Circles, arcs and sectors · Círculos, arcos y sectores
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|---|---|
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | circunferencia |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| sector/ˈsektə/ | sectorial |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longitud de arco |
The number that never ends
- $\pi \approx 3.14159\dots$ is the ratio of every circle's circumference 圆周 to its diameter.
- It's irrational — the digits never repeat and never end. The ancient Egyptians approximated it as $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.
El número que nunca termina
- $\pi \approx 3.14159\dots$ es la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro.
- Es irracional — sus dígitos nunca se repiten ni terminan. Los antiguos egipcios lo aproximaron como $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.
Circumference and area 面积
- For a circle with radius $r$ (diameter $d = 2r$):
Radius $7\text{ cm}$: circumference $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, area $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.
Don't confuse $r$ and $d$. If you're given the diameter, halve it first. A circle with diameter $10$ has radius $5$, so area $= \pi(5)^2 = 25\pi$, NOT $\pi(10)^2 = 100\pi$.
A sector 扇形 is the fraction $\tfrac{\theta}{360}$ of the whole circle, so its arc and area are that fraction of $2\pi r$ and $\pi r^2$
Circunferencia y área
- Para un círculo con radio $r$ (diámetro $d = 2r$):
Radio $7\text{ cm}$: circunferencia $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, área $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.
No confundas $r$ y $d$. Si te dan el diámetro, divídelo por dos primero. Un círculo con diámetro $10$ tiene radio $5$, por lo tanto área $= \pi(5)^2 = 25\pi$, NO $\pi(10)^2 = 100\pi$.
Un sector representa la fracción $\tfrac{\theta}{360}$ del círculo completo, por lo que su arco y su área corresponden a esa misma fracción de $2\pi r$ y $\pi r^2$.
Arcs & sectors · Arcos y sectores
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle · ángulo or radius · radio means a longer arc and larger sector area. · Un ángulo o radio más grande significa un arco más largo y un área de sector mayor.
A circle has radius 7 cm. Its area is kπ cm². What is k? · Un círculo tiene radio 7 cm. Su área es kπ cm². ¿Cuál es k?
Area = πr² = π(7²) = 49π, so k = 49. · Área = πr² = π(7²) = 49π, por lo tanto k = 49.
A circle has radius 7 cm. Its circumference is kπ cm. What is k? · Un círculo tiene radio 7 cm. Su circunferencia es kπ cm. ¿Cuál es k?
Circumference = 2πr = 2π(7) = 14π, so k = 14. · Circunferencia = 2πr = 2π(7) = 14π, por lo tanto k = 14.
A circle with diameter 10 cm has area 100π cm². · Un círculo con diámetro 10 cm tiene área 100π cm².
Radius = 5 cm, so area = π(5²) = 25π, not 100π. You must halve the diameter first. · Radio = 5 cm, por lo tanto área = π(5²) = 25π, no 100π. Debes dividir el diámetro entre dos primero.
Arcs and sectors
- A sector is a slice of the circle between two radii, with angle $\theta$.
- It is the fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A sector with angle $\theta$ is $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle — the same fraction applies to arc length 弧长 and area.
Arcos y sectores
- Un sector es una rebanada del círculo entre dos radios, con ángulo $\theta$.
- Representa la fracción $\dfrac{\theta}{360}$ del círculo completo:
Un sector con ángulo central $\theta$ representa $\dfrac{\theta}{360}$ del círculo completo — la misma fracción se aplica a la longitud del arco y al área.
Worked example
- $\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: fraction $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
- Arc $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
- Area $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.
A circle: circumference = pi d and area = pi r squared
Ejemplo resuelto
- $\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: fracción $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
- Arco $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
- Área $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.
Un círculo: circunferencia = pi d y área = pi r squared
A sector has angle 90° and radius 8 cm. Its area is kπ cm². What is k? · Un sector tiene ángulo 90° y radio 8 cm. Su área es kπ cm². ¿Cuál es k?
Fraction 90/360 = ¼; area = ¼ × π × 8² = 16π, so k = 16. · Fracción 90/360 = ¼; área = ¼ × π × 8² = 16π, por lo tanto k = 16.
A sector has angle 60° and radius 12 cm. The arc length is kπ cm. What is k? · Un sector tiene ángulo 60° y radio 12 cm. La longitud del arco es kπ cm. ¿Cuál es k?
Fraction = 60/360 = 1/6. Arc = (1/6) × 2π(12) = 4π, so k = 4. · Fracción = 60/360 = 1/6. Arco = (1/6) × 2π(12) = 4π, por lo tanto k = 4.
A sector is the fraction θ/______ of the whole circle. · Un sector es la fracción θ/______ del círculo completo.
The fraction is θ/360, where θ is the sector angle in degrees. · La fracción es θ/360, donde θ es el ángulo del sector en grados.
Arc length is not sector perimeter
- A sector of radius 6 cm and angle $120^{\circ}$ has fraction $1/3$. Arc length $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ cm; area $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
- Its perimeter also includes two radii: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ cm. Core sector angles are factors of $360^{\circ}$; Extended can use other angles.
La longitud del arco no es igual al perímetro del sector
- Un sector de radio 6 cm y ángulo $120^{\circ}$ corresponde a la fracción $1/3$. Su longitud de arco mide $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ cm y su área es $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
- Su perímetro también incluye dos radios: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ cm. En el programa Core, los ángulos de los sectores son divisores de $360^{\circ}$; en Extended se pueden utilizar otros ángulos.
A sector has radius 6 cm and arc length 4π cm. Find its perimeter to 1 dp in cm. · Un sector circular tiene radio 6 cm y longitud de arco 4π cm. Calcula su perímetro con 1 decimales en cm.
Perimeter = arc + two radii = 4π + 12 ≈ 24.6 cm. · Perímetro = arco + dos radios = 4π + 12 ≈ 24.6 cm.
You've got it
- circumference $= 2\pi r$; area $= \pi r^2$
- a sector of angle $\theta$ is the fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the circle
- $90^{\circ}$ sector of radius $8$: arc $4\pi$, area $16\pi$
Lo has entendido
- circunferencia $= 2\pi r$; área $= \pi r^2$
- un sector de ángulo $\theta$ es la fracción $\dfrac{\theta}{360}$ del círculo
- $90^{\circ}$ sector de radio $8$: arco $4\pi$, área $16\pi$