°.
Finding an angle and checking the other possibility
- With sides $a=5,b=7,c=8$, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Thus $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
- In a sine-rule question, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ gives $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Both $B\approx36.9^{\circ}$ and $143.1^{\circ}$ leave a positive third angle, so two triangles are possible. Use any extra condition, such as B being obtuse, to choose.
Encontrar un ángulo y verificar la otra posibilidad
- Con lados $a=5,b=7,c=8$, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Por lo tanto $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
- En una pregunta de ley de senos, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ da $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Tanto $B\approx36.9^{\circ}$ como $143.1^{\circ}$ dejan un tercer ángulo positivo, así que son posibles dos triángulos. Use cualquier condición adicional, como que B sea obtuso, para elegir.
Two sides 7 cm and 8 cm include 40°. Find the area to 1 dp in cm². · Dos lados miden 7 cm y 8 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es 40°. Calcula el área con 1 decimales en cm².
Area = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm². · Área = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm².
Area with an included angle
- Two sides 7 cm and 8 cm include $40^{\circ}$. Use $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
- The angle must lie between the two sides used. Keep degree mode and full trigonometric values until the final rounding.
Área con un ángulo comprendido
- Dos lados de 7 cm y 8 cm incluyen $40^{\circ}$. Use $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
- El ángulo debe estar entre los dos lados utilizados. Mantenga el modo de grados y los valores trigonométricos completos hasta el redondeo final.
You've got it
- sine rule: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — side + its opposite angle
- cosine rule: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — two sides + included angle (or three sides)
- area of any triangle $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$
Lo has entendido
- regla del seno: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — lado + ángulo opuesto
- regla del coseno: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — dos lados + ángulo comprendido (o tres lados)
- área de cualquier triángulo $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$