Compound shapes and parts of shapes · Figuras compuestas y partes de figuras
| English | Español |
|---|---|
| compound shapes/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪps/ | figuras compuestas |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | hemisferio |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | tronco de cono |
Jigsaw shapes
- A patio is a rectangle with a semicircular flower bed on one end. How much paving do you need?
- Compound shapes 复合图形 are built from simple ones. Split, calculate, then add or subtract.
Formas de encaje
- Una terraza es un rectángulo con una parterre semicircular en un extremo. ¿Cuánta baldosa necesitas?
- Las figuras compuestas se construyen a partir de figuras simples. Separa, calcula y luego suma o resta.
Compound shape route · Ruta de figura compuesta
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · Descomponer una figura compuesta en partes simples, luego recombinarlas.
Strategy: split into known parts
- Break the shape into rectangles, triangles, circles — anything you have a formula for.
- Calculate each area separately, then add them together (or subtract if a piece is cut out).
A rectangle $8 \times 5$ with a semicircle (diameter $5$) on one end: Area $= 40 + \dfrac{1}{2}\pi(2.5)^2 = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^2$.
Watch for cut-outs. If a shape has a hole, you subtract the hole's area. A rectangle with a circular hole: total area $=$ rectangle area $-$ circle area.
Split a compound shape into parts you know, here a rectangle plus a semicircle, then add the areas
Estrategia: dividir en partes conocidas
- Divide la figura en rectángulos, triángulos, círculos... cualquier cosa para la que tengas una fórmula.
- Calcula cada área por separado y luego súmalas (o réstalas si una pieza está recortada).
Un rectángulo $8 \times 5$ con un semicírculo (diámetro $5$) en un extremo: Área $= 40 + \dfrac{1}{2}\pi(2.5)^2 = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^2$.
Presta atención a los recortes. Si una figura tiene un agujero, resta el área del agujero. Un rectángulo con un agujero circular: área total $=$ área del rectángulo $-$ área del círculo.
Divide una figura compuesta en partes que conozcas, aquí un rectángulo más un semicírculo, y luego suma las áreas
To find the area of a rectangle with a semicircle on one end, you: · Para encontrar el área de un rectángulo con un semicírculo en un extremo, usted:
The shape is the rectangle plus the semicircle, so add the two areas. · La forma es el rectángulo más el semicírculo, así que suma las dos áreas.
A compound shape is a rectangle 8 cm by 5 cm plus a semicircle on the end. What is the rectangle part of the area (cm²)? · Una figura compuesta es un rectángulo de 8 cm por 5 cm más un semicírculo en el extremo. ¿Cuál es el área de la parte rectangular (cm²)?
Rectangle area = 8 × 5 = 40 cm² (then add the semicircle). · Área del rectángulo = 8 × 5 = 40 cm² (luego sumar el semicírculo).
If a shape has a circular hole cut out, you subtract the circle area from the outer shape area. · Si una forma tiene un agujero circular recortado, se resta el área del círculo del área de la forma exterior.
Cut-outs are subtracted: total = outer area − hole area. · Los recortes se restan: total = área exterior − área del agujero.
Parts of solids
- A hemisphere 半球 is half a sphere: volume $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$.
- A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with the top sliced off parallel to the base.
- Find it by subtracting: whole cone minus small top cone.
Partes de sólidos
- Una semiesfera es la mitad de una esfera: volumen $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$.
- Un tronco es un cono o pirámide al que se le ha cortado la parte superior paralelamente a la base.
- Calcula restando: cono completo menos cono pequeño superior.
The volume of a hemisphere of radius r is: · El volumen de una semiesfera de radio r es:
Half of (4/3)πr³ is (2/3)πr³. · La mitad de (4/3)πr³ es (2/3)πr³.
A hemisphere has radius 6 cm. Its volume is kπ cm³. What is k? · Una semiesfera tiene radio 6 cm. Su volumen es kπ cm³. ¿Cuál es k?
(2/3) × π × 6³ = (2/3) × 216π = 144π, so k = 144. · (2/3) × π × 6³ = (2/3) × 216π = 144π, por lo tanto k = 144.
A frustum is found by subtracting the small top cone from the ______ cone. · Un tronco de cono se encuentra restando el cono pequeño superior del cono ______.
Frustum = whole cone − small top cone (cut parallel to the base). · Tronco = cono entero − cono pequeño superior (corte paralelo a la base).
Worked example — hemisphere
- Hemisphere of radius $6\text{ cm}$:
- Volume $= \dfrac{2}{3}\pi(6)^3 = \dfrac{2}{3}\pi(216) = 144\pi\text{ cm}^3$.
Compound shapes are built from simple ones — here two squares of different sizes, like a rectangle made of two parts.
Ejemplo resuelto — hemisfera
- Hemisfera de radio $6\text{ cm}$:
- Volumen $= \dfrac{2}{3}\pi(6)^3 = \dfrac{2}{3}\pi(216) = 144\pi\text{ cm}^3$.
Las figuras compuestas se construyen a partir de formas simples — aquí dos cuadrados de diferente tamaño, como un rectángulo formado por dos partes.
Why the frustum matters
- The frustum is the shape of most lampshades, buckets, and drinking glasses. Engineers and architects use the formula constantly.
Por qué importa el fruste
- El fruste tiene la forma de la mayoría de las ** pantallas de lámparas**, cubos y vasos. Ingenieros y arquitectos usan esta fórmula constantemente.
Exposed area at a join
- Two cubes of edge 3 cm join face to face. Their volume adds: $V=2(3^3)=54\text{ cm}^3$. Their area does not simply add: the two touching faces disappear from the outside, so $S=12(3^2)-2(3^2)=90\text{ cm}^2$.
- Half a sphere of radius 6 cm has curved area $2\pi r^2=72\pi\text{ cm}^2$; including the flat circular base gives total $3\pi r^2=108\pi\text{ cm}^2$. State whether the flat base is exposed.
Área expuesta en una unión
- Dos cubos de arista 3 cm se unen por sus caras. Sus volúmenes se suman: $V=2(3^3)=54\text{ cm}^3$. Sus áreas no se suman simplemente: las dos caras que se tocan desaparecen de la superficie exterior, por lo tanto $S=12(3^2)-2(3^2)=90\text{ cm}^2$.
- La mitad de una esfera de radio 6 cm tiene área lateral $2\pi r^2=72\pi\text{ cm}^2$; incluir la base circular plana da el total $3\pi r^2=108\pi\text{ cm}^2$. Indica si la base plana está expuesta.
Two 3 cm cubes join face to face. Find the exposed area in cm². · Dos cubos de 3 cm se unen cara a cara. Calcula el área expuesta en cm².
Ten square faces remain exposed: 10 × 9 = 90 cm². · Quedan diez caras cuadradas expuestas: 10 × 9 = 90 cm².
You've got it
- split a compound shape into known parts, then add or subtract
- hemisphere volume $= \dfrac{2}{3}\pi r^3$
- a frustum = whole cone minus the small top cone
Lo has entendido
- divide una figura compuesta en partes conocidas y luego suma o resta
- volumen de hemisfera $= \dfrac{2}{3}\pi r^3$
- un fruste = cono completo menos el cono pequeño superior