Pythagoras' theorem · Teorema de Pitágoras
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| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | Pitágoras |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | triángulo rectángulo |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | hipotenusa |
| Pythagorean triples/ˈpaɪθəɡɔːrɪən ˈtrɪplz/ | triplas pitagóricas |
The rope that made a right angle
- Ancient Egyptian builders used a rope with 12 equally-spaced knots to create a perfect right angle: stretch it into a triangle with sides 3, 4, and 5 — the corner opposite the longest side is always $90^{\circ}$.
- Pythagoras 勾股定理 proved why this works, and his theorem is still the most-used result in all of mathematics.
La cuerda que formó un ángulo recto
- Los constructores del Antiguo Egipto usaban una cuerda con 12 nudos espaciados uniformemente para crear un ángulo recto perfecto: al estirarla en forma de triángulo con lados 3, 4 y 5, la esquina opuesta al lado más largo es siempre $90^{\circ}$.
- Pitágoras 勾股定理 demostró el porqué funciona esto, y su teorema sigue siendo el resultado más utilizado en todas las matemáticas.
The theorem
- In a right-angled triangle 直角三角形, the square on the hypotenuse 斜边 equals the sum of the squares on the other two sides:
- $c$ is the hypotenuse — the longest side, opposite the right angle.
The classic 3-4-5 triangle: $3^2 + 4^2 = 5^2$. The theorem works for every right-angled triangle.
$c$ must be the hypotenuse. The formula $a^2 + b^2 = c^2$ only works when $c$ is the side opposite the right angle. If you label the wrong side as $c$, you'll get the wrong answer.
El teorema
- En un triángulo rectángulo 直角三角形, el cuadrado sobre la hipotenusa 斜边 es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados:
- $c$ es la hipotenusa — el lado más largo, opuesto al ángulo recto.
El clásico triángulo 3-4-5: $3^2 + 4^2 = 5^2$. El teorema funciona para todo triángulo rectángulo.
$c$ debe ser la hipotenusa. La fórmula $a^2 + b^2 = c^2$ solo funciona cuando $c$ es el lado opuesto al ángulo recto. Si etiquetas el lado incorrecto como $c$, obtendrás el resultado equivocado.
Pythagoras' theorem · Teorema de Pitágoras
a² + b² = c²
The squares on the two legs always add up to the square on the hypotenuse. · Los cuadrados de los dos catetos siempre suman el cuadrado de la hipotenusa.
A right-angled triangle has short sides 3 cm and 4 cm. Find the hypotenuse (cm). · Un triángulo rectángulo tiene lados cortos de 3 cm y 4 cm. Encuentra la hipotenusa (cm).
√(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
The hypotenuse of a right-angled triangle is: · La hipotenusa de un triángulo rectángulo es:
The hypotenuse is the longest side and lies opposite the 90° angle. · La hipotenusa es el lado más largo y se encuentra opuesta al ángulo de 90°.
In Pythagoras theorem, a² + b² = c², the side c must be the ______. · En el teorema de Pitágoras, a² + b² = c², el lado c debe ser el ______.
c must always be the hypotenuse (the side opposite the right angle). · c siempre debe ser la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).
Finding a missing side
- Finding the hypotenuse: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (add and square-root).
- Finding a short side: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (subtract and square-root).
Hypotenuse $13$, short side $5$: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Pythagoras as areas: the squares on the two shorter sides ($9+16$) add up to the square on the hypotenuse ($25$)
Encontrar un lado faltante
- Encontrar la hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (sumar y raíz cuadrada).
- Encontrar un cateto: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (restar y raíz cuadrada).
Hipotenusa $13$, cateto $5$: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Pitágoras como áreas: los cuadrados sobre los dos lados más cortos ($9+16$) se suman al cuadrado sobre la hipotenusa ($25$)
The hypotenuse is 13 cm and one short side is 5 cm. Find the other short side (cm). · La hipotenusa es 13 cm y un lado corto es 5 cm. Encuentra el otro lado corto (cm).
√(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.
A right-angled triangle has hypotenuse 10 cm and one short side 6 cm. Find the other short side (cm). · Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 10 cm y un lado corto 6 cm. Encuentra el otro lado corto (cm).
√(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.
Pythagorean triples 勾股数 worth knowing
- $3, 4, 5$ — the smallest triple.
- $5, 12, 13$ — the next most common.
- Multiples work too: $6, 8, 10$ and $9, 12, 15$ are also right-angled.
- Spotting a triple saves calculation time in exams.
Ternas pitagóricas 勾股数 que vale la pena conocer
- $3, 4, 5$ — la terna más pequeña.
- $5, 12, 13$ — la siguiente más común.
- Los múltiplos también funcionan: $6, 8, 10$ y $9, 12, 15$ también son triángulos rectángulos.
- Identificar una terna ahorra tiempo de cálculo en exámenes.
A triangle with sides 6, 8, 10 is right-angled. · Un triángulo con lados 6, 8, 10 es rectángulo.
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². It is a multiple of the 3-4-5 triple. · 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Es un múltiplo de la terna 3-4-5.
You've got it
- $a^2 + b^2 = c^2$, with $c$ the hypotenuse (opposite the right angle)
- to find a short side, subtract: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ and $5$-$12$-$13$ are worth remembering
Lo has entendido
- $a^2 + b^2 = c^2$, con $c$ la hipotenusa (opuesta al ángulo recto)
- para hallar un cateto, resta: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ y $5$-$12$-$13$ valen la pena recordar